Rechnerfreier Teil. Hauptprüfung Arbeitszeit 50 Minuten Hilfsmittel - ql49 eingeftihrte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte

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1 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 014/015 Schriftliche Abschlussprüfung an Fachoberschulen/ Zusatzprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife in berufl ichen Bildungsgängen Mathematik technische und nichttechnische Richtungen Hauptprüfung Rechnerfreier Teil Arbeitszeit 50 Minuten Hilfsmittel - ql49 eingeftihrte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Pllichtaufgaben Elementarmathematik GanzjationaleFunktionen O BE O BE Hinweise Dem Prüfungsteilnehmer werden die Aufgaben des rechnerfreien Teils und die Aufgaben des Teils mit Taschenrechner (ohne CAS) vorgelegt. Er bearbeitet zunächst die rechnerfreien Pflichtaufgabcn. Nach 50 Minuten übergibt er sämtliche Unterlagcn zum rechrefreien Teil der Aufsicht fi.ihrenden Lehrkraft. Dieser Aufgabensatz umfasst drei Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungstcilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aulsicht ftihrenden Lehrkrali anzuzeigen.

2 Pflichtaufgabe Elementarmathematik (rechnerfrei) N+T RE 1.1 Vereinfachen Sie folgenden Term soweit wie möglich: xy -9xy 4x-y l 1. Berechnen Sie den Wert für x mit x e n t {- t; O }, Gleichung erff.illt: der die folgende 8 =4 x+ 9x 1. Die Gerade h ist eine Normale zur Geraden g mit der Cleichung:,t slxl=-x+- "1 Bestimmen Sie diq Gleichung dernormalen h zur Geraden g im Punkt P (- ; -1). 1.4 Geben Sie den Definitionsbereich und die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion f an: -, x-x 6 r(x l= * -', 1.5 Ein rechteckiges Beet ist dreimal so lang wie breit. Sein Umfang beträgt 1 m. Berechnen Sie die Seitenlängen des Beetes. 10 ll,:,,,;ri,,,. :. J ), i i,,,.., ). : i ) r r'j -lrl l:,, i

3 Pllichtaufgabe N+T Ganzrationale Funklionen (rechnerfrei) BE.0 Eine Funktion f dritten Grades weist eine einfache Nullstelle bei x = 0 und eine doppelte Nullstelle bei x = x, = 4 ar-rf. hr Graph Gr ist weder gestreckt noch gestaucht. Außerdem gilt Dr =R..1 Zeigen Sie über einen geeigneten Ansatz, dass f(x) = x - eine mögliche Gleichung der Funktion fist. 8x': + 16x. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion fan der Stelle x = 1 ein Maximum besitzt.. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen G, an der Stelle x = 1..4 B rechnen Sie den nhalt der Fläche, die vom Graphen G, und der Abszissenachse im ntervall [O; Z ] begrenzt wird. t0

4 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr Schriftliche Abschlussprüfu ng an Fachoberschulen/ Zusatzprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife in berufl ichen Bildungsgängen Mathematik technische Richtungen Hauptprüfung Teil mit Taschenrechner (ohne CAS) Arbeitszeit Hilfsmittel 160 Minuten - qi.lg eingellihrle gedruckte Formelsammlung - qi1 Taschenrechner ohne Computeralgebrasystem (CAS) - Zeichengeräte Pflichtaufgaben 4 Vektonechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung O BE O BE Wahlaufgaben Exponentialfunktionen zur Basis e Trigonometrische Funktionen Vektorrechnung 0 BE 0 BE 0 BE Hinweise Dem Prüfungsteilnehmer werden in diesem Prüfungsteil flinf Aufgaben vorgelegt, zwei Pflichtaufgaben und drei Wahlaufgaben. Er hat zwei Pflichtaufgaben und zwei Wahlaufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl trifft der Prüfungsteilnehmer. Er kennzcichnet die abgewählre Aufgabe eindeutig auf dem Deckblatt. Dieser Aüfgabensatz umfasst sechs Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Pdftrngsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht fi.ihrenden Lehrkraft anzuzeigen.

5 Pllichtaufgabe N+T -t Vektorrechnung BN.0 n einem kartesischen Koordinatensystqm sind die Punkte a.(z;-t;-t), e(-:;4;-1) und c(s;z; t) sowie _ f ') der Vekror u=l t lgegeben. ( 0l.1.0 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B, die Gerade h verläuft durch den Punkt C und hat den Richtungsvektor i..1.1 Geben Siejeweils eine Gleichung ftir die Geraden g und h an..1. Zeigen Sie, dass die Geraden g und h zueinander parallel verlaufen, aber nicht identisch sind...0 Die Punkte A, B und C sind die Eckpulkte eines Dreiecks ABC...1 Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC am Eckpunkt A einen rechten winkel besitzt... Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC... Geben Sie die Lzinge der Seite BC] an. 10

6 Pflichtaufgabe N+T 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung BE 4.0 Ein Hersteller von Schokoladeneiem wirbt damit, dass sich in jedern siebenten Ei eine belicbtc Sammelfigur (F) bcfindct. 4.1 Nennen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einen zufiillig ausgervähltcn Schokoladenei keine Sammelfigur befi ndet Herr Süß kauft drei zuliillig ausgewählte Schokoladeneier Bestimmcn Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignissc: A: n allcn drci Schokoladcncicm befindct sich eine Sammelfigur- B: n den drci Schokoladcncicm befindct sich mindestens eine Sammclfigur. 4.. Emitteln Sie, wic viclc Schokoladencicr Herr Süß mindestens kaufen müsstc, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als wenigstcns eine Sammelfigur zu erhalten Herr Süß ist Mathematiklehrer in einer FOS-Klasse mit 1 Schülem. Er schenktjcdem Schüler zum erfolgreichen Abschluss ein zuliillig ausgewähltes Schokoladenei Gcben Sie an. wie viele Sammelfiguren insgesamt zu erwafien sind. 4.. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Schüler mehr als zwci. aber höchstens ftinf Sammclfiguren crhalten. l0

7 Wahlaufgabe T 5 Exponentialfunktionen zur Basis e BE 5.0 Ccgcbcn sind dic reellen Funktioncn f, : r, (x)= (zx + t ).c * ; t R. Die Graphen der Funktionen fr werden mit G, bezeichnet n dicscr Tcilaufgabe gilt: t= Geben Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G, an Berechnen Sie die Koordinatcn und dic Art des relativcn Extrempunktes von f, Dcr Graph G ' hat genau einen Wendepunkt. cebcn Sie die Koordinaten des Wendepunktes an. (ohne Nachweis) Skizzicren Sic den Graph G, in ein kartesisches Koordinatensystem im ntervall -1.5<x< Ennitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Craphen dcr Fünktion f, an der Stclle x = Dcr Graph G,,dieGerade x=5 und die Abszissenachse begrcnzen cinc Flächc vollständig. Bestimmen Sie den nhalt dieser Fläche Die Punkte A(-1;0), B(x;0) und C(x; f,(x))mit x > 0 sind die Eckpunkte eines Drciecks ABC. Bestimmen Sie den Wert x. ftir den das Dreicck ABC maximalen Flächcninhalt hat und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an ln dieser Teilaufgabe gilr:. R Bestimmen Sie den Wert t, für den der Graph Gl an der Stelle x = den Ansticg m = 0,5 besitzt. 5.. Zeigen Sie, dass dic Fünktion q(x)=-(:x+t+z).e - ' eine Stammfunktion von fr ist. 5.. Ermitteln Sie den Wcrt t, fth den die Stammfunktion 4 aus Aufgabe 5.. durch den Punkt Sy (0 ; ) verlauft. n

8 Wahlaufgabe T 6 Trigonometrische Funktionen BE 6.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f": f.,(x)=a.q6.11 1l im ntervall [0;r] ; aer; a>0 { 7l Die Graphen der Funktioncn q werden mit G" bezeichnet n dieser Teilaufgabe gilt: a= Geben Sie liir fj den Wertebereich und die kleinste Pcriode an Gcbcn Sie die Nullstellen von f.r an Zcigcn Sie, dass der Punkt W (n;0 ) ein Wendepunkt von fr ist. l Ceben Sie die Glcichung der Tangente t und der Nomalen n an G r im Punkt W (n;0 ) an Die Tangente t und dic Normale n begrenzen mit der y-achse einc Fläche. Ermitteln Sie den nhalt dieser Fläche m ntervall ] 0; + schließr C mit der x-achse eine Fläche vollständig L ein. Berechnen Sie unter Verwendung der Stammfunktion den lnhalt dieser Fläche Der Craph C, hat zum Craphen dcr Funklion g{r )- ', an einer Stelle x im ntervall 0<x< maximalen Abstand. Bestimmen Sie diesen Wcrt x n dieser Teilaufgabe gilt: a e R und a > Berechnen Siedie Extremstelleü von f" im ntervall l0;7t]. (ohnc Nachweis) 6.. Ceben Sie den Ansrieg der funkrionen f, an der Stelle * -.n. n

9 Wahlaufgabe T 7 V ktorrechnung BE '7.0 n einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punktc e(t; t;:), e(s; :;t) und Ck(k+l;k;l)mit k R sowie die Gerade h: ( i\ 1\ h: r- t +r.l gegcbcn. 4,l \0,/ 7.1. Die Punkte A und B licgen aufeiner Geraden g. Geben Sie eine Gleichung der Gerade g an. '7. Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktcs S ünd bcstimmen Sie den Schnittwinkel. 7. Dic Geraden g und h beschreiben eine Ebene E. Ceben Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und in Koordinatenfom an. '7.4. Bestimmen Sie den Wert k, für den der Punkt Ck in der Ebene E liegt. 4 '7.5 Ermitteln Sie dic Wcrte k, für wclchc der Abstand des Punktes Ck von der Ebene E JT LE b"t agt Dic Punkte A, B und C* sind die Eckpunkte eines Dreiecks AB Ck Zeigen Sie, dass flir den Flächeninhalt Augilt: Ar - l.r/tzot< -q6k+llb 7.6. Bestimmen Sie dic Wcrte k, ftir die dcr Flächeninhalt A* = ndg np beträgt Emitteln Sie dcn Wert k, flir den der Flächeninhalt Ar. minirnal wird. Geben Sic den minimalen Flächeninhalt an. l 0