Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

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1 Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften Herausgegeben von Prof. Dr. rer. oec. habil. Heinz Körth Prof. Dr. rer. oec. habil. Carl Otto Dr. rer. nat. Walter Runge Prof. Dr. rer. nat. habil. Manfred Schoch 2. Auflage Westdeutscher Verlag Opladen

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Einführung in die Logik Aussagen, Variable, Aussageformen Aussagenverbindungen Identitäten ' Logisch äquivalente Aussagenverbindungen Identitäten in Form einer Implikation Schlußregeln Elemente der Schaltalgebra Quantifizierung von Aussageformen 43 Aufgaben Grundbegriffe der Mengenlehre Vorbemerkungen Mengen und Teilmengen Mengenoperationen 53

3 Inhaltsverzeichnis 2.4. Produktmengen, Relationen Produktmengen, Relationsbegriff Ordnungsrelationen Äquivalenzrelationen, Klasseneinteilungen Abbildungen, Funktionen, Operationen Gleichmächtigkeit von Mengen, Endlichkeit 70 Aufgaben Zahlenbereiche Natürliche Zahlen Peanosches Axiomensystem v Vollständige Induktion Ganze Zahlen, Rationale Zahlen Reelle Zahlen Begriff und Operationen L-Ungleichungen und absoluter Betrag Darstellung reeller Zahlen (Zahlensysteme) Komplexe Zahlen Begriff der komplexen Zahl Rechnen mit komplexen Zahlen 100

4 Inhaltsverzeichnis Polarkoordinaten, trigonometrische Darstellung 102 Aufgaben Kombinatorik Summenzeichen Produktzeichen Aufgaben der Kombinatorik Permutationen Permutationen ohne Wiederholung Permutationen mit Wiederholung Variationen Variationen ohne Wiederholung Variationen mit Wiederholung Kombinationen Kombinationen ohne Wiederholung Kombinationen mit Wiederholung Binomial- und Polynomialsatz Eigenschaften des Eulerschen Symbols I, ) Binomialsatz Polynomialsatz 135 Aufgaben 136

5 Inhaltsverzeichnis 5. Lineare Algebra Matrixbegriff und spezielle Matrizen Matrizenrelationen Gleichheit von Matrizen ' Ungleichheit von Matrizen Matrizenoperationen Transponieren Matrizenaddition Matrizensubtraktion Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor (Skalarprodukt) Multiplikation von Matrizen Linearkombination von Vektoren Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren Elementare Basistransformation Rang einer Matrix Konvexe Mengen Lineare Gleichungssysteme Begriff des linearen Gleichungssystems Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen Matrizeninversion 215

6 Inhaltsverzeichnis Matrizengleichungen Lineare Ungleichungssysteme Begriff des linearen Ungleichungssystems Normales Ungleichungssystem mit beschränkter Lösungsmenge Determinanten Quadratische Formen und Definitheit 241 Aufgaben Lineare Optimierung Einleitung Lineare Optimierungsmodelle und die Normalform der linearen Optimierungsaufgabe ' Lineare Optimierungsmodelle Normalform der linearen Optimierungsaufgabe Graphische Lösung von linearen Optimierungsaufgaben in zwei Variablen Grundlegende Eigenschaften linearer Optimierungsaufgaben Simplexmethode Simplexalgorithmus Zur numerischen Durchführung des Simplexalgorithmus Erzeugung einer ersten zulässigen Basislösung und der zugehörigen kanonischen Form - die Phase I der Simplexmethode 295

7 10 Inhaltsverzeichnis Numerische Durchführung der zwei Phasen der Simplexmethode Dualitätstheorie der linearen Optimierung Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben Eigenschaften von Paaren dualer linearer Optimierungsaufgaben ökonomische Interpretation eines Paares dualer linearer Optimierungsaufgaben Dualer Simplexalgorithmus Theoretische Betrachtungen zum dualen Simplexalgorithmus Zur numerischen Durchführung des dualen Simplexalgorithmus Klassische Transportaufgabe Problemstellung und Modellkonstruktion Eigenschaften der klassischen Transportaufgabe und die Erzeugung zulässiger Basislösungen Erzeugung einer optimalen zulässigen Basislösung Zur numerischen Durchführung des Lösungsverfahrens für die klassische Transportaufgabe Parametrische lineare Optimierung Lineare Abhängigkeit der Bewertungskoeffizienten von einem Parameter Lineare Abhängigkeit des Erfordernisvektors von einem Parameter Diskrete lineare Optimierung Schnittebenenverfahren von Gomory 366 Aufgaben

8 Inhaltsverzeichnis Zahlenfolgen und -reihen Begriff der Zahlenfolge, spezielle Zahlenfolgen Erklärung der Zahlenfolge Arithmetische Zahlenfolgen Differenzenfolgen Geometrische Zahlenfolgen Beschränkte und monotone Zahlenfolgen Konvergente Zahlenfolgen Grenzwert von Zahlenfolgen ' Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen " ' Divergente Zahlenfolgen Konvergenzkriterien ' Zahlenreihen Begriff der unendlichen Reihe Summe einer unendlichen Reihe Unendliche geometrische Reihe Konvergenzkriterien 405 Aufgaben Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften und Typen von Funktionen

9 12 Inhaltsverzeichnis Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Differenzierbarkeit Differentialquotient Differentiationsregeln Mittelwertsatz Differentiale Ableitungen höherer Ordnung Satz von Taylor; Taylorsche Reihen Satz von Taylor, Taylorsche Reihen Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktion Anwendungen der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen 463 L4.1. Relative und absolute Extrema Monotonie, Konvexität, Konkavität Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung Optimale Losgröße 473!.5.2. Optimale Nutzungsdauer ". 476 J.5.3. Optimale Laufzeit von Fördersonden Optimale Ankunftsintensität von Schiffen ' 481 Aufgaben. >. 483

10 Inhaltsverzeichnis Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Grundbegriffe und geometrische Darstellung Grenzwerte und Stetigkeit Ableitung und Differential Partielle Ableitungen Vollständiges Differential Partielle Ableitungen höherer Ordnung Fehlerabschätzungen Extremwerte Notwendige Bedingungen Hinreichende Bedingungen Extremwerte unter Nebenbedingungen Methode der kleinsten Quadratsumme 510 Aufgaben 514 Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen 517 Unbestimmtes Integral 519 Stammfunktion 519 Grundregeln zur Ermittlung unbestimmter Integrale 520

11 14 Inhaltsverzeichnis Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen Integration rationaler Funktionen Integration einiger spezieller Funktionen Bestimmtes Integral Flächeninhalt Bestimmtes (Riemannsches) Integral Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen Mittelwertsätze der Integralrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Rechnen mit bestimmten Integralen Anwendungen der Integralrechnung Uneigentliche Integrale Integrale über unbeschränkte Intervalle Integrale von nicht beschränkten Funktionen ' Aufgaben Lineare Differential- und Differenzengleichungen Lineare Differentialgleichungen Allgemeine Bemerkungen und Definitionen Differentialgleichung 1. Ordnung Trennung der Variablen Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Sätze über die Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 570

12 Inhaltsverzeichnis Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Methode der Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung ' Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 583 / Spezielle Lösungsansätze zur Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung Homogene Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Inhomogene. Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Eliminationsverfahren zur Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen Ökonomische Anwendungen von Differentialgleichungen Differenzenrechnung Funktion und ihre Differenzen Eigenschaften des Differenzenoperators Differenzengleichungen Definitionen Existenz-und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzengleichungen Allgemeine Sätze über lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten 618

13 16 Inhaltsverzeichnis Lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Inhomogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Systeme linearer Differenzengleichungen I.Ordnung mit konstanten Koeffizienten Zusammenhang zwischen Differenzen- und Differentialgleichungen Aufgaben Nichtlineare Optimierung Problemstellungen der nichtlinearen Optimierung Allgemeine Aufgabe der nichtlinearen Optimierung Graphische Lösung von nichtlinearen Optimierungsaufgaben in zwei Variablen Konvexe Funktionen Globale und relative Extrema Besonderheiten der nichtlinearen Optimierung Aufgaben der konvexen Optimierung Hyperbolische Optimierung : 658

14 Inhaltsverzeichnis Quadratische Optimierung Approximationsmethoden für Probleme mit trennbaren Funktionen Hyperbolische Optimierung Satz von Kuhn-Tucker Satz von Kuhn-Tucker für konvexe Probleme Bedingungen von Kuhn-Tucker für quadratische Probleme Quadratische Optimierung Allgemeine Aussagen über quadratische Probleme Dualität Gradientenverfahren Allgemeines Vorgehen der Gradientenverfahren Quadratischer Fall 684 Aufgaben Dynamische Optimierung Stellung der dynamischen Optimierung in der Optimierungstheorie Mehrstufige Entscheidungsprozesse Dynamische Systeme und Mehrstufenprozesse Mehrstufenentscheidungsprozesse Separable Mehrstufenentscheidungsprozesse Zusammenfassende Problemstellung Lösungsverfahren Optimalitätsprinzip Mathematik

15 18 Inhaltsverzeichnis Funktionalgleichungen : Lösung der Funktionalgleichungen Fragen der praktischen Auswertung der Funktionalgleichungen Umkehrung der Optimierungsrichtung Ein Verteilungsproblem Wertung des Verfahrens und Ausblick 719 Aufgaben : Graphentheorie Grundlagen Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Durchlaufungen Graphen und Matrizen Bäume und Gerüste Planare Graphen Anwendungen der Graphentheorie in der Ökonomie Kürzeste Wege Einiges über Netzplantechnik Spannungen auf Graphen Ströme auf Graphen 753 Aufgaben 759

16 Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit und Abhängigkeit von Ereignissen Zufallsgrößen Diskrete Verteilungen Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsgröße Erwartungswert und Streuung einer diskreten Zufallsgröße Weitere Parameter einer diskreten Zufallsgröße Erzeugende Funktion einer diskreten Zufallsgröße Mehrdimensionale diskrete Zufallsgrößen Spezielle diskrete Verteilungen Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Geometrische Verteilung Poisson-Verteilung Polynomialverteilung Stetige Verteilungen Verteilungsgesetz einer stetigen Zufallsgröße 835

17 Inhaltsverzeichnis Parameter einer stetigen Zufallsgröße Mehrdimensionale stetige Zufallsgrößen Spezielle stetige Verteilungen Gleichmäßige Verteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Zweidimensionale Normalverteilung 869 Aufgaben 871 Lösungen zu den Aufgaben Einführung in die Logik : Grundbegriffe- der Mengenlehre Zahlenbereiche Kombinatorik Lineare Algebra Lineare Optimierung Zahlenfolgen und -reihen Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen Lineare Differential- und Differenzengleichungen Nichtlineare Optimierung 940

18 Inhaltsverzeichnis Dynamische Optimierung Graphentheorie Wahrscheinlichkeitsrechnung 956 Literaturverzeichnis 979 Sachwortverzeichnis 985