Kurve der Maria Agnesi

Transkript

1 Kurve der Maria Agnesi S.Taborek Zur Herleitung der Kurve dient folgende Grafik, in der der Punkt B auch Ursprung des Koordinatensystems ist: 1 von :05

2 Der Punkt P wird durch den Schnittpunkt der beiden Strecken CP DP erzeugt, wobei die Strecke BD direkt vom Parameter φ abhängt. Der Punkt C entsteht am Kreis mit dem Radius s. Am Punkt C kann man sich einen Peripherie-Winkel des Dreiecks ABC denken. Die Strecke AC steht dann rechtwinklig auf der Strecke BD. Daraus folgt, dass der Winkel MAC gleich φ ist - somit ist der Winkel ACM ebenfalls gleich φ. Dann folgt, dass der Winkel MCB gleich 90-φ ist. Nun kann man folgende Gleichungen ablesen: Parameter Funktion ermitteln Der Winkel AMC im selben Dreieck: Mit der Strecke MC = s lassen sich folgende Gleichungen finden: Der letzte Ausdruck lässt sich weiter umformen: mit Sin[φ] = ± Die Parameter-Funktionen lauten somit: 2 von :05

3 Chartesische Funktion ermitteln (Variante I) Es wird zunächst folgende Verhältnis-Gleichung umgeformt: Nun werden Beziehungen an rechtwinkligen Dreiecken angewendet: Die Strecke CD ergibt sich auch aus folgender Beziehung: Durch Gleichsetzen erhält man: Die chartesische Form der Funktionsgleichung lautet: 3 von :05

4 Chartesische Funktion ermitteln (Variante II) Zunächst wie bei Variante I die Strecke a ermitteln: Nun eine weiter Verhältnisgleichung für die Strecke BC: Für das Dreieck am Koordinatenursprung gilt nun: Nun a substituieren: Berechenen der Strecke BP 4 von :05

5 Besondere Punkte der Kurve 1. besonderer Punkt Dieser Punkt ist dadurch gekennzeichnet, dass die lotrechte Strecke DE zur Tangente am Kreis wird. Es gelten hier folgende Beziehungen: Zu diesem besonderen Punkt gehört ein besonderer Winkel φ, der sich wie folgt berechnen lässt: 5 von :05

6 Damit lässt sich y berechnen: Zum Vergleich soll r mit der obigen Funktion berechnet werden: Dieser Wert stimmt mit dem vorherigen Ergebnis exakt überein. Ein 2. besondere Punkt: Ein andere besonderer Punkt ergibt sich, wenn die Strecke BD im Winkel φ = 45 ansteigt: 6 von :05

7 Es gelten folgende Beziehungen: Zum Vergleich soll auch dieses r mit obiger Funktion berechnet werden: Dieser Wert entsprich exakt dem Wert von Ein 3. besondere Punkt: 7 von :05

8 Dieser sei dadurch gekennzeichnet, dass die Strecke BD im Winkel von φ = 30 ansteigt. Es gelten folgende Beziehungen: Zum Vergleich soll auch dieses r mit obiger Funktion berechnet werden: 8 von :05

9 Auch dieser Wert entsprich exakt dem Wert von 4. besonderer Punkt Dieser Punkt ist dadurch ausgezeichnet, dass die Verbindung BP = r im Winkel von 45 ansteigt: Es lassen sich folgende Beziehungen ablesen: Es muss eine Beziehung zu dem Winkel φ hergestellt werden. Hierfür wird die chartesische Gleichung der Kurve verwendet: 9 von :05

10 Da x = y gilt: Nun x substituieren: Dieser Winkel (34,3 ) entspricht dem Komlementär-Winkel von φ = 55,7 - daher müsste das Ergebnis mit ArcSin berechnet werden. Dieser Winkel entspricht dem Winkel von φ = 145,7 im II. Quadranten, wenn dieser besondere Punkt entsteht. 10 von :05

11 Kurvendiskussion Extremwerte Die Funktion für chartesische Koordinaten lautet: Die erste Ableitung: 11 von :05

12 Der einzige Extremwert liegt wie erwartet bei x = 0. Dieser Graph zeigt auch, dass 2 Wendepunkte vorliegen. Wendepunkte Es wird zunächst die 2. Ableitung gebildet: Die Nullstellen ergeben sich wie folgt: Für d = 2 sind die Wendepunkte bei: x1 = - 1,1547 und x2 = 1, von :05

13 Fläche unter der Kurve Variante 1 Für diesen Ausdruck muss nun eine Grenzwertbetrachtung für die beiden Integrationsgrenzen vorgenommen werden. Damit folgt: 13 von :05

14 Die Fläche unter der Agnesi-Kurve ist demnach genau so große, wie 4 mal der Kreis, um den sie verläuft - dieser ist natürlich einer der 4 Kreise! Variante 2 Unter Anwendung der Parameter-Funktionen: (Übernommen aus "Kurve der Agnesi.pdf" Seite 4) Weitere besondere Punkte in Bezug zur Fläche Diese Punkte werden jeweils nur im Bereich x > 0 betrachtet: 14 von :05

15 Bei welchem x beträgt das Flächenmaß unter der Kurve genau einen Vollkreis? Dazu lautet die Gleichung wie folgt: Hierzu soll noch der Winkel-Parameter bestimmt werden. Dazu dient folgende Gleichung: Dieser Winkel von φ = 45 gehört zu dem oben diskutierten 2. besonderem Punkt. Bei welchem x beträgt das Flächenmaß unter der Kurve genau 1,5 Vollkreise? Diese Fragestellung ist interessant, weil auf beiden Ästen der X-Achse bereits ein halber Vollkreis zur Grundkonstruktion der Kurve gehört. 15 von :05

16 Welcher Winkel-Parameter gehört zu diesem x?. Dieser Winkel entspricht im Gradmaß: φ = 22,5 Bei welchem x beträgt das Flächenmaß unter der Kurve genau 2 Vollkreise? Welcher Winkel-Parameter gehört zu diesem x?. 16 von :05

17 Dieser Winkel entspricht im Gradmaß: φ = Bogenlängen der Kurve an besonderen Punkten Die folgenden Bogenlängen werden jeweils bei x > 0 gefunden. Bei welchen x ist der Bogen genau π lang Die Bogenlänge wird mit folgendem Integral im chartesischen Koordinatensystem bestimmt: Dieser Term wird quadriert eingesetzt. 17 von :05

18 Gesucht wird die Integrationsgrenze G für b = π Die Gleichung lautet dann: Da keine allgemeine Lösung gefunden werden kann, soll d = 2 gesetzt werden: Auch diese Funktion bringt keine Lösung. Mit FindRoot und der Näherungswert von 3 kommt folgende Lösung: 18 von :05

19 Wenn d = 2, dann ist die Kurve bei x = genau π lang. Der Winkel-Parameter für dieses x ist: Der Winkel beträgt im Gradmaß 36.0 d.h. Wie lang ist der Bogen bei x = d Für d = 2 folgt: 19 von :05

20 Wie lang ist der Bogen bei x = 2d Für d = 2 folgt: Wie lang ist der Bogen bei x = π ( und d = 2 ) 20 von :05

21 Created with Wolfram Mathematica von :05