Holland/Holland. Mathematik im Betrieb

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1 Holland/Holland. Mathematik im Betrieb

2 HEINRICH HOLLAND/ DORIS HOLLAND Mathematik im Betrieb Praxisbezogene Einführung mit Beispielen 4., überarbeitete Auflage LEHRBUCH

3 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Holland, Helnrkh: Mathematik im Betrieb: praxisbezogene Einführung mit Beispielen I Holland/Holland. - 4., überarb. Aufl. - Wiesbaden: Gabler, 1996 ISBN DOI / NE: Holland, Doris: ISBN (ebook) 1. Auflage Auflage Auflage Auflage 1996 Springer Fachmedien Wiesbaden 1996 Ursprünglich erschienen bei Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Tb. Gabler GmbH, Wiesbaden Lektorat: Jutta Hauser-Fahr Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen. Übersetzungen. Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Höchste inhaltliche und technische Qualität unserer Produkte ist unser Ziel. Bei der Produktion und Auslieferung unserer Bücher wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw,in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

4 Vorwort Das vorliegende Buch deckt den Stoff der Vorlesung Wirtschaftsmathematik im Grundstudium einschließlich der Finanzmathematik ab. Es legt damit die Grundlagen, die im weiteren Verlaufdes Studiums benötigt werden. Die mathematischen Verfahren werden mit ihren Anwendungsmöglichkeiten in der betrieblichen Praxis dargestellt. Dabei wird bewußt weitestmöglich auf eine mathematisch-wissenschaftliche Fachsprache verzichtet. Nicht die mathematische Eleganz steht imvordergrund, sondern die praktische Umsetzung der Verfahren. Mathematische Beweise und Herleitungen sind an den Stellen enthalten, an denen sie zum Verständnis des Stoffes beitragen. Das Buch hat das Ziel, dem Leser durch diese pragmatische Darstellungsweise die Anwendungsmöglichkeiten der Mathematik nahezubringen. Übersichtlich strukturierte Schemata geben dabei eine Hilfestellung. Aus diesem Grund wird ein besonderer Wert darauf gelegt, in jedem Kapitel den Stoff anhand von Beispielaufgaben, die aus dem Bereich der Wirtschaft stammen, zu erläutern und zu vertiefen. Weitere Aufgaben mit Musterlösungen machen es möglich, den Stoff selbst zu erarbeiten. Sie können zur Selbstkontrolle und zur Prüfungsvorbereitung genutzt werden. Ergänzend haben wir eine Fallstudie in das Buch aufgenommen, die den behandelten Stoff anhand einer betriebswirtschaftliehen Unternehmenssituation wiederholt. Die Fallstudie zeigt die Verbindung zwischen der Wirtschaftsmathematik und der Betriebswirtschaftslehre auf und wird durch eine ausführliche Lösung im Anhang vervollständigt. Für die jetzt vorliegende vierte Auflage wurde das Kapitel Matrizenrechnung gründlich überarbeitet und um einige ökonomische Anwendungsmöglichkeiten erweitert. Doris und Heinrich Holland 5

5 Inhaltsverzeichnis Seite Mathematische Grundlagen 1.1 Zahlbegriffe 1.2 Potenzen 1.3 Wurzeln 1.4 Logarithmen 1.5 Exponentialgleichungen 1.6 Summenzeichen Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 2.1 Funktionsbegriff 2.2 Darstellungsformen 2.3 Umkehrfunktionen 2.4 Lineare Funktionen 2.5 Ökonomische lineare Funktionen 2.6 Nichtlineare Funktionen und ihre ökonomische Anwendung Problemstellung Parabeln Hyperbeln Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 3.1 Begriff 3.2 Analytische Darstellung 3.3 Tabellarische Darstellung 3.4 Graphische Darstellung Grundlagen Lineare Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen Nichtlineare Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen 3.5 Ökonomische Anwendung

6 Seite 4 Eigenschaften von Funktionen 4.1 Nullstellen, Extrema, Steigung, Krümmung, Symmetrie 4.2 Grenzwerte 4.3 Stetigkeit Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigenvariablen Problemstellung Die Steigung von Funktionen und der Differentialquotient Differenzierungsregeln Ableitung elementarer Funktionen Differentiation verknüpfter Funktionen Höhere Ableitungen Anwendungen der Differentialrechnung Extrema Steigung einer Funktion Krümmung einer Funktion Wendepunkte Kurvendiskussion Newtonsches Näherungsverfahren WirtschaftswissenschaftlieheAnwendungen der Differentialrechnung Bedeutung der Differentialrechnungfür die Wirtschaftswissenschaften Differentiation wichtiger wirtschaftlicher Funktionen Kostenfunktion Umsatzfunktion Gewinnfunktion Gewinnmaximierung Optimale Bestellmenge Elastizitäten Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Partielle erste Ableitung 6.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 6.3 Extremwertbestimmung 6.4 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen Problemstellung Variablensubstitution Multiplikatorregel nach Lagrange

7 Seite 7 Grundlagen der Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen Matrizenrechnung Bedeutung der Matrizenrechnung Der Begriffder Matrix Spezielle Matrizen Matrizenoperationen Gleichheit von Matrizen Transponierte von Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Skalarprodukt von Vektoren Multiplikation von Matrizen Inverse einer Matrix Input-Output-Analyse Lineare Gleichungssysteme Problemstellung und ökonomische Bedeutung Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise Lineare Abhängigkeit von Vektoren Rang einer Matrix Lösung linearer Gleichungssysteme Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Lineare Optimierung Ungleichungen Graphische Methode der linearen Optimierung Analytische Methode der linearen Optimierung Simplex-Methode Verkürztes Simplex-Tableau 233 9

8 Seite 10 Finanzmathematik 10.1 Grundlagen der Finanzmathematik Folgen Reihen Grenzwerte von Folgen Grenzwerte von Reihen 10.2 Finanzmathematische Verfahren Abschreibungen Zinsrechnung Begriffe der Zinsrechnung Einfache Verzinsung Zinseszinsrechnung Unterjährige Verzinsung Stetige Verzinsung Rentenrechnung Tilgungsrechnung Investitionsrechnung Kombinatorik 11.1 Grundlagen 11.2 Permutation 11.3 Kombinationen Fallstudie Lösungen der Übungsaufgaben Lösungen zur Fallstudie Stichwortverzeichnis