Checkliste zur Prüfungsvorbereitung in. Analysis

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1 Checkliste zur Prüfungsvorbereitung in Analysis Hinweis: Diese Liste ist lediglich als Unterstützung bei der Wiederholung des bisherigen Lehrstoffs vorgesehen. Sie ist nicht dazu gedacht, einzelne Themen für die Klausur auszuschließen. Alles, was in der Vorlesung oder den Übungen behandelt wurde, kann prinzipiell in der Klausur vorkommen, auch wenn es in dieser Liste nicht auftaucht. Wenn Sie den Eindruck haben, dass ein wichtiger Begriff fehlt, wäre ich für einen Hinweis (zum Beispiel per ) dankbar. Für die Klausurvorbereitung ist es auch hilfreich, die Aufgabe 0 auf jedem Übungsblatt noch einmal durchzugehen. Im Hinblick auf eventuell kursierende Altklausuren sei darauf hingewiesen, dass das Durchrechnen dieser Aufgaben (oder gar das bloße Durchlesen der Musterlösungen) auf keinen Fall eine ausreichende Vorbereitung darstellt. Ausschlaggebend für die Auswahl der Klausuraufgaben ist, was in Vorlesung und Übungen des aktuellen Semesters behandelt wurde, und nicht Klausuraufgaben, die in der Vergangenheit gestellt wurden. Jeder Jahrgang unterscheidet sich auch (geringfügig) von den vorherigen bezüglich Stoffauswahl und Schwerpunkten. Um bei der Klausur hinreichend flexibel zu sein, muss man die Begriffe und Sätze so weit verinnerlicht haben, dass man sich nicht für jeden einzelnen Aufgabentyp den Lösungsweg merken muss. Zufrieden mit der eigenen Vorbereitung sollten Sie erst ein, wenn Ihnen bei jeder Aufgabe klar ist, dass die angebene Lösung naheliegend und der (von leichten Variationsmöglichkeiten abgesehen) einzige direkte Weg ist. Mit anderen Worten, es sind niemals weit hergeholte Ideen zum Auffinden der Lösung notwendig; statt dessen ergibt sich der Lösungsweg fast zwangsläufig aus den Definitionen, mit denen gearbeitet werden muss bzw. aus den zur Verfügung stehenden Sätzen. (a) Grundbegriffe Aussage, Aussagenschema, Tautologie, logischer Schluss, All- und Existenzquantor Menge, Relation, Abbildung Bild- und Urbildmengen unter Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv vollständige Induktion Halb- und Totalordnung Mächtigkeit einer Menge, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit Ring, Körper angeordneter Körper, archimedisches Axiom, Intervalle Dedekindsche Schnitte und Vollständigkeit obere und untere Schranken einer Teilmenge M R, Maximum und Minimum Supremum und Infimum einer Teilmenge M R bewerter Körper, der Körper C der komplexen Zahlen, komplexe Konjugation, Absolutbetrag auf C und R

2 konvergente Folge, beschränkte Folge uneigentliche Konvergenz einer Folge gegen + oder monoton wachsende, monoton fallende Folge Häufungspunkt einer Folge, Limes superior und Limes inferior Cauchyfolge Definition der Reihe n=1 a n über einer Folge (a n ) n N, Definition der Konvergenz für Reihen absolute Konvergenz einer Reihe Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Wurzelfunktionen Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt lokales und globales Maximum / Minimum einer Funktion Zerlegung eines Intervalls [a, b] Ober- und Untersummen einer beschränkten Funktion f bezüglich einer Zerlegung Ober- und Unterintegral einer beschränkten Funktion Riemann-Integrierbarkeit und Riemannsches Integral einer beschränkten Funktion Stammfunktion einer Funktion f (b) Wichtige Sätze und Zusammenhänge, Verständnisfragen Sei f : X Y eine Abbildung. Wie erkennt man an den Urbildmengen f 1 ({y}) (y Y ), ob f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist? Wie hängt die Surjektivität mit der Bildmenge f(x) zusammen? Wie sieht die Urbildmenge f 1 (Y ) bei einer beliebigen Abbildung f : X Y aus? Sei K ein Körper. Auf welche Weise erhält man durch eine Anordnung K + eine Totalordnung auf K? Was kann über die Intervalle in einem vollständigen Körper ausgesagt werden? Wie kann man zeigen, dass der Körper Q der rationalen Zahlen nicht vollständig ist? Durch welche Eigenschaften ist der Körper R der reellen Zahlen gekennzeichnet? Wie haben wir gezeigt, dass für jedes ε R + ein n N mit 1 n Vollständigkeit der reellen Zahlen dabei eine Rolle? < ε existiert? Inwiefern spielte die Welche Bedingungen muss erfüllt sein, damit das Supremum bzw. Infimum einer Teilmenge M R existiert? Welche Intervalle in R haben ein Maximum / Minimum / Supremum / Infimum? Ist jede konvergente Folge beschränkt? Ist jede beschränkte Folge konvergent? Gibt es uneigentlich konvergente, beschränkte Folgen?

3 Wie lauten die Grenzwertsätze? Was besagt das Sandwich-Lemma? Was besagt der Satz von Bolzano-Weierstrass? Welcher Zusammenhang besteht zwischen konvergenten Folgen und Cauchyfolgen? Wie ist die geometrische Reihe definiert, und was ist ihr Grenzwert? Welche Konvergenzkriterien für Reihen wurden in der Vorlesung behandelt? richtig oder falsch? Wenn die Folge (a n ) n N konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe n=1 a n. Wenn die Reihe n=1 a n konvergiert, dann konvergiert auch die Folge (a n ) n N. Geben Sie ein konkretes Beispiel für eine Reihe an, die zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Gibt es auch Reihen, die zwar absolut konvergent, aber nicht konvergent sind? (Wenn nein, warum nicht?) Sei (a n ) n N gegeben durch a n = 1 n das Quotientenkriterium dennoch nicht auf die harmonische Reihe n=1 1 n an+1 für alle n N. Dann gilt a n < 1 für alle n N. Warum kann angewendet werden? Kann die Konvergenz von n=1 1 n 3 mit dem Quotientenkriterium gezeigt werden? Wenn nicht, mit welchem Kriterium funktioniert es? Welche Häufungspunkte, isolierten Punkte, Berührpunkte und inneren Punkte hat das Intervall ]0, 1[ in R? Sei f : R R eine Funktion. Worin besteht der Unterschied zwischen dem Funktionsgrenzwert lim f(x) und dem Folgengrenzwert lim f(n)? Können Sie eine konkrete Funktion f definieren, x + n bei der der Folgengrenzwert f(n) gleich Null ist, aber andererseits der Funktionsgrenzwert lim f(x) nicht existiert? x + Was besagt das ɛ-δ-kriterium? lim n Was besagt der Zwischenwertsatz? Was ist die Aussage des Maximumsprinzips? Gilt das Maximumsprinzip auch für unendliche Intervalle, d.h. nimmt zum Beispiel jede stetige Funktion auf ]0, + [ in einem Punkt ihr Maximum an? Wie sieht es bei endlichen, offenen Intervallen aus, zum Beispiel ]0, 1[? Der Zwischenwertsatz wurde in der Vorlesung nur für endliche, abgeschlossene Intervalle formuliert. Wie kann dennoch mit dem Zwischenwertsatz begründet werden, dass für die Funktion f : R R, x x 3 + 5x + 1 ein Punkt a R mit f(a) = 9999 existiert? Wie wurde in der Vorlesung die Stetigkeit der Logarithmus- und Wurzelfunktionen begründet (d.h. welcher allgemeine Satz steht dahinter)? Gibt es Funktionen, die einem Punkt zwar stetig, aber nicht differenzierbar sind? Oder solche, die einem Punkt zwar differenzierbar, aber nicht stetig sind? Welche Ableitungsregeln wurden in der Vorlesung behandelt? Welche notwendigen bzw. hinreichenden Kriterien für die Existenz lokaler Extrema lassen sich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion formulieren? Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: Ist f : R R eine Funktion mit f (0) = 0, dann hat f bei 0 ein lokales Extremum. Ist f : R R eine Funktion mit einem lokalen Maximum an der Stelle 0, dann gilt f (0) = 0 und f (0) < 0.

4 Was besagt der Mittelwertsatz? Wie wurde mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigt, dass Funktionen mit positiver Ableitung streng monoton wachsend sind? Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzreihenfunktion? Wofür verwendet man die l Hospitalschen Regeln? Sei f : [a, b] R eine beschränkte Funktion und Z eine Zerlegung von [a, b]. Ordnen Sie die Zahlen begzüglich, also der Größe nach. b b S + f (Z), f(x) dx, S f (Z), f(x) dx a Welche der vier Zahlen fallen bei einer Riemann-integrierbaren Funktion immer zusammen? Welche Rolle spielte der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit beim Nachweis, dass stetige Funktionen auf [a, b] immer Riemann-integrierbar sind? Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Inwiefern spielte der Mittelwertsatz der Integralrechnung beim Beweis eine Rolle? Wie lässt sich mit den Sätzen aus der Vorlesung die Gleichung 1 0 x2 dx = 1 3 begründen? Welche beiden Regeln für die Berechnung von Integralen wurden in der Vorlesung behandelt? a (c) Beweis- und Rechentechniken Die Angaben in Klammern verweisen auf die Übungsaufgaben (zum Beispiel G1A3 = Globalübungsblatt 1, Aufgabe 3; P = Probeklausur). Erkennung von logischen Schlüssen (T1A2, G1A2) Beweis von Mengengleichungen (G1A3) Umgang mit Mengenoperationen (T1A2, G1A2, P3) Beweis durch vollständige Induktion (T2A2, G2A2, T4A1, T4A2, T4A3, G4A2, P1) Erkennung von Halb- und Totalordnungen (T2A3, G2A3) Bestimmung von Bild- und Urbildmengen, Nachweis von Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (T3A1, G3A1, P2) Beweisaufgaben zu Bild- und Urbildmengen (T3A2, G3A2) Beweisaufgaben zur Injektivität und Surjektivität (T3A3, G3A3) Beweisaufgaben zur Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit (T4A3, G4A3) Bestimmung der Verknüpfungstabellen endlicher Körper (T5A1, G5A1) Beweis quantifizierter Aussagen (T5A2, G5A2, T6A1, G6A1, P4) Intervalle in angeordneten Körpern (G5A3, P3)

5 Nachweis von Supremum, Infimum, Minimum, Maximum (T6A2, G6A2, P5) Beweisaufgaben zu Infimum und Supremum (T6A3, G6A3) dichte Teilmengen (G7A1) Rechnen mit komplexen Zahlen (T7A2, G7A2) Nachweis der Konvergenz von Folgen direkt anhand der Definition (T7A3, G7A3) Anwendung der Grenzwertsätze (T8A1, G8A1) Beweisaufgaben zur (uneigentlichen) Konvergenz (T8A2, G8A2, T8A3, G8A3, P6) Beweisaufgaben zu Häufungspunkten, Limes superior und Limes inferior (T9A1, T9A2, G9A1, G9A2) Beweisaufgaben zur Konvergenz von Reihen (T9A3, G9A3, T10A2, T10A3, G10A3) Anwendung der Konvergenzkriterien für Reihen (T10A1, G10A1, G10A2) Nachweis der Stetigkeit von Funktionen (T11A1, G11A1, G11A2) Bestimmung von Funktionsgrenzwerten (T11A3, G11A2, G11A3) Beweisaufgabe zur Stetigkeit (T11A2) Anwendungen von Zwischenwertsatz und Maximumsprinzip (T12A1, T12A2, G12A1, G12A2) Potenzreihen (T12A3, G12A3) Anwendung von Ableitungsregeln (T13A1, G13A1, T14A1) Nachweis der Differenzierbarkeit von Funktionen (T13A2, T13A3, G13A2, G13A3) Untersuchung der Extrema und des Monotonieverhaltens einer Funktion (T14A2) Beweisaufgabe zum Thema lokale und globale Extrema (T14A3)