B. Luderer/V. Nollau/K. Vetters. Mathematische Formeln für fur Wirtschaftswissenschaftler

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1 B. Luderer/V. Nollau/K. Vetters Mathematische Formeln für fur Wirtschaftswissenschaftler

2 Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler Von Prof. Dr. Bernd Luderer Technische Universität Chemnitz Prof. Dr. Volker N ollau Technische Universität Dresden und Dr. Klaus Vetters Technische Universität Dresden m B. G. Teubner Stuttgart Leipzig 1998

3 Prof. Dr. rer. nato nat. habil. Bemd Bernd Luderer Technische Universitat Universität Universităt Chemnitz internet: intemet: Prof. Dr. rer. nat. nato habil. Volker Nollau Technische Universitat Universität Universităt Dresden internet: intemet: Dr. rer. nat. nato Klaus Кlaus Vetters Technische Universitat Universität Universităt Dresden internet: intemet: Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Oie Die Oeutsche Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Luderer, Bernd: Mathematische Formeln ftir für fur Wirtschaftswissenschaftler / Bernd Luderer; ; Volker Nollau ; Klaus Кlaus Vetters. - Stuttgart ; Leipzig: : Teubner, 1998 ISBN ISBN (ebook) DOI / Oas Das Werk einschließlich einschlieblich einschlieвlich aller aher seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. geschiitzt. geschützt. Jede Verwertung auberhalb außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne оьпе Zustimmung des Verlages unzuiassig unzulăssig unzulässig und strafbar. Oas Das gilt besonders ftir für Vervielf1i.ltigungen, Vervielfältigungen, Vervielfăltigungen, Ubersetzungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. В. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1998

4 Vorwort Bei der vorliegenden Formelsammlung handelt es sich um ein Kompendium der Wirtschaftsmathematik. Sie enthält die wichtigsten Formeln, Aussagen und Algorithmen zu diesem wichtigen Teilgebiet der modernen Mathematik und wendet sich vor allem an Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien. Aber auch für die mit praktischen Problemen befaßten Wirtschaftswissenschaftler steht mit dieser Formelsammlung ein leistungsfähiges und handliches Nachschlagewerk zur Verfügung. Im einzelnen werden zunächst mathematische Zeichen und Konstanten, Mengen und Aussagen, Zahlensysteme und ihre Arithmetik sowie Grundlagen der Kombinatorik behandelt. Dem Kapitel zu Folgen und Reihen schließen sich die Finanzmathematik und die Darstellung von Funktionen einer und mehrerer unabhängiger Variablen, ihrer Differential- und Integralrechnung sowie Differential- und Differenzengleichungen an. In jedem Fall gilt dabei den ökonomischen Anwendungen und Modellen besondere Aufmerksamkeit. Im Kapitel zur linearen Algebra werden Matrizen, Vektoren, Determinanten und lineare Gleichungssysteme behandelt. Dem folgt die Darstellung der Strukturen und Algorithmen der linearen Optimierung. Schließlich findet der Leser die grundlegenden Formeln zur deskriptiven Statistik (Datenanalyse, Verhältniszahlen, Bestandsund Zeitreihenanalyse ), zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgrößen und Verteilungen) und zur induktiven Statistik (Punktund Intervallschätzungen, Tests). Diese Formelsammlung entstand im Ergebnis langjähriger Lehrtätigkeit für Studierende der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultäten an den Technischen Universitäten Dresden und Chemnitz. Außerdem konnten wir dankenswerterweise auch auf Erfahrungen und Hinweise zahlreicher Kollegen zurückgreifen. Für die kritische Durchsicht von Teilen des Manuskripts möchten wir den Herren Dr. K. Eppler sowie Dipl.-Math. M. Richter danken. Unser Dank gilt außerdem Frau M. Schön herr sowie den Herren Dr. U. Würker und Dipl.-Math. (FH) J. Rudl, die wesentlich zur technischen Gestaltung des Manuskripts beitrugen. Dem Teubner-Verlag - insbesondere Herrn J. Weiß - danken wir für eine angenehme und konstruktive Zusammenarbeit. Schließlich sei betont, daß uns Hinweise und Bemerkungen zu dieser Formelsammlung stets willkommen sind. Chemnitz /Dresden, im Januar 1998 Bernd Luderer Volker Nollau Klaus Vetters

5 Inhalt Mathematische Symbole und Konstanten 9 Mengen und Aussagen Mengenbegriff, Relationen zwischen Mengen Operationen mit Mengen, Produktmenge und Abbildungen Aussagenlogik Zahlensysteme und ihre Arithmetik Natürliche, ganze, rationale, reelle Zahlen Rechnen mit reellen Zahlen.... Beträge, Fakultät und Binomialkoeffizienten. Gleichungen.... Ungleichungen, endliche Summen Potenzen und Wurzeln, Logarithmen Komplexe Zahlen Kombinatorik Permutationen, Variationen, Kombinationen. Folgen und Reihen Zahlenfolgen '" Funktionenfolgen. Unendliche Reihen Funktionenreihen, Potenzreihen Taylorreihen Finanzmathematik Einfache Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Rentenrechnung.. Tilgungsrechnung. Kursrechnung... Renditeberechnung Investitionsrechnung Abschreibungen... Betriebskostenberechnung im Immobilienwesen

6 Inhalt 7 Funktionen einer unabhängigen Variablen 38 Begriffe 38 Lineare Funktionen Quadratische Funktionen, Polynome 40 Gebrochen rationale Funktionen, Partialbruchzerlegung 41 Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen. 43 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 44 Arkusfunktionen.. 46 Ausgewählte ökonomische Funktionen Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen 49 Grenzwert einer Funktion 49 Stetigkeit.. 50 Differentiation 51 Ökonomische Interpretation der 1. Ableitung 53 Änderungsraten und Elastizitäten Höhere Ableitungen und Taylorentwicklung. 55 Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen mittels Ableitungen 57 Untersuchung ökonomischer Funktionen, Gewinnmaximierung. 58 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen 61 Unbestimmtes Integral. 61 Bestimmtes Integral 62 Tabellen unbestimmter Integrale 63 Uneigentliehe Integrale, Parameter integrale 67 Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung 68 Differentialgleichungen 69 Differentialgleichungen 1. Ordnung.. 69 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung. 70 Lineare Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 73 Differenzengleichungen 74 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung, ökonomische Modelle 74 Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung Ökonomische Modelle Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 78 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler 79 Grundbegriffe, Punktmengen des Raumes!Rn Grenzwert und Stetigkeit Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler 81 Totales (vollständiges) Differential.. 83 Extremwerte ohne und mit Nebenbedingungen 84 Methode der kleinsten Quadrate. 86 Fehlerfortpflanzung, ökonomische Anwendungen. 87

7 8 Inhalt Lineare Algebra Vektoren. Geraden- und Ebenengleichungen Matrizen... Determinanten Lineare Gleichungssysteme, Eliminationsverfahren von Gauß Cramersche Regel Austauschverfahren.... Inverse Matrix, Eigenwertaufgaben bei Matrizen Matrixmodelle Lineare Optimierung, Transportoptimierung Normalform einer linearen Optimierungsaufgabe Simplexverfahren.... Duales Simplexverfahren.... Erzeugung eines ersten Simplextableaus Dualität.... Transportoptimierung Deskriptive Statistik Grundbegriffe, univariate Datenanalyse Statistische Maßzahlen. Bivariate Datenanalyse. Ver häl tniszahlen Bestandsanalyse Zeitreihenanalyse Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Zufallsgrößen und ihre Verteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Zufällige Vektoren Induktive Statistik Stichprobe, Punktschätzungen Konfidenzschätzungen..... Statistische Tests. Signifikanztests bei Normalverteilung. Tafeln Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis