Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik

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1 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 1993/94 Geltungsbereich: für Klassen 10 an - Mittelschulen - Förderschulen - Abendmittelschulen Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik Realschulabschluß Allgemeine Arbeitshinweise Die schriftliche Abschlußprüfung besteht aus 2 Teilen: Teil I (Plichtaufgaben) Teil II (Wahlaufgaben) Vor der planmäßigen Arbeitszeit stehen Ihnen 15 Minuten zum Vertrautmachen mit den Aufgaben zur Verfügung. Die Arbeitszeit zur Lösung aller Aufgaben beträgt 240 Minuten. Es ist eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Wird mehr als eine Wahlaufgabe völlig richtig gelöst, so wird eine Bewertungseinheit zusätzlich erteilt. Eine Bewertungseinheit wird zusätzlich erteilt, wenn die Form mathematisch und äußerlich einwandfrei ist. Bei mehreren wesentlichen Verstößen gegen die Kriterien einer mathematisch einwandfreien Form wird eine Bewertungseinheit abgezogen. Erfolgen außerdem wesentliche Verstöße gegen die äußere Form, so wird eine weitere Bewertungseinheit abgezogen. Geometrische Konstruktionen und Zeichnungen sind auf unliniertem Papier auszuführen. Graphen von Funktionen sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Einheit 1 cm) auf Millimeterpapier darzustellen. Die Lösungsdarstellung muß einen erkennbaren Weg aufzeigen. Das Ergebnis ist hervorzuheben. Sie dürfen folgende Hilfsmittel verwenden: - Tabellen- und Formelsammlung ohne ausführliche Musterbeispiele sowie ohne Wissensspeicheranhang - nicht programmierbarer Taschenrechner - Zeichengeräte und Kurvenschablonen - Duden (Deutsche Rechtschreibung) Sign. 8/1/1

2 Teil I (Pflichtaufgaben) Aufgabe 1 Ein Geldinstitut bietet seinen Kunden zwei Sparvarianten über eine Laufzeit von jeweils drei Jahren an. Bei Sparvariante A gilt über die gesamte Laufzeit ein fester Zinssatz von 5,30 %. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende ausgezahlt, so daß kein Zinseszins entsteht. In der Sparvariante B werden im ersten Jahr 5,00 %, im zweiten Jahr 5,25 % und im dritten Jahr 5,50 % Zinsen gezahlt. Die Zinsen werden jährlich dem Guthaben gutgeschrieben, so daß Zins und Zinseszins angesammelt werden. a) Ein Sparer beabsichtigt, einen Geldbetrag von ,00 DM anzulegen. Berechnen Sie für beide Sparvarianten die jeweils insgesamt erreichbaren Zinsen, und leiten Sie daraus eine Angebotsempfehlung für den Sparer ab. b) Geben Sie den Betrag an, den ein Sparer nach Sparvariante A einzahlen muß, wenn er jährlich 530,00 DM an Zinsen erhalten möchte. Aufgabe 2 Gegeben sind die Funktionen f und g durch ihre Funktionsgleichungen y = f(x) = sin x (x R) und y = g(x) = a sin x (x R ; a R ; a = 0) a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f mindestens im Intervall - π x 2π in ein Koordinatensystem. π 3 b) Der Punkt P ; gehört zum Graph der Funktion g. Bestimmen Sie den Wert 2 2 für a, und geben Sie die Funktionsgleichung an. c) Zeichnen Sie den Graph der Funktion g mindestens im Intervall -π x 2π in das bei a) verwendete Koordinatensystem. d) Geben Sie den Funktionswert der Funktion g für das Argument x = π an. 6 Sign. 8/1/2

3 Aufgabe 3 Gegeben ist das Gleichungssystem (1) x + y = 6 (2) y = 2 x - 3 a) Lösen Sie dieses Gleichungssystem rechnerisch und zeichnerisch. (Längeneinheit im Koordinatensystem: 1 cm) b) Die Graphen der zugehörigen Funktionen bilden mit der y-achse ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Aufgabe 4 Der Ausbau der Bundesautobahn A 72 verlangt eine Erneuerung der 650 m langen Brücke in Wilkau-Haßlau. Für die Bauarbeiten wird ein Hilfspfeiler in Gittermastkonstruktion errichtet. Seine Höhe kann vom Niveau der Bundesstraße B 93 aus ermittelt werden (siehe Skizze). Berechnen Sie die Höhe des Gittermastes (FP), wenn folgende Meßwerte bekannt sind : AB = 61,0 m ; α = 23,5 ; δ = 38,0. Aufgabe 5 Ein gerades dreiseitiges Prisma hat als Grund- und Deckfläche gleichschenklige Dreiecke mit einer Basislänge von 1,8 dm und einer Höhe von 1,2 dm. Die Höhe des Prismas beträgt 2,1 dm. a) Zeichnen Sie das Netz des Prismas im Maßstab 1 : 3. b) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt des Prismas. c) Stellen Sie das Prisma als Schrägbild im Maßstab 1 : 3 dar. Sign. 8/1/3

4 Aufgabe 6 a) Es seien x der absolute Betrag von - 4, y die entgegengesetzte Zahl zu 1,2 und z das Reziproke von 2 5. Berechnen Sie von x, y und z die Summe und das Produkt. b) In der nebenstehenden Skizze sei α = 37. Geben Sie die Größe des Winkels δ Begründen Sie Ihren Lösungsweg. c) In der folgenden Häufigkeitstabelle ist das Ergebnis einer Umfrage zur Krankenversicherung angegeben. Krankenversicherte pflichtversichert freiwillig versichert sonstige Anzahl Ermitteln Sie den Anteil der Personen, die nicht pflichtversichert sind. d) Auf einer quadratischen Sperrholzplatte ABCD der Seitenlänge a wurden Kreisbögen aufgezeichnet (siehe Skizze). Es wird behauptet, daß beim Aussägen der schraffierten Fläche ASC die Länge des Schnittes von A nach C gleich der Länge des Schnittes von A über S nach C sei. Ist diese Behauptung wahr? Begründen Sie. Teil II (Wahlaufgaben) Sign. 8/1/4

5 Wahlaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung y= f(x) = x 3x (x R). 4 a) Zeichnen Sie den Graph von f mindestens im Intervall -1 x 4 in ein Koordinatensystem. b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. c) Zeichnen Sie durch den Punkt P (0; -1) parallel zur x-achse eine Gerade. Spiegeln Sie den Graph von f an dieser Geraden. Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes des gespiegelten Graphen an. d) Geben Sie die Funktionsgleichung der Spiegelgeraden an. Sign. 8/1/5

6 Wahlaufgabe 7.2 Eine Straße erhält in einem kreisförmigen Kurvenbereich eine neue Asphaltdecke. Der Krümmungsradius r beträgt 124,0 m; der Winkel α hat eine Größe von 60,0 (siehe Skizze). a) Um wieviel Meter ist die äußere Straßenkante länger als die innere, wenn die Straßenbreite 8,0 m beträgt? b) Berechnen Sie die zu asphaltierende Fläche. c) Die neue Asphaltdecke soll durchschnittlich 15 cm dick werden. Wieviel Kubikmeter Asphalt müssen angefahren werden, wenn aus arbeitstechnischen Gründen ein Mehrbedarf an Asphalt von 20 % zu berücksichtigen ist? Wahlaufgabe 7.3 Ein Eigenheimbesitzer ließ 1993 seinen Heizöltank, der ein Fassungsvermögen von Litern hat, erstmals auffüllen. Der Preis für 100 Liter Heizöl betrug 40,00 DM ohne Mehrwertsteuer (Nettopreis). a) Wieviel mußte der Eigenheimbesitzer für die vollständige Füllung des Tanks einschließlich 15 % Mehrwertsteuer bezahlen? b) Nach 10 Monaten ist der Heizöltank noch zu einem Drittel gefüllt. Wegen des derzeit günstigen Ölpreises läßt der Eigenheimbesitzer seinen Tank wieder vollständig auffüllen. Dafür bezahlt er einschließlich Mehrwertsteuer 1 207,50 DM. Berechnen Sie den Preis für 100 Liter Heizöl ohne Mehrwertsteuer (Nettopreis). c) Um wieviel Prozent war der Nettopreis je 100 Liter Heizöl bei der zweiten Füllung gegenüber der ersten gesunken? Sign. 8/1/6