SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006 Mathematik (Leistungskursniveau) Arbeitszeit: 300 Minuten

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Manfred Brandt
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1 Mathematik (Leistungskursniveau) Arbeitszeit: 300 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung vorgesehene Wahlpflichtaufgabe ist vom Prüfling anzukreuzen. Wahlpflichtaufgabe 4.1 Wahlpflichtaufgabe 4.2 (Unterschrift) Seite 1 von 6

2 Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f t durch y = f (x) = 1+ t t x + e x Ihre Graphen werden mit G t bezeichnet., x R, t R, t > 0. a) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen f t für x + und geben Sie eine Gleichung der Asymptoten der Graphen G t an. Ermitteln Sie die Art und Lage der lokalen Extrempunkte der Graphen G t und zeigen Sie, dass die Graphen G t keine Wendepunkte besitzen. [mögliches Ergebnis zur Kontrolle: Ordinate der Extrempunkte: 1 + t t ln t ] Ermitteln Sie eine Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte der Graphen G t. Im Bild ist die Ortskurve der lokalen Extrempunkte in einem Koordinatensystem dargestellt. Zeichnen Sie den Graphen G 1 und dessen Asymptote in dieses Koordinatensystem im Intervall 2 x 3. Weisen Sie nach, dass alle Graphen G t genau einen gemeinsamen Punkt besitzen. Schlussfolgern Sie aus vorhergehenden Untersuchungen den Einfluss des Parameters t auf den Verlauf der Graphen G t. b) Berechnen Sie mithilfe eines Näherungsverfahrens den Wert des Parameters t für den Fall, dass der lokale Extrempunkt auf der x-achse liegt (auf Hundertstel genau). c) Der Graph G 1, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 3 begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Fläche. HINWEIS: Beschriften Sie dieses Aufgabenblatt mit Ihrem Namen und fügen Sie es der Prüfungsarbeit bei. Seite 2 von 6

3 Pflichtaufgaben Aufgabe 2 Analytische Geometrie 1 Gegeben seien in einem kartesischen Koordinatensystem der Vektor v = 2 sowie die 2 Punkte A(2 3 5) und C(8 3 2). a) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an, die den Punkt A enthält und in Richtung v des Vektors verläuft. Begründen Sie, dass die Gerade g nicht parallel zu der durch die Punkte A und C bestimmten Geraden h verläuft. Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels zwischen den Geraden g und h. Berechnen Sie die Maßzahl des Abstandes der gegebenen Punkte und ermitteln Sie die Koordinaten jenes Punktes M, der die Strecke AC im Verhältnis AM : MC = 1: 2 teilt. [Ergebnis zur Kontrolle: M(4 1 4) ] b) Durch den Punkt M verlaufe eine Gerade k senkrecht zur Geraden h; ihr Durchstoßpunkt durch die x-y-ebene sei D. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden k und die Koordinaten des Punktes D für den Fall, dass die Maßzahl des Abstandes der Punkte D und M den Wert 18 hat. [Ergebnis zur Kontrolle: D(3 2 0)] c) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung für die durch die Punkte A, C und D aufgespannte Ebene. Die Punkte A, C und D sowie ein weiterer Punkt B sind Eckpunkte eines ebenen Drachenvierecks ABCD. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B. Seite 3 von 6

4 Pflichtaufgaben Aufgabe 3 Stochastik Monitore wurden im Dauerbetrieb getestet. Dabei ist festgestellt worden, wie lange die Monitore die Qualitätsnorm erfüllen. Die Übersicht zeigt die Wahrscheinlichkeit für das Erfüllen der Qualitätsnorm bezogen auf die Monitore der Typen MA und MB in Abhängigkeit von der Anzahl der Betriebstage. Betriebstage Wahrscheinlichkeit Monitor MA 0,99 0,98 0,94 0,86 0,50 Monitor MB 0,98 0,96 0,91 0,80 0,40 Die Testergebnisse werden unter Annahme von Binomialverteilung ausgewertet. a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit am 732. Betriebstag von 100 Monitoren MB höchstens 45 die Qualitätsnorm nicht erfüllen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 Monitoren MB mehr als 35 und weniger als k am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllen, soll mindestens 0,7 betragen. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert für k. b) Es werden Monitore MA und MB betrachtet, die am 101. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllt haben. Diese Monitore sind im Folgenden mit MA 101 bzw. MB 101 bezeichnet. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit der die Ereignisse eintreten: E1: Ein Monitor MA101 erfüllt am 549. Betriebstag die Qualitätsnorm. E2: Zwei Monitore verschiedenen Typs (MA101 bzw. MB101) erfüllen beide am 549. Betriebstag die Qualitätsnorm. E3: Von zwei verschiedenen Monitoren (MA101 bzw. MB101) erfüllt mindestens einer am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm. Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 mittels P(B) P A (B) = berechnet werden kann. P(A) c) In einer Stichprobe von 175 Monitoren MB erfüllen 96 am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm. Es wird vermutet, dass mehr Monitore MB, als bisher festgestellt, am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllen. Untersuchen Sie anhand eines Signifikanztests, ob die Nullhypothese H 0 : p 0 0,40 auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 abgelehnt werden kann. Erläutern Sie mögliche Konsequenzen von Fehlentscheidungen aus Sicht des Monitorherstellers. Seite 4 von 6

5 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.1 Analysis Gegeben ist ein Kreis, dessen Radius die Maßzahl r 1 = a (a R, a > 0) hat. Dieser Kreis sei die Figur 1. Zwei Kreise haben jeweils den Radius mit der Maßzahl r 2 = 2 a. Diese beiden Kreise seien die Figur 2. Jede weitere Figur entsteht aus ihrer Vorgängerfigur durch Halbieren der Radien der Kreise und durch Verdoppeln der Anzahl der Kreise (siehe Abbildung). a) Ermitteln Sie für die Figur k (k sei die Nummer der Figur; k N; k 1) die Anzahl der Kreise, die Maßzahl des Umfangs u k und die Maßzahl des Flächeninhaltes A k in Abhängigkeit von k. Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folgen (u k ) und (A k ) für k. b) Zeigen Sie, dass die Folge (A k ) eine geometrische Zahlenfolge ist und berechnen Sie den Grenzwert der Summe der Maßzahlen der Flächeninhalte aller so entstehenden Figuren für k. Seite 5 von 6

6 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.2 Analytische Geometrie Gegeben seien in einem kartesischen Koordinatensystem der Punkt A(4 6 9) sowie die Vektoren v 1 = 3, = 1 und. 3 v 2 u = Durch Verschiebung des Punktes A mit dem Vektor bzw. mit dem Vektor v 2 werden die Punkte B bzw. C bestimmt. v 1 = v 2 u, v 1 v 2 a) Weisen Sie nach, dass u r v + r (r1, r 2 R) ist und schlussfolgern Sie daraus Eigenschaften der Vektoren und. b) Das durch die Punkte A, B und C gebildete Dreieck hat einen stumpfen Innenwinkel mit dem Scheitelpunkt A. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte B und C und begründen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Geben Sie eine Gleichung für die Winkelhalbierende w des stumpfen Innenwinkels an. 2 [Teilergebnis zur Kontrolle: Richtungsvektor von w ist w = 2 ] 1 c) Die Geraden AB und AC seien Tangenten eines Kreises k. Der Mittelpunkt M des Kreises k liegt auf der Winkelhalbierenden w. Weiterhin sei TM = u, wobei T einer der Berührungspunkte der Tangenten an den Kreis k ist. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises k. Seite 6 von 6

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