Schriftliche Abiturprüfung. Mathematik. - Leistungskurs - Hauptprüfung. Hinweise

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1 Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kultus Fachrichtung: Agrarwissenschaft Schuljahr 2006/2007 Ernährungswissenschaft Informations- und Kommunikationstechnologie Technikwissenschaft Biotechnologie Gesundheit und Soziales Schriftliche Abiturprüfung Mathematik - Leistungskurs - Hauptprüfung Hinweise Arbeitszeit: Hilfsmittel: 300 Minuten - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Grafikfähiger, programmierbarer Taschenrechner ohne Computeralgebra - Eingeführte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Aufgaben: Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Wahlaufgaben Aufgabe 4 Aufgabe 5 (2 Seiten) Bemerkungen: Dem Prüfungsteilnehmer werden fünf Aufgaben vorgelegt, drei Pflichtaufgaben und zwei Wahlaufgaben. Er hat die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Die Auswahl trifft der Prüfungsteilnehmer. Werden beide Wahlaufgaben bearbeitet, so hat der Prüfungsteilnehmer die zu bewertende Wahlaufgabe deutlich zu kennzeichnen. Zur Lösung jeder Aufgabe ist ein neuer Reinschriftbogen zu verwenden. Der Aufgabensatz umfasst 7 Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht führenden Lehrkraft anzuzeigen. Kennziffer Abiturprüfung 2007

2 Pflichtaufgaben Aufgabe 1 35 BE 1.1 Gegeben ist für jede positive reelle Zahl t eine Funktion f t durch y = f (x) = t x ( e t) 2 ( ) x Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f t an. Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f t und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen mit der Ordinatenachse an. Untersuchen Sie die Funktion f t rechnerisch auf lokale Extrempunkte und deren Art. Geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote an. (9 BE) Der Graph der Funktion f t besitzt genau einen Wendepunkt. Weisen Sie nach, dass dieser Wendepunkt auf dem Graphen der Funktion h 2x y = h(x) = e x R liegt. D ft mit der Gleichung ( ) t t Im Punkt Pt ln / ft ln wird die Tangente an den Graphen der 2 2 Funktion f t gelegt. Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten, für welche Werte von t diese Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft. 2x x Weisen Sie nach, dass die Funktion F t mit F (x) = e + 2te + t x ( x R) eine Stammfunktion der Funktion f t ist. Der Graph jeder Funktion f t begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche vollständig. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche für t = 3 und t = 0,2. Untersuchen Sie, für welche Werte von t diese Fläche im zweiten Quadranten liegt. (8 BE) t 1 2 0) 1.2 Für jede reelle Zahl a ( a ist nun eine Funktion ga gegeben durch 2 2 y = g a (x) = x 2ax 3a ( x R,x D g ) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion g a und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen mit der Ordinatenachse an. (3 BE) a Kennziffer Seite 1 Abiturprüfung 2007

3 1.2.2 Geben Sie die Nullstellen der Funktionen g 2 und g - 2 an. Skizzieren Sie die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem. Bei der Rotation dieses Kurvenpaares um die x-achse entsteht ein Körper, der (einer Erdnuss mit Schale ähnelnd) zwei sich durchdringenden Kugeln entspricht. Ermitteln Sie das Volumen dieses Körpers. (6 BE) Kennziffer Seite 2 Abiturprüfung 2007

4 Aufgabe 2 25 BE 2.1 In einem kartesischen Koordinatensystem sind 3 6 r die Gerade g: x = 5 + r 2 ( r R), a r für jede reelle Zahl a eine Gerade h a : x = 5 + s 1 a+ 2 2 (s R) sowie für jede reelle Zahl k eine Ebene E k : (2 + 5k) x 6 y 6k z = 36 9k gegeben Für genau zwei Werte a schneiden sich die Geraden g und h a in jeweils einem Schnittpunkt. Berechnen Sie a und geben Sie die Koordinaten der zugehörigen Schnittpunkte an Zeigen Sie, dass die Gerade g in jeder Ebene E k liegt. (2 BE) Für jede Gerade h a existiert ein Schnittpunkt R a mit der xy-ebene. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R a. Untersuchen Sie, ob es einen Wert a gibt, so dass der Schnittpunkt R a auf der x-achse liegt. Geben Sie, falls ein solcher Punkt R a existiert, dessen Koordinaten an Ermitteln Sie den Parameterwert a, für den die Gerade h a parallel zur Ebene E 2 verläuft. Es gibt genau eine Ebene E k, zu der keine der Geraden h a parallel verläuft. Ermitteln Sie die Gleichung dieser Ebene E k Berechnen Sie alle Werte k, für die der Koordinatenursprung von der Ebene E k den Abstand d = 3 hat. 2.2 Ein Kreis k, dessen Mittelpunkt M im vierten Quadranten liegt, verläuft durch die Punkte P( 2 / 5) und Q( - 4 / - 1) und hat den Radius r = 5 2. Berechnen Sie eine Gleichung dieses Kreises. Kennziffer Seite 3 Abiturprüfung 2007

5 Aufgabe 3 15 BE 3.1 Für jede reelle Zahl a und jede reelle Zahl b (b 0) ist eine Funktion f a,b gegeben durch die Gleichung bx + a y = f a,b (x) = (x D 2 fa,b ). ( x b ) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f a,b an. (1 BE) Die Gerade y = x 3 ist Tangente an den Graphen genau einer 4 4 Funktion f a,b im Schnittpunkt dieses Graphen mit der Ordinatenachse. Berechnen Sie für diesen Fall die Werte der Parameter a und b. 3.2 Ein Betrieb baut elektronische Geräte, die aus den vier unabhängig voneinander arbeitenden Baugruppen B 1, B 2, B 3 und B 4 bestehen. Die von einem Zulieferbetrieb gefertigten Baugruppen besitzen erfahrungsgemäß folgende Ausfallraten: p = 8%, p = 6%, p = p 2%. B = 1 B2 B3 B4 Ein Gerät arbeitet aber nur dann einwandfrei, wenn keine Baugruppe defekt ist Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Gerät funktionstüchtig? (1 BE) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gerätefehler durch eine defekte Baugruppe B 1 auftritt? (1 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gerätefehler nicht durch die Baugruppen B 3 und B 4 verursacht wird. (3 BE) Die dem Betrieb angelieferten Baugruppen B 1 werden aufgrund ihrer hohen Ausfallrate stichprobenartig überprüft. Eine Packung enthalte 50 Baugruppen B 1, von denen genau 4 defekt sind. Dieser Packung werden nacheinander vier Baugruppen ohne Zurücklegen entnommen. Enthält die Stichprobe mehr als eine fehlerhafte Baugruppe, so werden alle Baugruppen B 1 an den Zulieferer zurückgeschickt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in der Stichprobe keine defekte Baugruppe B 1? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Rücksendung der Baugruppen B 1 erfolgt. Kennziffer Seite 4 Abiturprüfung 2007

6 Wahlaufgaben Aufgabe 4 15 BE In einem kartesischen Koordinatensystem beschreibe die Gerade mit der Gleichung y = 2 ( x R, x < 0) den Verlauf der Straße I. Der Verlauf der Straße II entspricht für x R, x > 1 der Geraden mit der Gleichung y = 0. (1 Längeneinheit entspricht 1 km) 4.1 Beide Straßen sollen im Intervall 0 x 1 durch eine Straße III miteinander verbunden werden. Die Übergänge erfolgen knickfrei, d.h., von Straße I in Straße III in eine Rechtskurve und von Straße III in Straße II in eine Linkskurve. Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades, deren Graph den Verlauf dieser Verbindungsstraße beschreiben kann. 4.2 Für den Verlauf der Straße III im Intervall 0 x 1 werden zwei Varianten favorisiert, der Verlauf entsprechend dem Graphen der Funktion g oder dem Graphen der Funktion s. Die Gleichungen dieser Funktionen heißen 3 2 y = g(x) = 4x 6x + 2 und y = s(x) = 12x + 30x 20x Untersuchen Sie, welchen Straßenverlauf Sie favorisieren würden, wenn für Sie die Länge l der Straße entscheidend wäre. Für die Bogenlänge l einer ebenen Kurve f im Intervall a x b gilt: b 1+ ( f (x) ) l = 2 dx. a Ein Gewerbegebiet werde durch die Straße III (Variante Graph von g) und die beiden Koordinatenachsen allseitig begrenzt. Ein Projekt sieht vor, in das betrachtete Flächenstück ein achsenparalleles Rechteck so einzubeschreiben, dass zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Diese Rechteckfläche soll einen Flächeninhalt von mindestens m 2 haben. Untersuchen Sie, ob dies möglich ist. (3 BE) Vom Punkt A( 0 / 2 ) aus soll eine geradlinige Schallschutzwand an die Straße III (Variante Graph von g) gelegt werden, die diese im Punkt P(x / g(x)) berührt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P, in dem die Wand an die Straße trifft. (3 BE) Kennziffer Seite 5 Abiturprüfung 2007

7 Aufgabe 5 15 BE In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jede reelle Zahl a die Ebene E a mit der Gleichung E a : (3 - a) x (a + 2) y + a z = 2 gegeben. Außerdem sind der Punkt P( 3 / - 2 / 4 ) und für jede reelle Zahl y R der Punkt R( 0 / y R / 0 ) gegeben. 5.1 Der Punkt P liegt in einer zur Ebene E 1 parallelen Ebene H. Geben Sie eine Gleichung der Ebene H an. (1 BE) 5.2 Vom Koordinatenursprung O wird das Lot auf die Ebene E 1 gefällt. Der Lotfußpunkt sei L. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes L. Geben Sie die Koordinaten des Punktes O an, der als Spiegelpunkt des Punktes O an der Ebene E 1 entsteht. (3 BE) 5.3 Es gibt genau zwei Geraden e und f, für die gilt: (1) Sie verlaufen parallel zur xz-ebene durch den Punkt P und schneiden die yz-ebene im Punkt S yz. (2) Der Schnittwinkel beider Geraden mit der yz-ebene beträgt α = 45. Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Geraden. (7 BE) 5.4 Durch die Punkte P und R ist die Strecke PR gegeben. Berechnen Sie den Wert a, für den die Strecke PR in der Ebene E a liegt und ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes R. Kennziffer Seite 6 Abiturprüfung 2007