Linien- oder Kurvenintegrale

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Holger Baumann
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1 Linien- oder Kurvenintegrale 1-E

2 Einführendes Beispiel Abb. 1-1: Zum Begriff der Arbeit einer konstanten Kraft Wir führen den Begriff eines Linien- oder Kurvenintegrals am Beispiel der physikalischen Arbeit ein, die von einem Kraftfeld beim Verschieben eines Massenpunkts verrichtet wird. 1-1

3 Einführendes Beispiel s Abb. 1-2: Zum Begriff der Arbeit einer konstanten Kraft Der Massenpunkt wird durch eine konstante Kraft längs einer Geraden um den Vektor s verschoben. Die dabei verrichtete Arbeit ist s = s cos W = 1-2

4 Einführendes Beispiel A E Abb. 1-3: Zum Begriff der Arbeit in einerm ebenen Kraftfeld Ein Massenpunkt bewegt sich in einem ebenen Kraftfeld (x, y) längs einer vorgegebenen Kurve. Wir bestimmen die Arbeit, die bei der Bewegung auf von A bis E von der Kraft am Massenpunkt geleistet wird. 1-3

5 Einführendes Beispiel 2 1 i P2 A= P 1 Pi i 1 Pi 1 r P n 1 1 r i P n 1 r P n E = Pn n Abb. 1-4: Zum Begriff der Arbeit in einem ebenen Kraftfeld. Auf der Kurve werden n Punkte mit der entsprechenden in den Punkten wirkenden Kraft gezeichnet 1-4 P1 = A, P 2, P3,..., P n, Pn = E

6 Einführendes Beispiel 1 P1 i P2 Pi Pi 1 r P 1 r i Pn 1 r P n Pn n Abb. 1-5: Die Kurve wird entsprechend den gezeichneten Punkten durch n - 1 Segmente ersetzt. Im olgenden nehmen wir an, dass die Kraft, die auf den Massenpunkt wirkt, innerhalb eines jeden Segments konstant ist 1-5

7 Einführendes Beispiel Pi r i r i r i 1 i Pi 1 Abb. 1-6: Zum Begriff der Arbeit in einerm ebenen Kraftfeld r i ist der Ortsvektor von P i und i ist die in diesem Punkt angreifende Kraft des eldes. r i = r i 1 r i Bei der Verschiebung des Massenpunktes von P i nach P i 1 leistet die eldkraft die Arbeit W i = i r i r i 1-6

8 Einführendes Beispiel P1 Pi r i i Pi 1 Pn Abb. 1-7: Zum Begriff der Arbeit in einerm ebenen Kraftfeld Die Gesamtarbeit W bei der Bewegung des Massenpunktes auf von A nach B wird durch die Summe bestimmt W 1-7 n 1 n 1 i =1 i =1 Δ Wi = i ( r i ) Δ r i

9 Einführendes Beispiel Bei einer ständig feiner werdenden Zerlegung der Kurve, d.h. für n, r i 0 folgt r d r W = d W = r d r = x x, y y x, y dx, dy = x x, y dx y x, y dy Die bei einer Verschiebung auf einer ebenen Kurve insgesamt vom Kraftfeld aufzubringende Arbeit ist r d r = x, y dx x, y dy W = x y alls eine Kurve im 3D-Raum ist, wird die Arbeit in der orm geschrieben r d r = x, y, z dx x, y, z dy x, y, z dz W = x y z 1-8

10 Zirkulation Ist der Anfangspunkt auch Enpunkt der Kurve, also A = E, d.h. ist eine geschlossene Kurve, dann schreibt man: r d r W = Ein solches Kurvenintegral wird in den physikalisch-technischen Anwendungen als Zirkulation des Vektorfeldes längs der geschlossenen Kurve bezeichnet. 1-9

11 Zirkulation Abb. 1-8: Eine geschlossene Kurve von Anfangpunkt A nach Endpunkt E, A = E 1-10

12 Das Arbeitsintegral Bei der Berechnung des Arbeitsintegrals längst der Kurve in einem ebenen Kraftfeld (x, y) r d r = x, y dx x, y dy, W = x y soll berücksichtigt werden, dass das Kraftfeld von den Koordinaten x und y des Kurvenpunktes P abhängt. Die Koordinaten x und y sind aber voneinander nicht unabhängig, sondern über die Kurvengleichung miteinander verknüpft. ür die Koordinaten x und y setzt man daher Die Parametergleichungen x (t) bzw. y (t) der Integrationskurve ein. Die längs der Kurve wirkende Kraft hängt dann nur noch vom Kurvenparameter t ab. Das Wegelement dr ersetzt man durch den Tangentenvektor dr/ und das Differential des Parameters t r = r t, Zur Erinnerung: 2-1 d r t = x (t ) = d r t = r t = x t y t d x (t ), y (t ) = d y (t )

13 Das Arbeitsintegral Das Arbeitsintegral (Linienintegral) geht mit Hilfe dieser Substitution in ein gewöhnliches Integral über. ür eine ebene Kurve t2 r d r = r r = W = t2 t1 = [ x x t y y t ] t1 für eine Kurve im 3D-Raum t2 r d r = r r = W = t2 t1 = [ x x t y y t z z t ] t1 2-2

14 Das Arbeitsintegral: Aufgabe 1 Berechnen Sie die Arbeit, die das ebene Kraftfeld (x, y) = (-y, x) bei einer Verschiebung vom Punkt O nach dem Punkt P (im all a, b und c) und vom Punkt A nach dem Punkt B (im all d) an einem Massenpunkt verrichtet a) Verschiebung längs einer Parabel 1 : y = x 2, O = (0, 0), P = (1, 1) b) eine geradlinige Verschiebung 2 : y = x, O = (0, 0), P = (1, 1) c) Verschiebung längs einer Kurve 3 : y = x 7, O = (0, 0), P = (1, 1) d) Verschiebung längs eines Einheitskreises (R = 1): A (1, 0), B (0, 1) 3-1

15 Das Arbeitsintegral: Aufgabe 1 Abb. A1: Verschiebungskurven der Aufgabe Im olgenden wird das Vektorfeld = (-y, x) graphisch dargestellt. 3-1

16 Vektorfeld der Aufgabe 1 r B r B r A A B A Abb. L1-1: Jedem Punkt der x,y-ebene mit dem Ortsvektor r = (x, y) wird der eldvektor = (-y, x) zugeordnet. Die Orts- und eldvektoren sind orthogonal zueinander 3-2

17 3-3 Abb. L1-2: Vektorfeld = (-y, x) in einigen Punkten von drei Kreisen mit den Radien 0.5, 1 und 2

18 Das Arbeitsintegral: Vektorfeld und eldlinien der Aufgabe Abb. L1-3: Vektorfeld (x, y) = (-y, x) und eldlinien 3-4

19 Das Arbeitsintegral: Vektorfeld und eldlinien der Aufgabe B A Abb. L1-4: Vektorfeld (x, y) = (-y, x) und eldlinien. Die Kurve ist ein parabelförmiges Segment vom Punkt A (0, 0) zum Punkt B (1, 1) 3-5

20 Das Arbeitsintegral: Lösung 1a Der Integrationsweg ist ein parabelförmiger Verbindungsweg vom Punkt A (0, 0) zum Punkt B (1, 1): 1 : 1 : x (t ) = t, r (t ) = y (t ) = t 2 ( ) ( ) d r = 1, 2t t, 2 t (0 t 1, t 1 = 0, t 2 = 1) d r = t 2, t 1 = t 2 2t 2 = y = t, x t Die vom Kraftfeld (x, y) geleistete Arbeit beträgt t2 1 d r = t 2 = 1 W1 = 3 t

21 Das Arbeitsintegral: Lösung 1b Abb. L1-5: Vektorfeld = (-y, x), gezeichnet in den Punkten (1, 1), (2, 2), (3, 3) und (4, 4) der Geraden y = x. Die Vektoren sind orthogonal zu der Geraden y = x 3-7

22 3-8 Abb. L1-6: Das Vektorfeld = (-y, x) ist senkrecht zu jeder Ursprungsgeraden y =a x

23 Das Arbeitsintegral: Lösung 1b Abb. L1-7: Vektorfeld und eldlinien der unktion (x, y) = (-y, x). Kurve : ein geradliniges Segment vom Punkt A (0, 0) zum Punkt B (1, 1) 3-9

24 Das Arbeitsintegral: Lösung 1b Man kann schon im Voraus sagen, welchen Wert das Integral haben wird. Da die Kurve und das Vektorfeld orthogonal zueinander sind, ist auch das Skalarprodukt dr überall gleich Null. Das zeigen wir jetzt analytisch b : x (t ) = t, b : r (t ) = t, t y (t ) = t ( ) ( ) ( ) = y = t, x t ( ) d r = 1, 1 (0 t 1) ( ) d r = ( t, t ) 1 = t + t = 0 1 Die vom Kraftfeld (x, y) geleistete Arbeit ist gleich Null. t2 d r = 0 Wb = t

25 Das Arbeitsintegral: Lösung 1c Der Integrationsweg ist ein parabelförmiger Verbindungsweg vom Punkt A (0, 0) zum Punkt B (1, 1): c : x (t ) = t, c : r (t ) = y (t ) = t 7 ( ) t, 7 t ( ) d r 1 =, 6 7t ( ) ( ) (0 t 1) ( ) d r = ( t 7, t ) 1 = t + 7 t = 6 t 7 t6 7 y t = =, x t Die vom Kraftfeld (x, y) geleistete Arbeit beträgt t2 Wc = t d r 6 3 = 6 t 7 = = 8 4 0

26 Das Arbeitsintegral: Lösung 1d d : x (t ) = cos t, d : r (t ) = cos t, sin t ( ( ) ( y (t ) = sin t ) = y = sin t x cos t ( d r = sin t cos t ) ( 0 t π 2 ) ) ( ) d r = ( sin t, cos t ) sin t = sin 2 t + cos 2 t = 1 cos t Die vom Kraftfeld (x, y) geleistete Arbeit beträgt t2 π/2 1 0 d r = Wd = t 3-12 = π 2

27 Das Arbeitsintegral: Lösungen 1 a-d Abb. L1-8: Verschiebungskurven der Aufgabe 1 W1 = , 3 W 2 = 0, W3 = 3, 4 W4 = π 2

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