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1 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre Definition Mengenoperationen Potenzmenge Mengensysteme Mengengesetze Geordnetes Paar Relation Äquivalenzrelation 5 2 Inferenzregeln Modus ponens Modus tollens Kontrapositionsregel Kettenschluss Notwendig und hinreichend Logische Verknüpfungen Vollständige Induktion Tertium non datur Zur Widerspruchsfreiheit in der Mengenlehre 10 3 Funktionen und Abbildungen Definition Charakteristika Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Graph Bild Urbild Komposition Umkehrfunktion Spezielle Abbildungen Metrik Monotonie 18

2 3.12 Strenge Monotonie und Injektivität 3.13 Monotonie der Umkehrfunktion 3.14 Polynome 3.15 Die Nullstellenmenge 3.16 Rationale Funktionen 3.17 Periodizität 3.18 Sinus und Cosinus 3.19 Monotonie von Sinus und Cosinus 3.20 Nullstellen von Sinus und Cosinus 3.21 Der Tangens 3.22 Der Arcustangens 3.23 Einige Funktionswerte von Sinus und Cosinus 3. Die hyperbolischen Funktionen 3.25 Exponentialfunktion und Logarithmus 3.26 Die Funktionalgleichungen der Exponentialfunktion und des Logarithmus 3.27 Potenzfunktion 4 Komplexe Zahlen 4.1 Normalform 4.2 Realteil 4.3 Imaginärteil 4.4 Konjugiert komplexes von z 4.5 Betrag von z 4.6 Rechenregeln 4.7 Polardarstellung 4.8 Formel von Moivre 4.9 Fundamentalsatz der Algebra 5 Folgen und Reihen 5.1 Definition 5.2 Konvergenz, Grenzwerte 5.3 Der "Grenzwert" ±oo 5.4 Rechenregeln für konvergente Folgen 5.5 Die Sandwich-Regel

3 5.6 Die Wurzelregel Cauchy-Folgen Das Cauchy-Kriterium: Über die Konvergenz von Cauchy-Folgen Monotonie Beschränktheit Bolzano-Weierstraß Reihen Rechenregeln für Reihen Die geometrische Reihe Zusammenhang zwischen der Konvergenz der Reihe a k und der Konvergenz der Folge a n Das Cauchy-Kriterium für Reihen Die Reihe ^ für a > Absolute Konvergenz Das Majorantenkriterium Das Minorantenkriterium Das Quotientenkriterium Potenzreihen Das Leibniz-Kriterium 43 6 Stetigkeit Definition Rechenregeln e <5-Definition Der Grenzwert einer Funktion für x ) a E R Der Grenzwert einer Funktion für x > ±oo Extrema stetiger Funktionen auf kompakten Mengen Der Zwischenwertsatz 46 7 Differenzierbarkeit Definition Bemerkung Stetigkeit und Differenzierbarkeit Rechenregeln für differenzierbare Funktionen Differentiationsregeln für auf R konvergente Potenzreihen.. 49

4 7.6 Differentiation der Umkehrfunktion Die Kettenregel Extrema Notwendiges Kriterium Hinreichendes Kriterium Der Satz von Rolle Mittelwertsatz der Differentialrechnung Satz von de l'hospital Der Satz von de l'hospital für den Ausdruck 0 oo Der Satz von de l'hospital für den Ausdruck oo oo Der Satz von de l'hospital für die Ausdrücke oo und Wichtige Bemerkung Der Satz von Taylor 55 8 Integralrechnung Bemerkung Definition der Stammfunktion Grundintegrale Integrationsregeln Häufig verwendete Substitutionen Partielle Integration Bestimmte Integrale Rechenregeln für bestimmte Integrale Mittelwertsatz der Integralrechnung' Mittelwertsatz der Integralrechnung Ableitung nach der oberen Grenze Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung Geometrische Deutung des bestimmten Integrals Integration von Potenzreihen Uneigentliche Integrale Näherungsformeln Rechteckformel Trapezformel Simpson-Regel (nur für gerades n) Keplersche Fassregel 64

5 9 Determinanten und quadratische LGS Matrizen Determinanten und ihre Spalten-Entwicklung Wohldefiniertheit der Determinante Die transponierte Matrix Lineare Gleichungssysteme Matrizenmultiplikation Lösungen einer linearen Gleichung Lösungen eines linearen Gleichungssystems Zusammenhang zwischen der Lösbarkeit eines LGS und der Determinante der Koeffizientenmatrix Definition Die Cramersche Regel Matrixumformungen zur Berechnung der Determinante Der Determinanten-Multiplikationssatz Die Einheitsmatrix Die inverse Matrix Eigenwerte, Eigenvektoren und charakteristisches Polynom Nützliches Kriterium und Beispiel Differenzierbarkeit in R" n-dimensionaler Raum Lineare Abbildungen Norm Einheitsvektoren n-dimensionale Kugeln Offene Mengen Folgen im R n Konvergenz Komponentenfunktionen Grenzwerte im R Totale Differenzierbarkeit Totales Differenzierbarkeitskriterium Richtungs- und partielle Ableitungen Höhere partielle Ableitungen 83

6 10.15 Gradient Umgebungen Zusammenhang totale und partielle Differenzierbarkeit Lokale Extrema Notwendiges Kriterium für Extrema Positiv-definite Matrizen Hurwitz-Kriterium für positive Definitheit Positive Definitheit und Eigenwerte Hesse-Matrix Satz von Schwarz Hinreichendes Kriterium für Extrema Jacobi-Matrix Kombinatorik Fakultät Binomialkoeffizient Permutation k-permutationen Formeln für k-permutationen k-kombinationen Formeln für k-kombinationen Teilmengenanzahl einer endlichen Menge Weitere Rechenregeln für Mengen Siebformel Wahrscheinlichkeitstheorie Charakteristische Funktion Sigma-Algebra Von einer Menge erzeugte Sigma-Algebra Beispiele Meßraum Wahrscheinlichkeitsmaß Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Formel von Poincare-Sylvester Bedingte Wahrscheinlichkeit 101

7 12.10 Totale Wahrscheinlichkeit Spezialfall der Formel von Bayes Unabhängigkeit von zwei Ereignissen Unabhängigkeit von n Ereignissen Dichte Durch Dichten induzierte Wahrscheinlichkeitsmaße Zufallsvariable Konvention Verteilungsfunktion P-verteilte Zufallsvariablen Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen Erwartungswert Erwartungswert der Komposition von Zufallsvariablen Formel für den Erwartungswert nicht-negativer Zufallsvariablenll3 12. Rechenregeln für Erwartungswerte Varianz Verschiebungsformel Covarianz Kriterien für Unkorreliertheit 115

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