Mathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /06/29 12:18:47 hk Exp $

Transkript

1 $Id: quadratisch.tex,v /6/9 1:18:47 hk Ex $ 4 Kegelschnitte 4. Die Parabel Wir sind gerade dabei die Leitgeraden und Brennunkte einer Parabel zu bestimmen. Ist P eine Parabel, so nannten wir ein Paar (l, ) bestehend aus einer Geraden l und einem Punkt ein Leitaar von P wenn das Verhältnis A /d(a, l) = κ des Abstands der Punkte A P zu zum Abstand dieser Punkte zu l konstant gleich einem Wert κ > ist. Hierzu setzen wir die Parabel in der orm y = x an, wobei > der Parameter der Parabel ist, die Gerade l sei in Hessescher Normalform durch ax + by = c gegeben, wobei a, b, c R mit a + b = 1 und a sind, und schließlich sei = (x, y ). Dass (l, ) ein Leitaar der betrachteten Parabel ist bedeutet dann ( y x ) ( a y y y +x +y = κ 4 y4 + ab ( y3 + b ac ) ) y bcy + c für alle y R und ein Koeffizientenvergleich ergibt die fünf Bedingungen ( ) a (1) κ = 1, () abκ =, (3) κ b ac 4 4 (4) κ bc = y, (5) c κ = x + y. = 1 x, Wegen (1) muss a sein, und () liefert ab = also b =. Damit ist a = 1 und wegen a sogar a = 1. Gleichung (1) wird damit zu κ = 1. Weiter liefert Gleichung (4) jetzt y = und es verbleiben nur noch (3) c = 1 x, (5) c = x. Gleichung (3) ergibt x = c + und in (5) eingesetzt wird c = (c + ) = c + c +, also (c + ) =, und dies bedeutet c =, x = c + =. 19-1

2 l / S / Die Parabel hat also eine eindeutige Leitgerade l gegeben durch x = / und einen eindeutigen Brennunkt = (/, ). assen wir dies in einem Satz zusammen. Satz 4.3 (Leitgerade und Brennunkt der Parabel) Sei P eine Parabel. Dann besitzt P eine eindeutige Leitgerade l und einen eindeutigen Brennunkt. Die Parabel besteht dann aus den Punkten deren Abstand zum Brennunkt gleich ihren Abstand zur Leitgeraden l ist, also P = {A R : A = d(a, l)}. Die Senkrechte auf l durch ist die Achse der Parabel und schneidet die Parabel in ihrem Scheitelunkt S, wobei S der Mittelunkt von und dem Lotfußunkt von auf l ist. Schließlich ist der Parameter von P gleich dem Abstand des Brennunkts von P zur Leitgeraden von P, also = = d(, l). Beweis: Wir haben bereits gesehen das wir das Koordinatensystem so wählen können, dass die Parabel P als P = {(x, y) R y = x} gegeben ist. Damit liefert die obige Rechnung alle Behautungen. Wir kommen nun zur Untersuchung der Tangenten an eine Parabel. Ist A ein Punkt auf einer Parabel P, so hatten wir bereits in der letzten Sitzung die Tangente t an P in A als die Gerade t mit t P = {A} definiert bei der P \{A} ganz auf einer Seite von t liegt. Wir hatten auch bemerkt das es genau zwei Geraden g mit g P = {A} gibt, nämlich zum einen die Tangente t und zum anderen die zur Achse von P arallele Gerade durch A. Damit können wir die folgende Tangentendefinition verwenden. Definition 4. (Tangenten einer Parabel) Seien P eine Parabel und A P. Die Tangente t an P in A ist dann die nicht zur Achse von P arallele Gerade mit P t = {A}. Diese Definition der Tangente stimmt mit der differentialgeometrisch definierten Tangente überein, da die Parabelgleichung y = x durch Ableiten zu y dy = dx wird. 19-

3 Wir wollen jetzt noch einen Satz über die Tangenten einer Parabel beweisen, dies wird uns dann auch auf die Bedeutung des Brennunkts führen. Satz 4.4 (Tangentenwinkel an einer Parabel) Sei P eine Parabel mit Leitgerade l und Brennunkt. Weiter sei A ein Punkt auf P und bezeichne den Lotfußunkt von A auf l und t die Tangente von P in A. Dann ist t die Winkelhalbierende bei A im Dreieck A. Beweis: Es ist A = d(a, l) = A, A B also ist das Dreieck A bei A gleichschenklig. Nach Aufgabe (4.a) ist die Winkelhalbierende g des Dreiecks A bei A damit gleich der Mittelsenkrechten von. Da A senkrecht auf der Leitgeraden S l ist, ist A arallel zur Achse von P also l ist g nicht arallel zur Achse von P. Wir behauten t jetzt das g keine Sekante von P ist. Andernfalls gäbe es einen Punkt B A auf P und g, und wir bezeichnen den Lotfußunkt von B auf l als. Da B auf der Mittelsenkrechten von liegt ist B = B und da B auch auf der Parabel liegt haben wir B = d(b, l) = B = B, d.h. B liegt auch auf der Mittelsenkrechten von. Damit muss = und somit A = B sein, ein Widersruch. Also ist g keine Sekante von P und dies bedeutet das g = t die Tangente von P im Punkt A ist. Diesen Satz kann man jetzt hysikalisch interretieren. Angenommen ein Lichtstrahl g fällt arallel zur Achse der Parabel in die Parabel ein, und wird an einem Punkt A der Parabel reflektiert. Bei einer solchen Reflektion ist der Ausfallswinkel des reflektierten Lichtstrahls g gleich dem Einfallswinkel von g, d.h. der Winkel zwischen g und g wird von der Tangente t halbiert. Da g arallel zur Achse der Parabel ist, trifft die ortsetzung von g über A hinaus senkrecht auf die Leitgerade und damit ist die Tangente t nach dem eben bewiesenen Lemma auch die Winkelhalbierende von g und A, d.h. g ist A und somit läuft g durch den Brennunkt. 19-3

4 g t α g α α A Siegelung an der Parabel S Parabolsiegel Dies erklärt den Namen Brennunkt, wird die Parabel zur Sonne ausgerichtet, so fallen alle Lichtstrahlen arallel zur Achse ein und bündeln sich damit nach Reflektion an der Parabel im Brennunkt. Rotiert man die Parabel um ihre Achse, so erhält man einen Parabolsiegel und da alle gedrehten Parabeln dieselbe Achse und denselben Brennunkt haben, bündeln sich nach Ausrichtung zur Sonne alle eingehenden Lichtstrahlen im Brennunkt. 4.3 Ellisen Eine Ellise ist ein Kegelschnitt mit numerischer Exzentrität ɛ < 1. Ist > wieder der Parameter des Kegelschnitts, so wissen wir bereits das eine Ellise der numerischen Exzentrität ɛ und mit Parameter in einem geeigneten Koordinatensystem durch die Gleichung (1 ɛ )x + y ɛx = gegeben ist. Wegen (1 ɛ )x ɛx = (1 ɛ ) ( x ɛ ) ɛ 1 ɛ 1 ɛ können wir den Koordinatenursrung längs der x-achse um ɛ/(1 ɛ ) nach rechts verschieben, also x = x + ɛ 1 ɛ und bezüglich dieser Koordinaten wird die Gleichung der Ellise zu (1 ɛ )x + y = + ɛ 1 ɛ = 1 ɛ, wobei wir wieder x statt x schreiben. Normalisieren wir die rechte Seite der Gleichung auf Eins, so erhalten wir ( ) 1 ɛ x + 1 ɛ y = 1, 19-4

5 schreiben wir also a := 1 ɛ > und b := > 1 ɛ so erhalten wir die Mittelunktsform der Ellisengleichung x a + y b = 1. y=b b x= a φ a x=a y= b Man nennt dies die Mittelunktsform da der Koordinatenursrung jetzt der Mittelunkt der Ellise ist. Die beiden Zahlen a, b > sind die beiden Halbachsen der Ellise, wegen 1 ɛ > 1 ɛ ist dabei b < a, d.h. a ist die große und b die kleine Halbbachse. Beachte das hierbei kein Kreis auftreten kann, diesen hatten wir ganz zu Beginn dieses Kaitels durch die Normierung α > ausgeschlossen. Unsere obigen ormeln legen die beiden Halbachsen in der Termen der numerischen Exzentrität und des Parameters der Ellise fest, umgekehrt kann man diese auch durch die beiden Halbachsen beschreiben. Zunächst ist b a = 1 ɛ, also ɛ = 1 b und somit ɛ = 1 b a a = a b, a und weiter haben wir b b = also = 1 ɛ a. ür y = ist x = ±a und für x = haben wir y = ±b, die Ellise entsteht also indem der Einheitskreis in x-richtung um den aktor a und in y-richtung um den aktor b gestreckt wird. Insbesondere können wir die Punkte der Ellise durch ihren Winkel φ zur x-achse arametrisieren, der allgemeine Punkt der Ellise schreibt sich als x = a cos φ, y = b sin φ mit φ π. Weiter ist die läche der Ellise E das ab-fache der läche des Einheitskreises, also A(E) = πab. 19-5

6 Überraschenderweise macht die Berechnung des Umfangs U der Ellise einige Schwierigkeiten. Aus den Grundvorlesungen kennen wir die ormel für die Länge einer Kurve π (dx ) ( ) dy π/ U = + dφ = 4 a dφ dφ sin φ + b cos φ dφ. Den Term unter der Wurzel können wir etwas umschreiben a sin φ + b cos φ = a sin φ + a cos φ + (b a ) cos φ = a (1 a b und beachten wir ɛ = 1 b a = a b, a so schreibt sich der Umfang U als Substituieren wir U = 4a π/ 1 ɛ cos φ dφ. t = cos φ also dt dφ = sin φ = 1 t, dφ = dt, 1 t so nimmt der Umfang schließlich die Gestalt 1 1 ɛ t U = 4a 1 t dt a ) cos φ, an. Dies ist ein sogenanntes ellitisches Integral zweiter Art, das sich nicht in Termen der üblichen Grundfunktionen schreiben läßt. Insbesondere gibt es damit keine exlizite, elementare ormel für den Umfang einer Ellise. Wir wollen jetzt die Leitaare der Ellise bestimmen. Wir gehen wie bei der Parabel vor und setzen ein Leitaar (l, ) in der orm l = {(x, y) R Ax + By = C}, = (x, y ) mit A + B = 1, A an. Der allgemeine Punkt auf der Ellise ist P = (a cos φ, b sin φ) mit φ R, und wir haben P = (a cos φ x ) + (b sin φ y ) = a (a b ) sin φ ax cos φ by sin φ + x + y, d(p, l) = (Aa cos φ + Bb sin φ C) = A a + (B b A a ) sin φ + ABab sin φ cos φ ACa cos φ BCb sin φ + C. 19-6

7 Ist κ > die Konstante mit P = κ d(p, l) für alle P auf der Ellise, und verwenden wir das die fünf unktionen φ 1, φ sin φ, φ sin(φ), φ sin φ und φ cos φ linear unabhängig sind, so ergeben sich durch Koeffizientenvergleich die folgenden fünf Bedingungen. (1) κ (B b A a ) = b a, () κ ABab =, (3) κ ACa = ax, (4) κ BCb = by, (5) κ (A a + C ) = a + x + y. Wegen b < a ist b a <, und (1) ergibt A, aber nach () ist A = oder B =, wie haben also B = und somit A = 1. Mit (4) folgt dann auch y =. Wir beenden diese Rechnung in der nächsten Sitzung. 19-7