1.2. Mengen, Zahlen, Intervalle und Produkte

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1 1.2. Mengen, Zahlen, Intervalle und Produkte Zahlen Einige Zahlenmengen werden mit besonderen Buchstaben bezeichnet. Die kleinste aller Mengen ist die leere Menge { }, die überhaupt kein Element enthält. Sie wird auch mit Hilfe eines durchgestrichenen Kreises symbolisiert. Aus diesem entstehen durch einige geometrische Basteleien unsere beiden Leitfiguren, Mathe und Inge. Ganz nett, aber viel wichtiger ist: Aus der leeren Menge ("aus dem Nichts") lassen sich schrittweise alle natürlichen Zahlen gewinnen, indem man setzt: 0 {}, 1 {0}, 2 {0,1}, 3 {0,1,2} usw. Dies liefert die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null), sowie die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich Null. 0 Durch Hinzunahme der negativen Zahlen erhält man die Menge der ganzen Zahlen, sodann durch Bildung von Quotienten (Brüchen) die Menge der rationalen Zahlen, und durch Füllen aller "Lücken" zwischen rationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen. Schließlich hat man in Form der reellen Ebene die Menge der komplexen Zahlen. Durch jeden Erweiterungsschritt werden neue Gleichungen lösbar: In ist jede Gleichung a x = b eindeutig lösbar. Lösung: x = b a. In ist jede Gleichung a x = b eindeutig lösbar, sofern a nicht 0 ist. Lösung: x = b a. In ist z. B. jede Gleichung x 2 = b lösbar, falls 0 b. In Lösungen: x = b und x = b. ist die Gleichung x 2 = b sogar für negative b lösbar (später mehr davon).

2 Geometrische Konstruktion von reellen Wurzeln mittels Höhensatz Der Thaleskreis über der Strecke von a bis 1 (auf der x-achse) schneidet die y-achse bei und - a. a h = a h -a 1 Mengenoperationen Aus gegebenen Mengen A und B bildet man mit Hilfe von Mengenoperationen neue Mengen, z.b. die Vereinigung A B, die aus allen Elementen besteht, welche in A oder in B (oder beiden) liegen, den Durchschnitt A B, der aus allen Elementen besteht, die sowohl in A als auch in B liegen, und die Differenz A B, die aus allen Elementen besteht, welche in A, aber nicht in B liegen. Intervalle sind Mengen reeller Zahlen, die mit je zwei Zahlen auch alle dazwischen liegenden enthalten (Konvexität). Jedes Intervall hat eine der folgenden Formen: Offene Intervalle: Abgeschlossene Intervalle: ], b[ = { x : x b} ], b] = { x : x b} ] a, b [ = { x : a x b} [ a, b ] = { x : a x b} ] a, [ = { x : a x} [ a, [ = { x : a x} Halboffene Intervalle: ] a, b ] = { x : a x b} [ a, b [ = { x : a x b}

3 Für b a sind die Intervalle ]a, b[, ]a, b], [a, b[ und [a, b] leer! Intervalle, bei denen beide Endpunkte aus (also weder noch ) sind, heißen beschränkt. Hinzu kommt als einziges beidseitig unbeschränktes Intervall. Beispiel 1: Verschiedene reelle Intervalle Die folgenden Skizzen zeigen natürlich immer nur Ausschnitte der Zahlengeraden. 0,0 ]-oo,-5] [-4,-2[ ]-[ ,0 ]1,4] [5,6] ]7,oo[ Kartesische Produkte dienen der Beschreibung bestimmter Mengen in der Ebene und im Raum. Das (kartesische) Produkt A B zweier Mengen A und B besteht aus allen Paaren a, b, wobei a A und b B ist. Entsprechend ist das Produkt A B C die Menge aller Tripel (a, b, c) mit a A, b B und c C. Allgemeiner ist das n-fache Produkt A 1... A n die Menge aller n-tupel (a 1,...,a n ) mit a i A i für alle i = 1... n. Sind alle A i die gleiche Menge A, so schreibt man A n für das n-fache Produkt und nennt es die n-te Potenz von A. Speziell ist also 2 die reelle Ebene und 3 der dreidimensionale reelle Raum. Produkte von zwei bzw. drei Intervallen nennt man Quader oder ebenfalls Intervalle (in der Ebene 2 oder im Raum 3 ). Je nach Wahl der Ausgangsintervalle in (offen, abgeschlossen, halboffen) gehören Kanten bzw. Seitenflächen zu solchen mehrdimensionalen Intervallen dazu oder nicht.

4 Beispiel 2: Das Rechteck a, c b, d hat die Ecken (a,b) und (c,d): a, d c, d a, b c, b Beispiel 3: Halbebenen sind Produkte einseitig unbeschränkter Intervalle mit. ]-oo,c] x IR IR x ]-oo,d] [a,oo[ x IR IR x [b,oo[ Beispiel 4: Quadranten sind Produkte zweier einseitig unbeschränkter Intervalle. ]-oo,c] x ]-oo,d] ]-oo,c] x [b,oo[

5 [a,oo[ x [b,oo[ [a,oo[ x ]-oo,d] Beispiel 5: Streifen sind Produkte beschränkter Intervalle mit der reellen Geraden. Halbstreifen sind Produkte eines beschränkten Intervalls mit einem einseitig unbeschränkten Intervall. Rechtecke sind Produkte zweier beschränkter Intervalle. Beispiel 6: Ein Schachbrett und seine Beschreibung mit Hilfe von Intervallen: Die linke untere Ecke sei [0,0], die rechte obere Ecke [8,8]. Ist A die Vereinigung der Intervalle [0,1], [2,3], [4,5], [6,7] und B die Vereinigung der Intervalle [1,2], [3,4], [5,6], [7,8], so ergibt sich die Schachbrettfläche (mit Rand) als Vereinigung der Mengen A 2, B 2, {0,8} [0,8], [0,8] {0,8} ( und der Randlinien).

6 Beispiel 7: Beschränkte Quader im Raum sind Produkte von drei beschränkten Intervallen: Beispiel 8: Zylinder sind Produkte eines Kreises mit einem Intervall: Wir zeichnen eine Vereinigung von vier Zylindern:

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