Name, Klasse, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Frederieke Sperke x Funktionsanpassung

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Elvira Fried
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1 Frederieke Sperke x Funktionsanpassung Verbinde die Strecken zwischen den Punkten A(-4/1) und B(-3/-3)mit der Strecke zwischen den Punkten C(4/2) und D(3/-1) knickfrei und exakt miteinander. 1) Skizze (zugleich ) 2) Die Bedingungen: 1. f(-3) = f(3) = f (-3) =-4 4. f (3) = 3 3) Da es 4 Bedingungen gibt, benutzt man Funktion dritten Grades: f(x) = ax^3+ bx^2+ cx+ d f (x)= 3ax^2+ 2bx+ c 4)Die Bedingungen muss man nun in die Funktion dritten Grades einsetzen: 1. f(-3) = -27a+9b-3c+d 2. f(-1) = 27a+9b+3c+d 3. f (-4 )= 27a-6b+c 4. f (3 ) = 27a+6b+c 5)Diese Gleichungen nun in den Taschenrechner eintippen: Die Ergebnisse sind dann: a= -5/108 b= 7/12 c= 3/4 d= -29/4 Die Funktion, die diese Strecken knickfrei verbindet lautet: f(x)= -5/108x³ +7/12x² +3/4x -29/4

Katharina Böhm, 12, 2009 xx Funktionsanpassungen U Funktion Gibt es eine Funktion, die ein perfektes U beschreibt? Wenn ja, wie lautet sie? Wenn nein, warum nicht?

2 Katharina Böhm, 12, 2009 xx Funktionsanpassungen U Funktion Gibt es eine Funktion, die ein perfektes U beschreibt? Wenn ja, wie lautet sie? Wenn nein, warum nicht? Mögliche Es gibt keine Funktion für ein perfektes U, da durch die senkrechten Strecken mehrere Funktionswerte einem x-wert zugeordnet werden würden. Sieht man sich allerdings den Bogen an, erkannt man, dass es sich um einen Halbkreis handelt. Hierfür lässt sich wie folgt eine Funktion berechnen: Die Strecken a und b entsprechen den x- und y-werten, c dem Radius r. So wird aus dem Satz des Pythagoras a²+b²=c² à x²+y²=r². Durch Auflösen nach y erhält man f(x)= ± r ² x ². Der Term r ² x ² beschreibt aufgrund der negativen Funktionswerte den unteren Halbkreis von 2 bis +2, der für die U-Funktion relevant ist. Somit setzt sich das U aus zwei parallelen, vertikal verlaufenden Strecken zusammen, dessen Abstand der Durchmesser des Kreises beträgt und aus dem unteren Halbkreisbogen, der unterhalb von der x-achse verläuft, in diesem Beispiel wäre das f(x)= 4 x ².

3 Lara Volpert, 12, 2009 X Funktionsanpassung Gegeben sind 4 Punkte A(0/1,8), B(8/1,25), C(9,25/1,4) und D(10,6/0). Alle Punkte sollen knickfrei verbunden werden. a) Fertige eine Skizze an! b) Finde eine passende Funktionsgleichung! c) Vergleiche die Funktionsgleichung mit deiner Skizze aus Aufgabe a)! f(0)=0³a+0²b+0c+d=1,8 f(8)=8³a+8²b+8c+d=1,25 f(9,25)=9,25³a+9,25²b+9,25c+d=1,4 f(10,6)=10,6³a+10,6²b+10,6c+d=0 a= -0, b= 0,77781 c= -3,48115 d= 1,8 Funktionsgleichung: f(x) -0,044x³ + 0,778x² - 3,481x + 1,8

Janine Schulte, 2009 X Funktionsanpassung Aufgabe: Für eine große Modelleisenbahnausstellung wird eine möglichst exakte Nachbildung des oben abgebildeten Gebirges gesucht.

4 Janine Schulte, 2009 X Funktionsanpassung Aufgabe: Für eine große Modelleisenbahnausstellung wird eine möglichst exakte Nachbildung des oben abgebildeten Gebirges gesucht. Es fehlt nur noch das Stück zwischen A(-5,5/10) und B(7/7,9) Dafür soll für das oben abgebildete Gebirge bzw. Tal eine geeignete Kurve beschrieben und die notwendigen Koeffizienten errechnet werden. [-5, 5 ;0] à Parabel 1. f (5,5)=10 à a*5,5²+b*5,5+c=10 2. f (0)=0 à c=0 3. f (5,5)=0 à a*2*5,5+b=0 Dann in den Taschenrechner als Gleichungssystem eingeben um die Koeffizienten zu errechnen: a= -0,330579; b=3,63636; c=0 die daraus entstehende Funktion: f(x)= -0,330579x²+3,63636x [0; 3,3] à Strecke f (0)=0 à c=0 f (3,3)=2 à a=0, f (x)=0,606x [3,3; 5] à Strecke

5 f (3,3)=2,5 f (5)=5,3 5, 3=5a+b 2,6=3,3a+b 2, 7=1,7a à a=1,588 b=-2, 64 [5; 7] à Strecke f (5)=5,3 f (7)=7,9 7, 9=7a+b 5, 3=5a+b 2, 6=2a à a=1, 3 b=-1, 2

6 Dana Sperke x Funktionsanpassung Berechne eine knickfreie Verbindung zwischen zwei Strecken! In diesem Beispiel sollen der Punkt A mit C verbunden werden: A(4/1), B(5/-1), C(-1/2), D(-2/4) Man benutzt den Polynom dritten Grades: Diese Bedingungen setzt man nun in in den Polynom dritten Grades ein: f(x)= ax³+ bx²+ cx+ d f(4)= 4³a+ 4²b+ 4c+ d= 1 f (x)= 3ax²+ 2bx+ c f(-1)= (-1)³a+ (-1)²b+ (-1)c+ d= 2 Die gegebenen Punkte lauten: A (4/ 1) f (4)=3 4²a+ 2 4b+ c= -2 C (-1/ 2) -und die Steigungen der f (-1)=3 (-1)²a+ 2 (-1)b+ c= -2 beiden Strecken (siehe Skizze) Die Bedingungen dazu sind dann: Diese Funktionen muss man nun in den Taschenrechner eingeben und dann erhält f(4) = 1 man folgendes Ergebnis: f(-1)= 2 f `(4)= f `(-1)= -2 f(x)= x ³ + x²+( )x Diese Funktion 3. Grades verbindet die Punkte A und C knickfrei.

7 Dana Sperke x Funktionsanpassung Berechne eine knickfreie Verbindung zwischen zwei Strecken! In diesem Beispiel sollen der Punkt A mit C verbunden werden: A(4/1), B(5/-1), C(-1/2), D(-2/4) Man benutzt den Polynom dritten Grades: Diese Bedingungen setzt man nun in in den Polynom dritten Grades ein: f(x)= ax³+ bx²+ cx+ d f(4)= 4³a+ 4²b+ 4c+ d= 1 f (x)= 3ax²+ 2bx+ c f(-1)= (-1)³a+ (-1)²b+ (-1)c+ d= 2 Die gegebenen Punkte lauten: A (4/ 1) f (4)=3 4²a+ 2 4b+ c= -2 C (-1/ 2) -und die Steigungen der f (-1)=3 (-1)²a+ 2 (-1)b+ c= -2 beiden Strecken (siehe Skizze) Die Bedingungen dazu sind dann: Diese Funktionen muss man nun in den Taschenrechner eingeben und dann erhält f(4) = 1 man folgendes Ergebnis: f(-1)= 2 f `(4)= f `(-1)= -2 f(x)= x ³ + x²+( )x Diese Funktion 3. Grades verbindet die Punkte A und C knickfrei.

8 Corinna Bock, 12, 2009 x Funktionsanpassung a) Finde eine knickfreie Funktion, die durch die Punkte A(-4/-3) und B(2/-3) verläuft. Du darfst beliebige Punkte hinzufügen. Einzige Bedingung: Die Funktion darf KEINE Parabel sein!! b) Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem. C und D sind beliebig hinzugefügte Punkte: C(-2/3) und D(4/3). f(x)= ax³ + bx²+cx+d Mögliche f (x)= 3ax²+2bx+c f (C)= 0 0=12a-4b+c f(b)=-3-3=8a+4b+2c+d f (B)=0 0=12a+4b+c f(d)=3 3=64a+16b+4c+d Gibt man alle Gleichungen in den Taschenrechner ein, erhält man folgende Funktionsgleichung: f(x)=3/16x³-9/4x

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