VORLESUNGEN ÜBER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

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1 VORLESUNGEN ÜBER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG A. OSTROWSKI PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT BASEL Zum Gebrauch bei akademischen Vorträgen sowie zum Selbststudium ZWEITER BAND Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen VERBESSERTER NACHDRUCK DER ZWEITEN AUFLAGE 1968 BIRKHÄUSER VERLAG BASEL UND STUTTGART

2 i INHALTSVERZEICHNIS I Unendliche Mengen 1. Allgemeine Mengen 1. Der Begriff der Menge Abzählbare Mengen Elementare Eigenschaften abzählbarer Mengen Vereinigungsmengen von höchstens abzählbar vielen Mengen Beispiele abzählbarer Mengen Nichtabzählbare unendliche Mengen Die Mächtigkeiten unendlicher Mengen Punktmengen 8. w-dimensionale Räume Konvergenz von Punktfolgen. Umgebungen Häufungsstellen Abgeschlossenheit einer Menge. Derivierte Mengen Offene Mengen. Rand einer Menge Bereiche Weitere Diskussion der infinitären Eigenschaften von Mengen 14. Der Boreische Überdeckungssatz Der Häufungsstellensatz Extrema abgeschlossener Zahlenmengen Obere und untere Grenze 43 II Funktionen auf Mengen 4. Konvergenz von Funktionen auf Punktmengen 18. Definition von Funktionen auf Mengen Konvergenz einer Funktion auf einer Punktmenge Ein Übertragungsprinzip Das Cauchy-Bolzanosche Konvergenzkriterium 51

3 8 Inhaltsverzeichnis 5. Stetigkeit von Funktionen auf Punktmengen 22. Stetige Punktfunktionen Der Satz von der gleichmässigen Stetigkeit Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen auf abgeschlossenen Mengen Die Zwischenwertsätze 57 III Unendliche Folgen und Reihen 6. Unendliche Folgen 26. lim«, lim«,,. Anwendung auf die Konvergenzdiskussion Unbestimmtheitsgrenzen beim beliebigen Grenzübergang Der Cauchysche Grenzwertsatz Unendliche Reihen 30. Nocheinmal das Quotienten- und das Wurzelkriterium Weitere elementare Kriterien Das Maclaurin-Cauchysche Integralkriterium Absolut konvergente Reihen Der Riemannsche Satz über bedingt konvergente Reihen Die Abelschen Konvergenzkriterien Unendliche Produkte Funktionenfolgen und Funktionenreihen 87. Begriff der gleichmässigen Konvergenz bei Funktionenfolgen Bedingungen für die gleichmässige Konvergenz bei Funktionenfolgen und -reihen Weitere Kriterien für die gleichmässige Konvergenz Gliedweise Integration und Differentiation Vertäuschung von Grenzübergängen Der allgemeine Vertauschungssatz Potenzreihen 43. Konvergenzverhältnisse bei Potenzreihen Eigenschaften der Summe einer Potenzreihe. Funktionen J {x) Direkte Begründung der Theorie von e", sin*, cos*' Die allgemeine Binomialreihe Die allgemeine binomische Formel Der Approximationssatz von Weierstrass für stückweise lineare stetige Funktionen Der Approximationssatz von Weierstrass für stetige Funktionen

4 Inhaltsverzeichnis 9 IV Ergänzungen zur Differentialrechnung 10. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung auf Diskussion der Funktionen einer Variablen 50. Grenzwerte, die die unbestimmte Form oo/oo annehmen Vertauschbare Operatoren Einige Anwendungen des Rechnens mit Operatoren Extrema bei Funktionen einer Variablen f(x)jg(x) im Falle gemeinsamer'nullstellen Stückweise stetige und stückweise stetig dififerenzierbare Funktionen Stieltjesintegrale. Definition. Existenz Eigenschaften der Stieltjesintegrale. Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung Differentiation bei. Funktionen mehrerer Variablen 58. Funktion zweier Variablen und Funktion des Punktes Mittelwertsatz für Funktionen mehrerer Variablen Der Gradient Partielle Ableitungen höherer Ordnung 61. Höhere partielle Ableitungen. Vertauschbarkeit der Differentiationsordnung Der Taylorsche Satz für Funktionen mehrerer Variablen Eulerscher Satz über homogene Funktionen Jacobische Matrizen und Determinanten 64. Matrizentheoretische Grundbegriffe Die Jacobische Matrix und Determinante Bedingungen für die Schlichtheit einer Abbildung Das totale Differential 67. Der Cauchysche Differentialbegriff Legendresche Transformation. Höhere Differentiale Differentiable Funktionen und totales Differential Totales Differential und Richtungsableitungen am Rande Gleichmässige Differenzierbarkeit 195 V Anwendungen der Differentialrechnung auf die Analysis 15. Existenz der Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Implizite Funktionen 72. Formulierung des Existenzsatzes für Lösungen von Gleichungen und Gleichungssysteme Beweis des Existenzsatzes Ableitungen impliziter Funktionen. 204

5 10 Inhaltsverzeichnis 16. Umkehrung von Abbildungen und Funktionensystemen 75. Umkehrung einer schlichten stetig differenzierbaren Abbildung Auflösung von Gleichungen und Gleichungssystemen in der Nähe angenäherter Lösungen Partielle Umkehrung eines Funktionensystems Hinreichende Bedingungen für die Unabhängigkeit von Funktionensystemen Hinreichende Bedingungen für die Abhängigkeit von Funktionensystemen Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen 80. Quadratische Formen Notwendige Bedingungen Diskussion mittels der notwendigen Bedingungen Hinreichende Bedingungen Beispiele Extrema mit Nebenbedingungen Der Hadamardsche Determinantensatz 232 VI Numerische Rechenmethoden 18. Anwendungen der Differentialrechnung auf Interpolation 87. Lineare Interpolation Weitere Ausführungen zur linearen Interpolation Interpolation höherer Ordnung. Lagrangesche Interpolationsformel Die Gregory-Newtonsche Interpolationsformel. Das Differenzenschema Numerische Differentiation und Integration 91. Numerische Differentiation Numerische Integration. Die Trapezformel Numerische Integration. Die Simpsonsche Regel Beispiele Numerische Integration. Die Gaußsche Methode Angenäherte Auflösung von Gleichungen 96. Angenäherte Auflösung von Gleichungen nach der Newton-Raphsonschen Regel. Fehlerabschätzung Die Fourier-Bedingungen für die Konvergenz des Newton-Raphsonschen Verfahrens Eine weitere Konvergenzbedingung für das Newton-Raphsonsche Verfahren Regula falsi 279

6 Inhaltsverzeichnis Bernoullische Zahlen und Polynome 100. Definition der Bernoullischen Zahlen und Polynome Einige Eigenschaften der Bernoullischen Zahlen und Polynome Integrale mit B m (t) als Kern Die Euler-Maclaurinsche Formel 103. Die Euler-Maclaurinsche Formel Eine Umformung der Euler-Maclaurinschen Formel. Die Stirlingsche Reihe Das Wallische Produkt und die Stirlingsche Konstante 292 VII Allgemeines über Kurven. Ebene Kurven 23. Grössen erster Ordnung in der Kurventheorie 106. Parameterdarstellung von Kurven in der Ebene und im Raum. Reguläre und singulare Punkte Darstellung von Raumkurven als Schnittkurven von Flächen Bogenlänge bei glatten und stückweise glatten Bögen Zylinderkoordinaten und Polarkoordinaten im Räume Beliebige rektifizierbare Kurven Grössen zweiter Ordnung in der Kurventheorie 111. Krümmung Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt Beispiele für die Bestimmung der Krümmung und des Krümmungsmittelpunktes Evolute, Evolvente und Parallelkurven 114. Die Evolute Die Evolute im Falle des stetigen monotonen Krümmungsradius Die Evolvente Parallelkurven Enveloppen von Kurvenscharen 118. Bedingung für die Enveloppe der Schar y =/(#, c) Weitere Ausführungen über die Enveloppen von Kurvenscharen Beispiele zur Enveloppentheorie 336 VIII Raumkurven und Flächen 27. Vektoren 121. Begriff des Vektors Das innere Produkt Das äussere Produkt 344

7 12 Inhaltsverzeichnis 28. Die Schmiegungsebene einer Raumkurve 124. Ortsvektor und Tangentenvektor Die Schmiegungsebene im einfachsten Fall Durchsetzung der Raumkurve durch die Schmiegungsebene Krümmung und Torsion 127. Das begleitende Dreikant Die Frenetschen Formeln Darstellungen von Krümmung und Torsion Vorzeichen der Torsion Tangentialebene und Flächennormale 131. Tangentialebene Flächennormale Beispiele. Durchsetzung der Fläche durch die Tangentialebene Weitere Ausführungen über Flächen (Enveloppen; Geometrie auf der Fläche) 134. Enveloppen von einparametrigen Flächenscharen Enveloppen von zweiparametrigen Flächenscharen Das Bogenelement auf einer Fläche Winkel auf der Fläche 375 Register 377