13 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher
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- Christel Wolf
- vor 6 Jahren
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1 3 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher 3. Grundbegriffe Die wesentlichen Unterschiede zwischen den Funktionen mehrerer Veränderlicher und den Funktionen einer Veränderlichen treten schon bei Funktionen zweier Veränderlicher auf. Daher betrachten wir zunächst Funktionen zweier Veränderlicher: z = f ( ; ) bzw. z = f ( r ; f) Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist die, - Ebene ( oder ein Teil davon ), der Wertebereich sind die reellen Zahlen ( oder ein Teil davon ) : D f R 2, W f R Beispiele: a) Wassertemperatur an jeder Stelle der Oberfläche eines Sees b) Wassertiefe an jeder Stelle eines Sees c) Höhe eines Hauses über jeder Stelle seiner Grundfläche d) topologische Höhe an jeder Stelle eines Geländes Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie
2 Darstellungsformen für Funktionen zweier Veränderlicher Wertetabellen für Funktionen zweier Veränderlicher werden günstigerweise als Matri geschrieben. Beispiel: f ( ; ) = n.d n.d. 2 n.d. 2 n.d. n.d. 0 0 n.d. 0 n.d. n.d. 0 n.d. n.d. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 2
3 Darstellungsformen für Funktionen zweier Veränderlicher Die Graphen für Funktionen zweier Veränderlicher sind Flächen im 3 - dimensionalen Raum und daher durch die perspektivische Darstellung nur schwierig zu zeichnen. Als Alternative benutzt man meist die sogenannten Höhenlinien oder Niveaulinien ( in den Anwendungen werden sie auch häufig Kennlinien genannt ). Jede Höhenlinie einer Funktion zu einer Höhe h besteht aus allen Punkten des Definitionsbereichs, an denen die Funktion den Funktionswert h hat. Beispiel: f ( ; ) = - 2 Höhenlinie zur Höhe - : f ( ; ) = = - keine Lösung > 0 < 0 Die Höhenlinie ist also die leere Menge. Höhenlinie zur Höhe 2: f ( ; ) = 2-2 = 2 = Höhenlinie zur Höhe h: f ( ; ) = h - 2 = h = 2 + h 2 h > 0 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 3
4 Skizze der Höhenlinien zur Veranschaulichung des Graphen Höhenlinie zur Höhe h = 2 5 Höhenlinie zur Höhe h = 4 Höhenlinie zur Höhe h = f ( ; ) = - 2 Höhenlinie zur Höhe h: = 2 + h 2 für h > 0 leere Menge für h < 0 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 4
5 Definitions- und Wertebereich Mit Hilfe der Höhenlinien kann man auch den Definitions- und den Wertebereich einer Funktion zweier Veränderlicher bestimmen: Höhenlinie zur Höhe h: = 2 + h 2 für h > 0 leere Menge für h < 0 Der Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen h, zu denen die Höhenlinie nicht die leere Menge ist. Die Funktion f ( ; ) = - 2 hat > also den Wertebereich R 0. Den Definitionsbereich erhält man, indem man alle Höhenlinien in ein Koordinatensstem einzeichnet D f Die Funktion f ( ; ) = - 2 hat daher als Definitionsbereich das Innere der 2 Parabel = 2. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 5
6 Bemerkung Der Definitionsbereich einer Funktion zweier Veränderlicher lässt sich meist einfacher auf die gleiche Methode bestimmen wie bei Funktionen einer Veränderlichen. So gilt für den Definitionsbereich der Funktion f ( ; ) = - 2 : - 2 > 0 > 2 Um aus dieser Ungleichung den Definitionsbereich zu bestimmen, betrachtet man ( siehe Vorsemester ) den Graph der entsprechenden Gleichung ( im gegebenen Beispiel also die Normalparabel = 2 ). Dieser Graph teilt die, - Ebene je nach Beispiel in mehrere Teilgebiete ( im gegebenen Beispiel in zwei Gebiete, nämlich das Innere und das Äußere der Parabel ). Aus jedem dieser Gebiete wählt man dann einen beliebigen Punkt aus. Falls dieser eine Punkt die Ungleichung erfüllt und somit zum Definitionsbereich gehört, so gilt dies auch für alle anderen Punkte des Gebiets. Falls dieser eine Punkt die Ungleichung jedoch nicht erfüllt und somit nicht zum Definitionsbereich gehört, so gilt dies ebenfalls für alle Punkte des Gebiets. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 6
7 - 2 > 0 > 2 ( im gegebenen Beispiel: Zum Gebiet gehört z.b. der Punkt ( 0/ ). Dieser Punkt erfüllt die obige Ungleichung; daher gehört der Punkt ( 0/ ) und damit das gesamte Gebiet zum Definitionsbereich. Zum Gebiet 2 gehört z.b. der Punkt ( / 0 ). Dieser Punkt erfüllt die obige Ungleichung nicht; daher gehört der Punkt (/ 0 ) und damit das gesamte Gebiet 2 nicht zum Definitionsbereich. Da die obige Ungleichung eine schwache Ungleichung ist ( d.h. Gleichheit ist eingeschlossen ), gehören auch die Punkte der Parabel zum Definitionsbereich ). D f Gebiet 2 = 2 Gebiet ( 0/ ) 2 ( / 0 ) Bemerkung Um den Definitionsbereich einer Funktion zweier Veränderlicher anzugeben, muss in der Regel eine Skizze gemacht werden.! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 7
8 Graphen von Funktionen zweier Veränderlicher Den Graph einer Funktion zweier Veränderlicher kann man wegen der o.g. Schwierigkeiten ( perspektivische Darstellung ) in der Regel nicht von Hand zeichnen, sondern nur mit Hilfe von Computerprogrammen erstellen. Beispiel: f ( ; ) = - 2 Graph mit Mathcad z Höhenlinien mit Mathcad Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 8 M
9 Beispiel: f ( ; ) = - 2 Graph mit Mathcad z Höhenlinien mit Mathcad M Der Graph der Funktion f ( ; ) = - 2 ist die obere Hälfte des Rotations- körpers, der bei Drehung der Parabel = 2 um die - Achse entsteht. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 9
10 Weitere Beispiele.) f ( ; ) = 2 - Definitionsbereich: D f Höhenlinien: = R D f = R 2 h = - 6 h = - 2 h = - 7 h = - 3 h = h = - 8 h = - 4 h = 0 h = - 9 h = - 5 h = - h = 2 h = 3 h = 4 h = 5 f ( ; ) = h 2 - = h h = 6 h = 7 = 2 - h h = 8 h = 9 Wertebereich: Da die Höhenlinie für keine reelle Zahl h die leere Menge ist, gehören alle reellen Zahlen zum Wertebereich: W f = R. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 0
11 Graph mit Mathcad z f ( ; ) = 2 - z M Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie
12 Graph mit Mathcad Höhenlinien mit Mathcad z M Der Graph der Funktion f ( ; ) = 2 - ist eine Ebene: f ( ; ) = 2 - z = z = 0 kartesische Form einer Ebene ( siehe LA ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 2
13 Weitere Beispiele 2.) f ( ; ) = Definitionsbereich: = ( / ) > < = : Einheitskreis ( 0/ 0 ) Der Punkt ( 0/ 0 ) erfüllt die obige Ungleichung, der Punkt ( / ) erfüllt sie nicht. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist also das Innere des Einheitskreises einschließlich seines Randes. Höhenlinien: f ( ; ) = h = h = h = - h 2 h > 0 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 3
14 Höhenlinien: f ( ; ) = h = h = h = - h 2 h > 0 Die Höhenlinie zur Höhe h ist also ein Kreis mit Mittelpunkt ( 0/ 0 ) und Radius - h 2, falls 0 < h <. Für h < 0 und für h > ist die Höhenlinie zur Höhe h die leere Menge. h = 0 h = 0,25 h = 0,5 h = 0,75 h = 0,9 h = Wertebereich: Aus den Überlegungen zu den Höhenlinien ergibt sich als Wertebereich das Intervall 0 ;. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 4
15 Graph mit Mathcad Höhenlinien mit Mathcad z Der Graph der Funktion f ( ; ) = ist die obere Hälfte der Einheitskugel. M Bemerkung: Die allgemeine Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt ( 0 / 0 / z 0 ) und Radius r lautet ( - 0 ) 2 + ( - 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = r 2. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 5
16 Weitere Beispiele 3.) f ( r ; f) = r Definitionsbereich: ganze, - Ebene h =,5 h = h = 0,5 Höhenlinien: h = 0 f ( r ; f) = h r = h Kreis mit Mittelpunkt ( 0/ 0 ) und Radius h für h > 0. Wertebereich: > W f = R 0 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 6
17 Graph mit Mathcad Höhenlinien mit Mathcad z Der Graph der Funktion f ( r ; f) = r ist der oberhalb der, - Ebene liegende Teil des Rotationskörpers, der durch Rotation der Geraden z = um die z- Achse entsteht, also ein nach oben geöffneter Kegel, dessen Spitze im Nullpunkt steht. M Die Funktion ist im Nullpunkt nicht diff bar, da sie dort einen Knick hat! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 7
18 Weitere Beispiele 4.) f ( r ; f) = r + f Definitionsbereich: leere Menge (! ), da keinem Punkt der, - Ebene eindeutig ein Funktions- wert zugeordnet wird. Das liegt allerdings nicht daran, dass die Rechenformel nicht eindeutig ist, sondern daran, dass die Polarkoordinaten eines Punktes nicht eindeutig sind. Dieses allgemeine Problem tritt bei sehr vielen Polarkoordinatenfunktionen auf. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 3. Folie 8
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