Schriftliche Abiturprüfung. Mathematik. - Grundkurs - Hauptprüfung. Teil A

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1 Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kultus Fachrichtung: Agrarwissenschaft Schuljahr 2008/2009 Ernährungswissenschaft Informations- und Kommunikationstechnologie Technikwissenschaft Biotechnologie Gesundheit und Soziales Schriftliche Abiturprüfung Mathematik - Grundkurs - Hauptprüfung Teil A Hinweise Arbeitszeit: 45 Minuten Hilfsmittel: - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Eingeführte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Aufgaben: Pflichtaufgaben Teil A Bemerkungen: Dem Prüfungsteilnehmer werden die Aufgaben im Teil A und im Teil B vorgelegt. Er bearbeitet zunächst die Aufgaben im Teil A. Nach 45 Minuten gibt der Prüfungsteilnehmer sämtliche Unterlagen zu Teil A bei der Aufsicht führenden Lehrkraft ab. Der Aufgabensatz umfasst im Teil A 2 Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht führenden Lehrkraft anzuzeigen. Kennziffer Abiturprüfung 2009

2 Teil A Aufgabe A 1 Geben Sie jeweils die 1. Ableitungsfunktion an. 3 A 1.1 y = f() = + ( R, 0) A 1.2 y = g() = 2 4cos 3 15 BE Aufgabe A 2 Geben Sie die Lösungen folgender Gleichungen ( R) an. A = A 2.2 = 1 ( 0) Aufgabe A 3 =. Untersuchen Sie diese Funktion auf lokale Etrempunkte und deren Art. Geben Sie die Koordinaten an. Gegeben ist die Funktion f mit y f() = e + e ( R) Aufgabe A 4 (4 BE) Gegeben ist die Funktion f mit y = f() = + ( R) Die Normale, die an der Stelle = 1 an den Graphen der Funktion f gelegt werden kann, schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche vollständig ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Dreiecksfläche. Aufgabe A 5 Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. A 5.1 Geben Sie die Wendestellen der Funktion f an. A 5.2 Geben Sie das Monotonieverhalten des Graphen der Funktion f im Intervall 2 2 an Aufgabe A 6 Berechnen Sie b ( b R, b > 1) so, dass gilt: b d = 3. Kennziffer Teil A - Seite 1 Abiturprüfung 2009

3 Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kultus Fachrichtung: Agrarwissenschaft Schuljahr 2008/2009 Ernährungswissenschaft Informations- und Kommunikationstechnologie Technikwissenschaft Biotechnologie Gesundheit und Soziales Schriftliche Abiturprüfung Mathematik - Grundkurs - Hauptprüfung Teil B Hinweise Arbeitszeit: Hilfsmittel: 195 Minuten - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Grafikfähiger, programmierbarer Taschenrechner ohne Computeralgebra - Eingeführte gedruckte Formelsammlung - Zeichengeräte Aufgaben: Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Wahlaufgaben Aufgabe 4 Aufgabe 5 Bemerkungen: Dem Prüfungsteilnehmer werden im Teil B fünf Aufgaben vorgelegt, drei Pflichtaufgaben und zwei Wahlaufgaben. Er hat die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Die Auswahl trifft der Prüfungsteilnehmer. Werden beide Wahlaufgaben bearbeitet, so hat der Prüfungsteilnehmer die zu bewertende Wahlaufgabe deutlich zu kennzeichnen. Zur Lösung jeder Aufgabe ist ein neuer Reinschriftbogen zu verwenden. Der Aufgabensatz umfasst im Teil B 6 Blätter (einschließlich Deckblatt). Der Prüfungsteilnehmer ist verpflichtet, seinen Aufgabensatz umgehend auf Vollständigkeit zu prüfen und Abweichungen der Aufsicht führenden Lehrkraft anzuzeigen. Kennziffer Abiturprüfung 2009

4 Teil B Pflichtaufgaben Aufgabe 1 15 BE 1.1 Gegeben ist die Funktion f mit 18 y = f() = 2 ( D 2 f ) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an. Nennen Sie die Gleichungen aller Asymptoten und geben Sie deren Lage an. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f keine Wendestellen besitzt. (5 BE) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion f, der - Achse und der Geraden = 2 vollständig eingeschlossen wird. 1.2 Gegeben ist die Funktion g durch die Gleichung y = g() = 5e ( R) Geben Sie alle Werte an, deren Funktionswerte größer sind als 5. (1 BE) Der Punkt P u (u / g(u)) mit u R, 0 < u < 2 sei ein Punkt des Graphen der Funktion g. Fällt man vom Punkt P u aus jeweils das Lot auf die Koordinatenachsen, entsteht ein Rechteck. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P u so, dass der Flächeninhalt dieses Rechtecks maimal wird. Welchem Wert strebt der Flächeninhalt dieses Rechtecks entgegen, wenn u unendlich groß wird? (4 BE) 1.3 Ein Körper wird vom Punkt A(4 / 9) aus unter einem Winkel von 45 schräg nach oben geworfen. Der Körperschwerpunkt bewegt sich auf dem Graphen einer quadratischen Funktion p und durchläuft dabei den Punkt B(6 / 7). Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion p. Kennziffer Teil B - Seite 1 Abiturprüfung 2009

5 Aufgabe 2 10 BE Auf einem Hang sollen die Punkte R und S sowie S und T durch geradlinige Wege verbunden werden. Die Lage dieser Punkte ist in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben: R( - 5 / 2 / 1), S( - 4 / 7 / 2 ), T( - 6 / 9 / 3 ). Die y-ebene ist die Horizontalebene. (1 Längeneinheit = 10 m) 2.1 Geben Sie die Gesamtlänge s der beiden Wege an und ermitteln Sie den Schnittwinkel α zwischen diesen Wegen. 2.2 Begründen Sie, dass der Punkt U( -1 / 10 / 2) auf der gleichen Höhenlinie h des Hanges liegt wie der Punkt S und geben Sie eine Gleichung der Höhenlinie h an. (Anmerkung: Höhenlinien enthalten Punkte gleicher Höhe) Zeigen Sie, dass einer der Wege orthogonal zur Höhenlinie h verläuft. 2.3 Die Lage des Hanges kann durch eine Ebene E beschrieben werden. Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an. Geben Sie die Höhendifferenz zwischen den Punkten S und T an und ermitteln Sie den Neigungswinkel β des Hanges zur Horizontalebene. (4 BE) Kennziffer Teil B - Seite 2 Abiturprüfung 2009

6 Aufgabe 3 10 BE Die Pfiff & Knall AG produziert Feuerwerkskörper, die jeweils in verschiedenen Farben aufleuchten. 3.1 In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbig aufleuchtende Feuerwerkskörper Wie viele Möglichkeiten in der Farbreihenfolge gibt es, wenn alle Feuerwerkskörper aus der Kiste nacheinander abgeschossen werden? (1 BE) Geben Sie die Anzahl der möglichen Farbzusammenstellungen an, wenn drei Feuerwerkskörper, die der Kiste entnommen wurden, gleichzeitig abgeschossen werden. (1 BE) 3.2 Erfahrungsgemäß haben im Durchschnitt 20 % der Feuerwerkskörper Fehlzündungen Ein Kunde kauft drei Feuerwerkskörper dieses Unternehmens. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an: A: Die gekauften Feuerwerkskörper sind einwandfrei. B: Genau ein Feuerwerkskörper hat eine Fehlzündung. C: Mindestens ein Feuerwerkskörper ist einwandfrei Ermitteln Sie, wie viele Feuerwerkskörper ein Kunde kaufen müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9 % mindestens einer funktioniert? 3.3 Im Verkauf werden sechs verschiedenfarbig aufleuchtende Feuerwerkskörper in einer Großpackung angeboten. Für die Herstellung und Abpackung der Feuerwerkskörper entstehen der Pfiff & Knall AG Kosten, welche durch die Kostenfunktion K mit K() = 0,0003³ - 0,058² + 5, ,5 beschrieben werden können. Die Variable steht für die Stückzahl der Großpackungen. Der Stückpreis jeder Großpackung beträgt 8. Geben Sie die Gewinnfunktion an. (Gewinnfunktion = Erlösfunktion Kostenfunktion) In welchem Stückzahlbereich kann die Pfiff & Knall AG Gewinne verbuchen? Wie viele Großpackungen müssen verkauft werden, damit der Gewinn maimal wird? Kennziffer Teil B - Seite 3 Abiturprüfung 2009

7 Wahlaufgaben Aufgabe 4 10 BE Bei der Rekonstruktion eines Straßenzuges soll eine Baulücke geschlossen werden. Die Giebelgestaltung des Neubaus soll sich dabei harmonisch in die Häuserfront der Altbauten einfügen. Der Architekt entschied sich, die Giebellinie in einem Koordinatensystem durch den Graphen der Funktion f mit y = f() = ( R, 8 8) zu beschreiben. Die -Achse liegt in Höhe der Dachkante und ist Tangente an den Graphen der Funktion f. (1 Längeneinheit = 1 m) 4.1 Die Wandstärke der Giebelwand, die vollständig aus Beton besteht, beträgt 25 cm. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Beton für den Giebel verbaut werden müssen. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine Dezimalstelle. 4.2 In die Giebelwand soll eine von der Giebellinie bis zur Dachkante hinunterreichende Glasfront eingebaut werden. Links und rechts neben der Glasfront sollen gleich große, aus Beton gefertigte Giebelabschnitte stehen bleiben. Beide Giebelabschnitte müssen aus statischen Gründen zusammen eine Querschnittsfläche haben, die ein Viertel der gesamten Giebelfläche beträgt. Skizzieren Sie den Sachverhalt in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie, wie breit die Glasfront sein muss. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine Dezimalstelle. (5 BE) 4.3 Die Wahl des geeigneten Dachmaterials hängt stark von der Dachneigung ab. Die Dachneigung entspricht dem Winkel zwischen Dach und horizontaler Linie des Hauses. Ermitteln Sie die Koordinaten eines möglichen Punktes im Koordinatensystem, in welchem die Neigung des Daches 45 beträgt. Kennziffer Teil B - Seite 4 Abiturprüfung 2009

8 Aufgabe 5 10 BE Die Skizze zeigt das Schrägbild einer Werkhalle, die die Form eines Quaders mit einem darauf liegenden Prisma als Dach besitzt. Gegeben sind die Länge AD= 30m und die Breite DC = 15 m. Die Grundfläche der Halle liegt in der y- Koordinatenebene (1 Längeneinheit = 1 m). Die Dachkante EF befinden sich in 4 m Höhe über der Grundfläche. Für jede reelle Zahl k mit 4 < k 12 ist der Punkt R k ( 30 / 19 - k / k ) ein Eckpunkt des Dachfirstes RS k k. 5.1 Geben Sie die Koordinaten der Punkte E, F, G, H, R 7 und S 7 an. 5.2 Geben Sie für k = 7 die Größe des Öffnungswinkels FR7E des Daches und die Höhe des Dachfirstes bezüglich der Ebene EFGH an. 5.3 Ermitteln Sie den Wert k so, dass die Neigung der Dachfläche ER k S k H 20 % beträgt. 5.4 Auf der Grundfläche der Werkhalle wird ein senkrecht nach oben führendes zylindrisches Abluftrohr eingebaut. Der Punkt T( 2 / 2,3 / 5,5 ) liegt auf der Außenwand des Rohres. Das Abluftrohr wird unter anderem durch eine Strebe LT fiiert, die im Punkt L 1 der Dachfläche ER 7 S 7 H befestigt ist und parallel zum Vektor a = 2 4 verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Befestigungspunktes L und geben Sie die Länge dieser Strebe an. (4 BE) Kennziffer Teil B - Seite 5 Abiturprüfung 2009