Schriftliche Abiturprüfung. Mathematik. - Leistungskurs - Hauptprüfung. Teil A

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1 Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kultus und Sport Fachrichtung: Agrarwissenschaft Schuljahr 2009/2010 Ernährungswissenschaft Informations- und Kommunikationstechnologie Technikwissenschaft Biotechnologie Gesundheit und Soziales Schriftliche Abiturprüfung Mathematik - Leistungskurs - Hauptprüfung Teil A Hinweise Arbeitszeit: 60 Minuten Hilfsmittel: - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Eingeführte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Aufgaben: Pflichtaufgaben Teil A (2 Seiten) Bemerkungen: Dem Prüfungsteilnehmer werden die Aufgaben im Teil A und im Teil B vorgelegt. Er bearbeitet zunächst die Aufgaben im Teil A. Nach 60 Minuten gibt der Prüfungsteilnehmer sämtliche Unterlagen zu Teil A bei der Aufsicht führenden Lehrkraft ab. Der Aufgabensatz umfasst im Teil A 3 Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht führenden Lehrkraft anzuzeigen. Kennziffer Abiturprüfung 2010

2 Teil A 20 BE Aufgabe A Berechnen Sie die Lösungen x der Gleichung x ax a x = 0 4 und geben Sie deren Anzahl in Abhängigkeit von a an. + ( x R; a R) Aufgabe A 2 Gegeben ist die Funktion g mit y = g( x) = 2x sin x ( R) Die Tangente, die im Punkt P( / g( π) ) (4 BE) x. π an den Graphen der Funktion g gelegt werden kann, schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein. Berechnen Sie das Volumen des Kegels, der entsteht, wenn dieses Dreieck um die x-achse rotiert. Aufgabe A 3 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y f(x) 2 2 x = = ( x R, x 0). (4 BE) Für jede reelle Zahl a (a > 0) sind die Punkte Pa ( a/0 ), Qa ( a/f(a) ), Ra ( a/f( a) ) S ( a/0) die Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. a und Berechnen Sie die Abszisse des Punktes P a so, dass der Umfang des Rechtecks minimal wird. Aufgabe A 4 Im Rechnerfenster rechts ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Welche der folgenden Abbildungen stellt die erste Ableitungsfunktion dar? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (1) (2) (3) (4) Kennziffer Teil A - Seite 1 Abiturprüfung 2010

3 Aufgabe A 5 a 2x 1 Berechnen Sie die reelle Zahl a so, dass gilt: 2 x e dx =. 2 0 (4 BE) Aufgabe A 6 (2 BE) Ein Schülerausschuss besteht aus drei Jungen und zwei Mädchen. Es wird ausgelost, wer Vorsitzender und wer Stellvertreter wird. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: A: Ein Mädchen wird Vorsitzende und ein Junge wird Stellvertreter. B: Ein Mädchen wird Stellvertreterin. Kennziffer Teil A - Seite 2 Abiturprüfung 2010

4 Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kultus und Sport Fachrichtung: Agrarwissenschaft Schuljahr 2009/2010 Ernährungswissenschaft Informations- und Kommunikationstechnologie Technikwissenschaft Biotechnologie Gesundheit und Soziales Schriftliche Abiturprüfung Mathematik - Leistungskurs - Hauptprüfung Teil B Hinweise Arbeitszeit: Hilfsmittel: 210 Minuten - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Taschenrechner mit Computer-Algebra-System (CAS) - Eingeführte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Aufgaben: Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Aufgabe 2 Wahlaufgaben Aufgabe 3 Aufgabe 4 (2 Seiten) (1 Seite) (2 Seiten) (1 Seite) Bemerkungen: Dem Prüfungsteilnehmer werden im Teil B vier Aufgaben vorgelegt, zwei Pflichtaufgaben und zwei Wahlaufgaben. Er hat die zwei Pflichtaufgaben und eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Die Auswahl trifft der Prüfungsteilnehmer. Werden beide Wahlaufgaben bearbeitet, so hat der Prüfungsteilnehmer die zu bewertende Wahlaufgabe deutlich zu kennzeichnen. Zur Lösung jeder Aufgabe ist ein neuer Reinschriftbogen zu verwenden. Der Aufgabensatz umfasst im Teil B 7 Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht führenden Lehrkraft anzuzeigen. Kennziffer Abiturprüfung 2010

5 Teil B Pflichtaufgaben Aufgabe 1 15 BE 1.1 Bestimmen Sie die Menge aller Funktionen, die als erste Ableitung die Funktionen f a,b,c mit der Gleichung haben. fa,b, c (x) = 2a x + bx + c ( x D ) f á,b,c ; a R, a 0; b R, b 0; c R, c 0 Genau eine dieser Funktionen hat im Punkt W(1 / 5) einen Wendepunkt, in dem die zugehörige Tangente den Anstieg 6 besitzt. Außerdem verläuft der Graph der Funktion durch den Punkt P(0 / 1). Bestimmen Sie die Gleichung dieser speziellen Funktion. (6 BE) 1.2 Gegeben ist für jede Zahl a und b ( a R, a 0; b R, b 0) eine Funktion g a,b mit b 4 y = ga,b (x) = x a x ( x R, x 0) mit b = - a Begründen Sie, dass die Funktion g a,b genau einen lokalen Extrempunkt hat. Ermitteln Sie den Wert des Parameters a so, dass die zugehörige Funktion den Extrempunkt E(4 / 24) besitzt. (5 BE) Kennziffer Teil B - Seite 1 Abiturprüfung 2010

6 Für a = und b = entspricht der Graph der zugehörigen Funktion g a,b im Intervall 0 x annähernd dem Hang eines Motorsportgeländes 9 (1 LE = 1 km). Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, in dem dieser Hang die größte Steigung besitzt. Wie groß ist der zugehörige maximale Steigungswinkel? Bei einem Wettkampf kommen im ersten Durchgang im Durchschnitt 15 % der Sportler fehlerfrei zum Ziel, 20 % mit einem Fehler, 25 % mit zwei Fehlern. Alle anderen machen drei oder mehr Fehler. Im zweiten Durchgang ändern sich die Werte wie folgt: fehlerfrei: 10 % ein Fehler: 20 % zwei Fehler: 45 %. Es finden zwei Durchgänge statt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler in beiden Durchgängen fehlerfrei ins Ziel kommt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht ein Sportler in jedem der beiden Durchgänge mindestens drei Fehler? (4 BE) Kennziffer Teil B - Seite 2 Abiturprüfung 2010

7 Aufgabe 2 15 BE A D a F R S c C E b B Skizze (nicht maßstäblich) In einem Urlaubsgebiet befindet sich ein Aussichtsturm, dessen Grundgerüst aus den drei Stahlstreben AS, BS und CS besteht. Die Lage dieser Stahlstreben wird in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem durch die Punkte A(10 / 0 / 0), B(0 / 10 / 0) bzw. C(0 / 0 / 2) und durch die Richtungsvektoren r r r a = 0, b = 1 bzw. c = beschrieben (siehe Skizze, 1 LE 1 m). 2.1 Der Aussichtsturm steht auf einer Ebene G, die durch die Punkte A, B und C festgelegt ist. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G in Parameterform und in parameterfreier Form an. (2 BE) 2.2 Weisen Sie nach, dass die drei oben beschriebenen Stahlstreben des Turmes in einem gemeinsamen Punkt S zusammentreffen und geben Sie die Koordinaten des Punktes S an. 2.3 In einer Höhe von 30 m über der xy-ebene befindet sich parallel zu dieser Ebene eine dreieckige Aussichtsplattform. Die Eckpunkte D, E und F der Plattform sind mit den Stahlstreben des Grundgerüstes verankert (siehe Skizze). Berechnen Sie den Flächeninhalt der Aussichtsplattform. (4 BE) 2.4 Die Stahlstrebe, deren Lage durch den Punkt C und den Richtungsvektor c r festgelegt ist, endet im Punkt R(0 / 0 / 50). In diesem Punkt R wurde eine Richtfunk-Antennenanlage installiert, die die umliegenden Touristikzentren mit Breitband-Internet per Funk versorgen soll. Der Richtfunk wurde so eingestellt, dass nur Orte erreicht werden, die sich auf den Geraden durch die Punkte R und P a (a 100 / a² + 200a / 50) (a R, 0 < a < 200) befinden Das Büro einer Hotelanlage befindet sich im Punkt H(- 40 / 1800 / 0). Prüfen Sie rechnerisch, ob man in diesem Büro durch die Richtfunk- Antennenanlage des Aussichtssturmes über einen Breitband-Internetzugang verfügen kann Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P a, der die größte Luftlinienentfernung von der Richtfunk-Antennenanlage im Punkt R hat und geben Sie diese Luftlinienentfernung an. Runden Sie die Entfernung auf einen ganzzahligen Wert. Kennziffer Teil B - Seite 3 Abiturprüfung 2010

8 Wahlaufgaben Aufgabe 3 10 BE Ein Parfümhersteller möchte ein neues Produkt auf den Markt bringen. 3.1 Drei Produktentwickler werden beauftragt, eine Flasche mit einem Fassungsvermögen zwischen 60 ml und 65 ml zu entwerfen. Damit die Flasche zur Kollektion passt, darf sie nicht höher als 10 cm sein und muss an ihrer dicksten Stelle einen Innendurchmesser von maximal 5 cm haben. Zunächst ist die innere Randkontur durch eine geeignete Funktion zu beschreiben (1 LE 1 cm). Der Verschluss ist dabei nicht zu gestalten, an der Oberseite der Flasche muss dafür aber ein Durchmesser von 2 cm vorhanden sein. Es wurden die folgenden drei Funktionen als Entwürfe vorgeschlagen: ( x + 20x 125x + 250x) f(x) = mit x R, 0 x g (x) = sin x + 1 mit x R, 0 x 7 5 h(x) 1 1 e 0,25x 1 = + e mit x R, 0 x 7. Durch Rotation der Graphen dieser Funktionen um die x-achse soll die innere Randkontur der Flasche beschrieben werden. Die Oberseite der Flasche liegt auf der y-achse. Prüfen Sie, ob alle drei Entwürfe die oben genannten Kriterien erfüllen. Alle Flaschen, die die oben genannten Kriterien erfüllen, werden in derselben Wandstärke ausgeführt und erhalten die gleiche Verschlusshöhe. Welche Funktionsvariante ist zu wählen, wenn die Flasche in einem quaderförmigen Karton verpackt wird und der Materialbedarf dafür minimal sein soll? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (5 BE) Kennziffer Teil B - Seite 4 Abiturprüfung 2010

9 3.2 Der Hersteller überlegt, welches Material für die Verpackung verwendet werden soll. Für die Materialkosten k t (in Euro) in Abhängigkeit von der Anzahl x der Flaschen gilt: k (x) = 0,002 x 0,1t x + 3 t x 10 (t R). t + Der Parameter t ist eine spezifische Konstante für das Verpackungsmaterial. Die Kosten für die Verpackung aus Papier lassen sich durch Einsetzen des Parameterwertes t = 2 beschreiben. Zur Produkteinführung soll aber eine Sonderedition von 45 Flaschen präsentiert werden, die einzeln in einer Kunststoffpackung liegen. Die Verpackung aus Kunststoff ist optisch ansprechender und kostengünstiger als die Papierverpackung. Der Wert des Parameters t kann während der Herstellung der Kunststoffverpackung verändert werden. Untersuchen Sie, wie groß der Parameter t zu wählen ist, damit bei der Verpackung von 45 Flaschen eine maximale Kosteneinsparung erzielt wird. 3.3 Das neue Produkt wird auf einer Messe mit einer sehr großen Zahl an Besuchern präsentiert. Erfahrungsgemäß interessieren sich 30 % aller Messebesucher für neue Produkte dieser Branche. Ermitteln Sie, wie viele Messebesucher mindestens angesprochen werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Interessenten dabei zu haben, über 90 % liegt. (2 BE) Kennziffer Teil B - Seite 5 Abiturprüfung 2010

10 Aufgabe 4 10 BE 4.1 Die Funktion f a,b mit f a,b a b t a t (t) = (e e ) mit t R, t 0 und a,b R; a > 1 a b beschreibt die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut eines Patienten in mg/l in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden). Die Parameter a und b kennzeichnen spezielle Konstanten zur näheren Beschreibung von Wirkstoffaufnahme und Wirkstoffabbau. Es gilt: a = 5b. Der Wirkstoff werde zum Zeitpunkt t = 0 durch eine Tablette verabreicht. Nach genau einer Stunde wird im Blut des Patienten eine Konzentration von 0,647 mg/liter gemessen. Bestimmen Sie einen Wert für den Parameter b. (2 BE) 4.2 Im Nachfolgenden gelte für die Wirkstoffkonzentration k (in mg/l) in Abhängigkeit von der Zeit t (in h) 0,3t 1,5 t k(t) 1,25(e e ) (t R,t 0) =. Geben Sie den Zeitpunkt der maximalen Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten an. Wie groß ist der maximale Wirkstoffgehalt im Blut, wenn man davon ausgeht, dass ein Mensch etwa 5 Liter Blut besitzt? Zu welchem Zeitpunkt ist die Abnahme der Wirkstoffkonzentration im Blut am größten? Wie groß ist sie zu diesem Zeitpunkt? Interpretieren Sie das Verhalten der Funktion k für t. (5 BE) 4.3 Die Behandlung mit dem Medikament führt in 60 % der Fälle zum Erfolg, ohne dass erkennbare Nebenwirkungen auftreten. In 30 % der Fälle treten für den Patienten leichte Nebenwirkungen auf, schwere Nebenwirkungen wurden bei 0,2 % der Patienten ermittelt. Dem Test liegt das Ergebnis der Befragung von 100 Patienten zu Grunde Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: A: Mehr als die Hälfte der Patienten verträgt das Medikament ohne Nebenwirkungen. B: Mindestens 30 Patienten, aber weniger als 40 Patienten haben leichte Nebenwirkungen. (2 BE) Das Medikament soll an 385 Patienten verabreicht werden. Bei wie vielen Patienten ist mit schweren Nebenwirkungen zu rechnen? (1 BE) Kennziffer Teil B - Seite 6 Abiturprüfung 2010