Klausur unter abiturähnlichen Bedingungen Grundkursfach Mathematik - Ersttermin - Material für die Teilnehmerin. Allgemeine Arbeitshinweise

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1 Leibnizschule - Gymnasium Schuljahr 2008/09 Klausur unter abiturähnlichen Bedingungen Grundkursfach Mathematik - Ersttermin - Material für die Teilnehmerin Allgemeine Arbeitshinweise Ihre Arbeitszeit (einschließlich der Zeit für das Lesen der Aufgabentexte und der Zeit für die Auswahl der Wahlaufgabe) beträgt 240 Minuten. Die Prüfungsarbeit besteht aus den zu bearbeitenden Pflichtteilen A, B und C sowie dem Wahlteil D. Es sind alle Aufgaben der Pflichtteile zu bearbeiten. Aus dem Teil D ist genau eine der beiden Aufgaben zu bearbeiten. Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und (bei Konstruktionen) Hilfslinien muss deutlich erkennbar in gut lesbarer Form dargestellt werden. Bei Verwendung von GTR-Programmen ist anzugeben, aus welchen Eingabedaten das Programm welche Ausgabedaten berechnet. Insgesamt sind 60 Bewertungseinheiten (BE) erreichbar, davon im Teil A 25 BE, im Teil B 15 BE, im Teil C 10 BE, im Teil D 10 BE. Erlaubte Hilfsmittel: Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung Taschenrechner ohne Computer-Algebra-System Tabellen- und Formelsammlungen (im Unterricht eingeführt, ohne ausführliche Musterbeispiele) Zeichengeräte 1/10

2 Teil A: Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y=f x = 2x 2 x 2 1 x D f. a) Untersuchen Sie den Graphen G f der Funktion f auf Symmetrie, auf lokale Extrempunkte und auf Wendepunkte! Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an! 7 BE (Auf den Nachweis eventueller Wendepunkte wird verzichtet.) b) Geben Sie Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, den Wertebereich der Funktion und die waagerechte Asymptote von G f an. Untersuchen Sie den Graphen G f auf senkrechte Asymptoten und geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an. 5 BE c) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte des Graphen von f, die von der Geraden mit der Gleichung y = 2 den Abstand 0,1 LE haben. 3 BE d) Ermitteln Sie die Maßzahl des vom Graphen G f und der Geraden y = 1 vollständig eingeschlossen Flächeninhaltes. e) Die Tangente t an den Graphen von f im Punkt P(x p f(x p )) mit x p > 0 soll durch den Koordinatenursprung verlaufen. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P und geben Sie eine 3 BE Gleichung der Tangente t an! f) Für alle u (u R, u > 0) wird durch die Punkte Q(u f(u)), T(u 2), R(-u 2) und S(-u f(-u)) ein Rechteck bestimmt. Ermitteln Sie denjenigen Wert u, für den der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird! Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. 3 BE 2/10

3 Teil B: analytische Geometrie Gegeben ist ein dreiseitiges Prisma ABCDEF (siehe Abbildung) durch die Punkte A(5 1 2), B(7 7 5), C(3 7 5) und den Vektor AD= D a) Ermitteln Sie die Koordinaten der C Punkte D, E und F. b) Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC B gleichschenklig ist. c) Zeigen Sie, dass das Prisma ABCDEF A y gerade ist. x d) Berechnen Sie das Volumen des Prismas ABCDEF. e) Ermitteln Sie eine Gleichung für die Gerade g durch den Punkt A und den Mittelpunkt M BC der Seite BC. Berechnen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die x-y-ebene. Bestimmen Sie z so, dass der Punkt (5 13 z) auf der Geraden g liegt. f) Licht, das parallel zur z-richtung auf die Gerade g einfällt, erzeugt einen Schatten in der x-y-koordinatenebene. Zeigen Sie, dass die Schattengerade g* die Form x = 5 hat. Welche Bedingungen gelten in diesem Fall für die y- und z-koordinaten der Punkte der Schattengerade? g) Eine Ebene ε durch die Punkte A, B und F schneidet das Prisma. Geben Sie eine Gleichung für die Ebene ε an. Untersuchen Sie, ob der Punkt Q( ) in der Ebene ε liegt. z E F 3/10

4 Teil C: Stochastik Von den Fahrgästen der Verkehrsbetriebe einer Stadt weiß man aus Erfahrung: 35% besitzen einen Einzelfahrschein 60% können eine Zeitkarte vorweisen 5% können keinen Fahrschein vorweisen und gelten als Schwarzfahrer. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an: A: Von drei kontrollierten Personen ist keine ein Schwarzfahrer. B: Von drei kontrollierten Personen haben genau zwei einen Einzelfahrschein. C: Unter 30 kontrollierten Personen besitzt mindestens die Hälfte eine Zeitkarte. D: Bei 50 kontrollierten Personen werden mindestens zwei Schwarzfahrer angetroffen. b) Berechnen Sie, wie viele Personen man mindestens kontrollieren müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mindestens einen Schwarzfahrer zu erwischen? c) Der Preis für ein Einzelticket beträgt im Durchschnitt 3, Besitzer von Zeitkarten bezahlen für eine Fahrt 2,50. Von den Schwarzfahrern werden insgesamt 8% ertappt. Jeder ertappte Schwarzfahrer zahlt (außer dem regulären Fahrpreis) ein Bußgeld in Höhe von 40. Die Zufallsgröße X gebe die Einnahmen der Verkehrsbetriebe pro Fahrgast in Euro an. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X. Geben Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße an und interpretieren sie ihn. 4/10

5 Wahlaufgabe D1 Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung unterschiedlicher Frequenzen aus. Die Intensität der Strahlung hängt von der Frequenz der Strahlung ab. Im Idealfall gilt nach Max Planck für diese Intensität f bei einem Körper der Temperatur T: x3 f T x = x e T 1 D f =R + Dabei entspricht x der Frequenz der Strahlung und der Parameter T (Temperatur in Kelvin) ist positiv. Die Graphik zeigt die zu drei Werten des Parameters T gehörenden Graphen. Jede Scharfunktion f T hat genau eine Maximalstelle x Max. a) Begründen Sie am Funktionsterm, dass f T (x) stets positiv ist. Erläutern Sie anhand der Funktionsgleichung den Zusammenhang zwischen Temperatur und Strahlungsintensität bei gleichbleibender Frequenz. b) Weisen Sie nach, dass für die erste Ableitung der Funktionen f T (x) gilt: f T ' 2 x x 3 e T 3 x x T e x = T e x T 1 2. c) Ermitteln Sie für welche Frequenz die maximale Strahlungsintensität der Sonnenoberfläche (T=6000K) erreicht wird. Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C die Strahlungsintensität der Sonne darstellt und begründen Sie Ihre Zuordnung. 5/10

6 Wahlaufgabe D2 In einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt die x-y-ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die x-achse zeigt in Richtung Osten, die y-achse in Richtung Norden, die Längeneinheit ist 1 km. Ein Flugzeug F 1 steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn p im Punkt P( ) längs der Geraden g 1 : x= x y p z p t 5 1 5, t R auf. Flugzeug F 2 fliegt entlang der Geraden g 2 : x = s 10 10, s R. 0 a) Begründen Sie, dass F2 eine konstante Flughöhe hält. b) Der Richtungsvektor von g 2 beschreibt die Geschwindigkeit des Flugzeugs F 2 in der Einheit km/min. Geben Sie die physikalische Bedeutung des Parameters s in der Gleichung von g 2 an. c) Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Begründen Sie, dass daraus auch bei unveränderten Flugbahnen nicht zwingend eine Kollision der beiden Flugzeuge folgt. d) Gerade als F 1 die Radarstation R(x R y R 0) in einer Höhe von 6km überfliegt, befindet sich F 2 im Punkt S( ). Das Radar von R erfasst alle Objekte im Luftraum bis zu einer Entfernung von 50 km. Berechnen Sie, wie viele Minuten es dauert, bis F 2 sich aus dem Erfassungsbereich des Radars bewegt hat. 6/10

7 Lösungsvorschlag Teil A a) Symmetrie: f(x) = f(-x) Achsensymmetrie lok. Extrempunkte: f ' x = 4x x 2 1 2, f '' x = 4 12x 2 x 2 1 3, Info: f ''' x = 48x3 48 x P min (0 0) mit f(0) = 0, f'(0)=0 und f''(0) = 4 > 0 Wendepunkte: f''(x W ) = 0 W ½ (3 -½ ½) b) N(0 0) W = R mit 0 y < 2 y = 2 (waagerechte Asymptote) Wegen x² + 1 > 0 gilt D f = R, damit gibt es auch keine senkrechten Asymptoten. c) 1,9 = f(x) solve(y1-1.9,x,x) x½ = ± und P ½ (± ) 3 BE d) solve(y1-1,x,1) 1; fnint(y1,x,0,1) 2 - ½π.4292 und 2 (1 (2 - ½π)) = π BE e) y = mx + n mit m = f'(x P ), n = y P mx P = 0 x P = 1 und y = x 7/10

8 f) Zielfunktion: A u =Breite Höhe =2 u 2 f u A'(u max ) = 0 A ' u = 4 4u2 und u u max = 1, A(1) = 2 3 BE Teil B a) OD= 5 2 8, OE= , OF = b) AB= AC=7 c) Variante I: AB AD=0= AC AD oder Variante II: AB AC =4 AD d) V = A G h GTR: prgmdreieck Fläche 13,4164; h = 6,7082 V = 90 nach Variante II: V = 1 2 AB AC AD =2 AD AD =2 AD 2 =90 = e) OM 5 5 = BC 7, g: x= OA AM 5 2 BC R Durchstoßpunkt mit GTR: prgmgeometri Durchstoßpkt oder x = 5 für z = 0: y = 1 6 OD 2 xy 3 0 = = z 3 κ = 2 und z = 8 f) x y z = x = 5, y R und z = 0 g) GTR: prgmgeometri Ebene 45x 24y + 18z = und (-1) = 237 Q E 8/10

9 Teil C a) P(A) 0,8574 P(B) 0,2389 = B 3;.35 (2) P(C) 0,9029 P(D) 0,7206 b) 1 0,95 n > 0.8, n > , also mindestens 32 c) E(X) = 2,722, d.h. im Durchschnitt hat das Unternehmen 2,72 Einnahmen pro Fahrgast. x i in 3,00 2,50 43,00 0,00 P(X=x i ) 0,35 0,60 0,004 0,046 Teil D1 x T a) Nenner stets positiv für x>0, wegen e > 1, da x T > 0 x Zähler ist auch positiv Bei gleicher Frequenz gilt: je höher T, desto stärker ist die Strahlungs- T intensität, da e für wachsende T kleiner wird. b) Ansatz und Nachweis c) Einsetzen von T = 6000K in die 1.Ableitung 2 x Termbetrachtung: Lösen der Gleichung x 3e x x e =0 genügt, graphisches Lösen ergibt x Max Begründete Zuordnung von Graph B Teil D2 a) Die Flughöhe von F 2 wird durch die z-koordinate der Gerade g 2 beschrieben, die einen konstanten Wert (z = 10) besitzt. b) s beschreibt die Zeit in min (vom Durchfliegen des Punktes ( ) an). c) Schnittpunktberechnung S ( ) Nachweis der Orthogonalität Da die beiden Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer beiden Flugbahnen 9/10

10 nicht zur gleichen Zeit erreichen müssen, kollidieren sie auch bei Beibehaltung des Kurses nicht notwendig. d) Ermitteln der Lage von R: ( ) A(x A y A 10) sei der Punkt, an dem F 2 den Erfassungsbereich des Radars verlässt. Dann gilt: (I) A g 2, also x A = 40 + s und y A = 50-10s (r Zeit in min) (II) Abstand R zu A gleich 50 Durch Einsetzen von (I) in (II) ergibt sich s = 2,828 min 10/10