Schriftliche Abiturprüfung. Mathematik. - Leistungskurs - Hauptprüfung. Teil A

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1 Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kultus Fachrichtung: Agrarwissenschaft Schuljahr 007/008 Ernährungswissenschaft Informations- und Kommunikationstechnologie Technikwissenschaft Biotechnologie Gesundheit und Soziales Schriftliche Abiturprüfung Mathematik - Leistungskurs - Hauptprüfung Teil A Hinweise Arbeitszeit: 60 Minuten Hilfsmittel: - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Eingeführte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Aufgaben: Pflichtaufgaben Teil A (1 Seite) Bemerkungen: Dem Prüfungsteilnehmer werden die Aufgaben im Teil A und im Teil B vorgelegt. Er bearbeitet zunächst die Aufgaben im Teil A. Nach 60 Minuten gibt der Prüfungsteilnehmer sämtliche Unterlagen zu Teil A bei der Aufsicht führenden Lehrkraft ab. Der Aufgabensatz umfasst Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht führenden Lehrkraft anzuzeigen. Kennziffer 8.1. Abiturprüfung 008

2 Teil A 0 BE Aufgabe A 1 Fassen Sie den Term a b c ( a b) 3 3 : 4c 3 so weit wie möglich zusammen. (1 BE) Aufgabe A Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen: x A.1 x+ = 1+ ( x R,x ) x x A. e e = 0 x x (4 BE) Aufgabe A 3 Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f t mit der Gleichung x + 4 y = f t (x) = ( t R;x R,x t) und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis ( x t ) so weit wie möglich. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f t an der Stelle x 0 = 0. (5 BE) Aufgabe A 4 Berechnen Sie je eine Stammfunktion der Funktionen f und g: A 4.1 y = f(x) = 3 4x + 4sin(x) x e A 4. y = g(x) = (1 x) (3 BE) Aufgabe A 5 Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades verläuft punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und schneidet an der Stelle x = die Abszissenachse. Der Anstieg an dieser Stelle beträgt 4. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Funktion. (4 BE) Aufgabe A 6 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y = f(x) = 3 3x. Der Graph von f begrenzt mit der Abszissenachse eine Fläche, die um diese Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen des entstandenen Rotationskörpers. (3 BE) Kennziffer 8.1. Teil A - Seite 1 Abiturprüfung 008

3 Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kultus Fachrichtung: Agrarwissenschaft Schuljahr 007/008 Ernährungswissenschaft Informations- und Kommunikationstechnologie Technikwissenschaft Biotechnologie Gesundheit und Soziales Schriftliche Abiturprüfung Mathematik - Leistungskurs - Hauptprüfung Teil B Hinweise Arbeitszeit: Hilfsmittel: 40 Minuten - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Grafikfähiger, programmierbarer Taschenrechner ohne Computeralgebra - Eingeführte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Aufgaben: Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Aufgabe Aufgabe 3 Wahlaufgaben Aufgabe 4 Aufgabe 5 ( Seiten) (1 Seite) (1 Seite) ( Seite) ( Seite) Bemerkungen: Dem Prüfungsteilnehmer werden im Teil B fünf Aufgaben vorgelegt, drei Pflichtaufgaben und zwei Wahlaufgaben. Er hat die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Die Auswahl trifft der Prüfungsteilnehmer. Werden beide Wahlaufgaben bearbeitet, so hat der Prüfungsteilnehmer die zu bewertende Wahlaufgabe deutlich zu kennzeichnen. Zur Lösung jeder Aufgabe ist ein neuer Reinschriftbogen zu verwenden. Der Aufgabensatz umfasst 9 Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht führenden Lehrkraft anzuzeigen. Kennziffer 8.1. Abiturprüfung 008

4 Teil B Pflichtaufgaben Aufgabe 1 5 BE 1.1 Gegeben ist für jede positive reelle Zahl a eine Funktion f a durch y = fa(x) = ax ( x D fa ). ax Geben Sie Definitionsbereich, Symmetrieverhalten sowie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion f a an. (4 BE) 1.1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f a. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f a keine Wendepunkte hat. (5 BE) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass die Tangente an den Graphen der Funktion f a an der Stelle den Anstieg - hat. ( BE) 1. Gegeben ist für jede reelle Zahl k ( 0) kx y = g (x) = e kx ( R) k k eine Funktion g k durch x. Weisen Sie nach, dass alle Funktionen g k den gleichen Extrempunkt besitzen und ermitteln Sie die Art dieses Extrempunktes in Abhängigkeit von k. (6 BE) 1.3 Bei der Erschließung eines neuen Wohngebietes will eine Gemeinde ein Grundstück nutzen, das die Form eines Quadrates mit angesetztem Kreisausschnitt hat. c Dabei soll ein rechteckiger Spielplatz mit möglichst großer Fläche entstehen (siehe Skizze). c β c Die Randgebiete sollen später als Grünstreifen genutzt werden. Kennziffer 8.1. Teil B - Seite 1 Abiturprüfung 008

5 1.3.1 Weisen Sie nach, dass für den Inhalt der rechteckigen Fläche des Spielplatzes in Abhängigkeit vom Winkel β gilt: A( β) = c sinβ + sinβcosβ ( ) Welchen Einfluss hat der Faktor c auf den Graph dieser Funktion? Für welchen Winkel β (in Grad) wird der Flächeninhalt maximal? Geben Sie den maximalen Flächeninhalt für c = 1 m an. (6 BE) 1.3. Ermitteln Sie, wie viel Prozent der Gesamtfläche unabhängig von der konkreten Seitenlänge des Quadrates als Spielplatzfläche genutzt werden können. ( BE) Kennziffer 8.1. Teil B - Seite Abiturprüfung 008

6 Aufgabe 15 BE In einem kartesischen Koordinatensystem sind für jede reelle Zahl k (k>0) ein Punkt A k (3 k / / 0 ), der Punkt B( 3 / 1 / 0 ), ein Punkt C k ( 5 / k+1 / 0 ), die Punkte E( - 0,5 / / 4 ), F( 3 / 1 / 4 ), G( 5 / 8 / 3 ) und H( 1,5 / 9 / 3 ) sowie die Punkte D 3,5 ( 1,5 / 9 / 0 ) und S( 4 / 4,5 / 3, ) gegeben..1 Die Punkte A k, B, C k und D k sind in dieser Reihenfolge die Eckpunkte eines Parallelogramms A k BC k D k. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D k in Abhängigkeit von k. Weisen Sie nach, dass das Viereck A k BC k D k für jeden Wert k ein Rechteck ist, in dem die Seitenlänge BC doppelt so lang ist wie die Seitenlänge A B. k Die Punkte A k, B, C k und D k sind die Eckpunkte der rechteckigen Grundfläche eines überdachten PKW-Stellplatzes (Carport). Berechnen Sie den Wert k so, dass der Carport eine Grundfläche von 6,50 m hat. (8 BE) k. Betrachtet wird jetzt für k = 3,5 der Carport mit der rechteckigen Grundfläche A 3,5 BC 3,5 D 3,5 und der rechteckigen, aber nicht parallel zur Grundfläche liegenden Dachfläche EFGH. Ermitteln Sie die Neigung des Daches gegenüber der Grundfläche in Grad. (3 BE).3 An der trapezförmigen Seitenwand BC 3,5 GF des Carports wird im Punkt S ein Halogenstrahler angebracht, dessen Lichtstrahl,9 r dem Richtungsvektor a = 3,1 folgt.,4 Bestimmen Sie, in welchem Punkt L (in einem leeren Carport) die gegenüberliegende trapezförmige Seitenwand A 3,5 D 3,5 HE angestrahlt wird. Begründen Sie, dass dieser Punkt L innerhalb der Trapezfläche A 3,5 D 3,5 HE liegt. (4 BE) Kennziffer 8.1. Teil B - Seite 3 Abiturprüfung 008

7 Aufgabe 3 15 BE 3.1 Die Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 13 eines Beruflichen Schulzentrums spielen im Rahmen des Sportunterrichts Basketball. Aus den drei Grundkursen und einem Leistungskurs Mathematik soll je eine Mannschaft gebildet werden Wie viele Spiele werden bei dem Turnier gespielt, wenn jede Mannschaft gegen jede andere genau einmal spielt. Geben Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Belegung der ersten beiden Plätze an, wenn man gleich starke Mannschaften voraussetzt. ( BE) 3.1. Sabine gehört zu den besten Spielerinnen. Sie trifft den Korb bei 10 Würfen durchschnittlich achtmal. Allerdings wird sie bei einem Fehlwurf nervös und trifft unmittelbar danach beim nächsten Wurf nur noch mit 55%iger Sicherheit. Zeichnen Sie das Baumdiagramm für 3 Würfe und berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit Sabine beim 3. Wurf trifft. (5 BE) Die Trefferwahrscheinlichkeit von Tina liegt bei 55%. Bestimmen Sie, wie viele Würfe Tina im Training mindestens durchführen muss, damit mit einer Sicherheit von mehr als 99% der Korb wenigstens einmal getroffen wird. (3 BE) 3. Ein Basketball fällt nach einem Korbwurf aus einer Höhe von h 0 = 3,05 m auf den Hallenbelag zurück. Lässt man ihn prellen, verringert sich die Steighöhe des Balles nach jedem Aufschlag auf den Hallenboden um jeweils 0% der vorherigen Höhe. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für die Steighöhe des Balles in Abhängigkeit von der Anzahl der Aufschläge. Begründen Sie Ihren ausgewählten Funktionstyp. Bestimmen Sie, ab dem wievielten Aufschlag die Steighöhe des Balles unter 30 cm bleibt. (5 BE) Kennziffer 8.1. Teil B - Seite 4 Abiturprüfung 008

8 Wahlaufgaben Aufgabe 4 15 BE Ein Gewerbegebiet benötigt einen Energieverteiler, der im Kreuzungspunkt zweier orthogonaler Straßen liegt (siehe Skizze, nicht maßstäblich). Norden Trafostation Straße Verteiler Straße 1 Osten Straße 1 hat eine Länge von 600 m, Straße von 800 m. Für das Verlegen der Kabel vom Verteiler zur Trafostation wird ein Kabelgraben benötigt. Die Kosten für die zu verrichtenden Erdarbeiten werden entlang der Straße mit 10 pro Meter, durch das Gelände mit 15 pro Meter kalkuliert. Es stehen verschiedene Varianten zur Auswahl. 4.1 Geben Sie die entstehenden Kosten an, wenn der Kabelgraben (1) vom Verteiler in Richtung Osten entlang der Straße 1 und dann senkrecht durch das Gelände zur Trafostation, () vom Verteiler in Richtung Norden entlang der Straße und dann parallel zur Straße 1 durch das Gelände zur Trafostation, (3) von der Verteilerstation auf kürzestem Weg zur Trafostation, (4) erst 100 m entlang Straße 1 und dann geradlinig durch das Gelände zur Trafostation verlegt wird. (4 BE) Kennziffer 8.1. Teil B - Seite 5 Abiturprüfung 008

9 4. Die Kosten lassen sich aber noch weiter senken, wenn der Kabelgraben ausgehend vom Verteiler erst ein bestimmtes Wegstück s entlang der Straße und dann geradlinig durch das Gelände zur Trafostation geführt wird. Fertigen Sie eine Skizze an. Stellen Sie die Gleichung einer Funktion auf, die die Herstellungskosten k (in Euro) in Abhängigkeit von der Länge s (in Meter) des Wegstücks angibt und geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich dieser Funktion an. Bestimmen Sie die Länge s des Wegstücks so, dass die Herstellungskosten minimal sind und geben Sie die minimalen Kosten an (Runden Sie Ihre Ergebnisse auf ganzzahlige Werte auf!). Stellen Sie den Graphen der Funktion k(s) in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar und interpretieren Sie die Funktionswerte an den Rändern Ihres gewählten Definitionsbereiches. Geben Sie die Länge des Kabelkanalstücks an, das durch das Gelände verläuft. (11 BE) Kennziffer 8.1. Teil B - Seite 6 Abiturprüfung 008

10 Aufgabe 5 15 BE Im Rennsteigtunnel unterquert die Autobahn A71 den Gebirgskamm des Thüringer Waldes. Dieser Tunnel, der längste Autobahntunnel Deutschlands, besteht aus zwei parallelen, etwa gleichlangen Röhren. Jede Röhre hat einen Durchmesser von ca. 10 m. Die Achse der östlichen Röhre des Rennsteigtunnels lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem näherungsweise durch die zwei Geraden g und h k beschreiben (k R). Die xy-ebene stellt den Meeresspiegel dar, die z-achse die Höhe über NN. (Die Skizze zeigt einen Profilschnitt der östlichen Röhre; alle Angaben in km). Quelle der ursprünglichen Grafik: Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(7,6 / 5,8 / 0,6) und R(6,64 / 5,08 / 0,618). Die Gerade h k verläuft durch den Punkt B(1,38 / 1,1 / 0,605) in Richtung des, r Vektors uk = k. 0,07 Im Punkt S(3,6 /,8 / 0,675) erreicht die Tunnelachse ihren höchsten Punkt, denn dort überquert sie den bereits in den Jahren gebauten Brandleitetunnel, in dem die Eisenbahnlinie Erfurt - Schweinfurt den Thüringer Wald unterquert. 5.1 Weisen Sie nach, dass sich die beiden Röhrenteile für genau einen Wert k im Punkt S treffen und geben Sie diesen Wert k an. In welcher Höhe über NN befindet sich dieser Punkt S? Geben Sie die Größe des stumpfen Winkels α an, unter dem die beiden Röhrenteile aufeinander treffen. (8 BE) 5. Bestimmen Sie die Gesamtlänge der in der Skizze dargestellten östlichen Röhre des Rennsteigtunnels in km. ( BE) Kennziffer 8.1. Teil B - Seite 7 Abiturprüfung 008

11 5.3 Ermitteln Sie die Steigung der A71 innerhalb des Rennsteigtunnels zwischen den Punkten B und S in Grad. ( BE) 5.4 Die Achse des Brandleitetunnels verläuft im selben Koordinatensystem zwischen den Punkten X(1,1 /,8 / 0,683) und Y(4,1 /,8 / 0,653). Für den Durchmesser des Brandleitetunnels wird ebenfalls ein Wert von 10 m angenommen. Berechnen Sie die Stärke der Gesteinsschicht zwischen dem Brandleitetunnel und dem Rennsteigtunnel. (3 BE) Kennziffer 8.1. Teil B - Seite 8 Abiturprüfung 008