Man berechnet Paare von Punkten und trägt sie in ein xy-koordinatensystem ein.

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1 Graphische Darstellungen von Funktionen Inhaltsverzeichnis Behandelt werden Funktionsgraphen, die durch Verschiebung von Grundfunktionen in einem zweidimensionalen kartesischem Koordinatensystem entstehen. Grundfunktionen sind y = x 2, y = x 3, die Kreisgleichung und die Gleichung der Ellipse um den Ursprung, y = x, die Parabelgleichung y 2 = 2px. 1 Aufgabe 1 y = (x 3) 2 1 Grundfunktion für die Aufgabe ist die quadratische Funktion y = x 2. Der Graph dieser Funktion erfährt in der Darstellung y = (x 3) 2 1 eine Verschiebung. Zunächst wird daher der Funktionsgraph von y = x 2 behandelt. Wie zeichnet man eine Funktionsskizze für y = x 2? Man berechnet Paare von Punkten und trägt sie in ein xy-koordinatensystem ein. Was ist ein xy-koordinatensystem? Es besteht aus 2 senkrecht aufeinander stehenden Achsen, der x-achse und der y-achse. Jede der Achsen ist eine reelle Zahlengerade, mit aufsteigender Ordnung der Zahlen nach oben (y-achse) bzw. nach rechts (x-achse). In einer zweidimensionalen Darstellung ist die x-achse waagerecht ausgerichtet, die y-achse senkrecht. Dabei wird angenommen, dass der Beobachter senkrecht auf das Koordinatensystem schaut, z.b. auf ein Blatt Papier oder auf einen Bildschirm. Ein xy-koordinatensystem ermöglicht eine zweidimensionale Darstellung von Punkten in der Form (x, y). Im folgenden wird die Abbildung eines xy Koordinatensystems angegeben, 1

2 Abbildung 1: xy-koordinatensystem 1.1 Berechnung von Punktepaaren Für y = x 2 ergeben sich folgende Punktepaare: x = 0 y = 0, der Punkte (0, 0) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 1 y = 1, der Punkt (1, 1) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = 2 2 = 4, der Punkt (2, 4) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = ( 2) 2 = 4, der Punkt ( 2, 4) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 und x = 2 haben die gleichen Funktionswerte y = 4. Allgemein gilt: ( x) 2 = x 2, der Graph der Funktion y = x 2 ist symmetrisch zur y-achse. Im folgenden werden einige Funktionsgraphen angegeben, um das Zustandekommen des Graphen von y = (x 3) 2 1 durch Verschiebung des Graphen von y = x 2 zu illustrieren. 2

3 1.2 Graphen quadratischer Funktionen (1) y = x 2 (schwarz) (2) y = x 2 1 (blau) (3) y = (x 3) 2 (rot) (4) y = (x 3) 2 1 (grün) Abbildung 2: Graphen quadratischer Funktionen nder Text: h der Funktion y = (x 3) 2 1 ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = x 2 er Weise: ng um +3 in Richtung der x-achse, bewirkt durch den Term (x 3) 2. ng um +3 bedeutet hier Verschiebung in Richtung des positiven Teiles der x-achse. szeichen referenziert den Abstand zu +3: x 3 ist der Abstand von x zu +3. m x = 0 ist der Funktionsgraph jetzt um x = +3 konzentriert. ng um 1 in Richtung der (positiven) y-achse, bewirkt durch den Term 1.

4 2 Aufgabe 2 y = x Die Grundfunktion ist hier y = x 3. Erstellen einer Funktionsskizze für y = x 3? 2.1 Berechnung von Punktepaaren Für y = x 3 ergeben sich folgende Punktepaare: x = 0 y = 0, der Punkte (0, 0) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 1 y = 1, der Punkt (1, 1) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = 2 3 = 8, der Punkt (2, 8) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = ( 2) 3 = 8, der Punkt ( 2, 8) ist ein Teil des Funktionsgraphen. Allgemein gilt: ( x) 3 = x 3. Die Funktion x 3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Im folgenden werden einige Funktionsgraphen angegeben, um das Zustandekommen des Graphen von y = x durch Verschiebung des Graphen von y = x 3 zu illustrieren. 4

5 2.2 Graphen kubischer Funktionen (1) y = x 3 (schwarz) (2) y = x 3 (rot) (3) y = x (blau) ternder Text: Abbildung 3: kubische Funktionen raph der Funktion y = x ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = x der Weise: lung des Graphen von y = x 3 an der x-achse. iebung des gespiegelten Graphen um +2 in Richtung des positiven Teiles der y-ac ufgabe 3 x 3 rundfunktion ist y = x len einer Funktionsskizze für y = x?

6 Nein, im folgenden werden gleich Punktepaare für y = x 3 bestimmt. 3.1 Berechnung von Punktepaaren x = 3 y = 0 x = 7 y = 4 Die Funktion ist nur für x 3 definiert. Im folgenden werden einige Funktionsgraphen angegeben, um das Zustandekommen des Graphen von y = 2 x 3 durch Verschiebung und Streckung des Graphen von y = x zu illustrieren. 6

7 3.2 Graphen von Wurzelfunktionen (1) y = x (schwarz) (2) y = 2 x (rot) (3) y = x 3 (blau) (4) y = 2 x 3 (grün) Abbildung 4: Wurzelfunktionen 4 Aufgabe 4 (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 9 Grundfunktion ist die Kreisgleichung x 2 + y 2 = 9. Die Kreisgleichung x 2 + y 2 = 9 beschreibt einen Kreis mit Radius 3 um den Nullpunkt. (x 1) 2 + (y + 3) 2 beschreibt eine Verschiebung dieses Kreises um +1 in Richtung der positiven x-achse, um +3 in Richtung der negativen y-achse, also einen Kreis mit Radius 3 um den Punkt (1, 3) 4.1 Vektorielle Darstellung der Aufgabenstellung Man betrachte die Aufgabenstellungen vektoriell. ( ) ( ) x 1 Sei x = und a = y 3 Dann lässt sich die Gleichung (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 9 folgendermaßen darstellen: x a 2 = 9 x a = 3 d.h. sie beschreibt alle Punkte (x, y), die von dem feste Punkt a einen Abstand 3 haben. Das ist ein Kreis mit Radius 3 um den Punkte (1, 3).

8 Berechnung einiger Punktepaare. 4.2 Berechnung von Punktepaaren x = 1 y = 0 x = 2 y = 3 x = 4 y = 3 Durch 3 Punkte kann man einen Kreis zeichnen 4.3 Skizze erzeugt mit Paint Abbildung 5: Kreis durch 3 Punkte 8

9 5 Aufgabe 5 (x + 1) (y 1)2 9 = 1 4 Grundfunktion ist die Ellipsengleichung x2 4 + y2 9 = 1 4. Zur Übung wird zunächst eine einfachere Form der Ellipsengleichung betrachtet. 5.1 Ellipsengleichungen Die Gleichung x2 4 + y2 9 a 2 = 4 und b 2 = 9. = 1 beschreibt eine Ellipse um den Nullpunkt mit den Parametern Abbildung 6: Ellipse albachse der Ellipse in x-richtung und b = 3 ist die Halbachse der Ellipse in (x + 1) (y 1)2 9 = 1 Verschiebung der Ellipse um den Nullpunkt mit den Halbachsen a = 2 und ichtung und y = +1 in y-richtung,

10 y 2 9 = 1 4 iplikation der Gleichung mit 4 ergibt 4 9 y2 = 1 Abbildung 7: Ellipse ist eine Ellipsengleichung um den Nullpunkt mit den Parametern a 2 = 1 und b 2 = 9 4 arze Darstellung der nachfolgenden Graphik). leichung (x + 1)2 4 + (y 1)2 9 = 1 4 ne Verschiebung dieser Ellipsengleichung um x = 1 in x-richtung und y = +1 in htung (rote Darstellung der nachfolgenden Graphik).

11 5.2 graphische Darstellung von Ellipsen Abbildung 8: Ellipsen e 6 = 0 t die Parabelgleichung y 2 = 2px. sgangsgleichung etwas umgeschrieben werden. 1 = (y 1) 2.

12 Sei x = 1, dann muss (y 1) 2 = 4 gelten, d.h. y 1 ist die Quadratwurzel aus 4 oder der negative Wert der Quadratwurzel aus 4. y 1 = 2 y = 3 y 1 = 2 y = 1 Für x = 0 muss (y 1) 2 = 0 gelten, d.h. muss y = 1 sein. Um weitere Funktionswerte zu bestimmen, sucht man sich solche x-werte heraus, für die man aus 4x die Quadratwurzel ziehen kann. Das ist z.b. für x = 4 der Fall. x = 4 (y 1) 2 = 16 Hieraus folgt y 1 = 4 oder y 1 = 4, d.h. x = 0 impliziert y = 5 oder y = 3. Damit hat man folgende Punktepaare bestimmt: x = 0 y = 1 x = 1 y = 1 oder y = 3 x = 4 y = 3 oder y = Graphische Darstellung der Parabel

13 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe Berechnung von Punktepaaren Graphen quadratischer Funktionen Aufgabe Berechnung von Punktepaaren Graphen kubischer Funktionen Aufgabe Berechnung von Punktepaaren Graphen von Wurzelfunktionen Aufgabe Vektorielle Darstellung der Aufgabenstellung Berechnung von Punktepaaren Skizze erzeugt mit Paint Aufgabe Ellipsengleichungen graphische Darstellung von Ellipsen Aufgabe Berechnung von Punktepaaren Graphische Darstellung der Parabel