Aufgabensammlung zur Einführung in die Statistik

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1 JQrgen Lehn, Helmut Wegmann, Stefan Rettig Aufgabensammlung zur Einführung in die Statistik 3. überarbeitete Auflage Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

2 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz for diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich. Prof. Dr. rer. nat. JOrgen Lehn Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitäten Freiburg und Karlsruhe. Wiss. Assistent an den Universitäten Karlsruhe und Regensburg Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in Karlsruhe Professor for Mathematik an der Universität Marburg, seit 1979 an der Technischen Hochschule Darmstadt. Prof. Dr. rer. nato Helmut Wegmann Geboren 1938 in Worrns. Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Mainz und TObingen. Wiss. Assistent an den Universitäten Mainz und Stuttgart Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in Stuttgart. Seit 1970 Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule Darmstadt. Dr. rer. nat. Stefan Rettig Geboren 1959 in HeppenheimfBergstraße. Studium der Mathematik und Informatik an dertechnischen Hochschule Darmstadt. Wiss. Mitarbeiter am Fachbereich Mathematik und am Zentrum für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt Diplom in Darmstadt, 1990 Promotion in Darmstadt wiss. Assistent am Fachbereich Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt Leiter der Abteilung Data Management und Statistical Operations eines internationalen Dienstleistungsunternehmens im Bereich der Arzneimittelentwickung. Seit 1997 Geschäftsführer des Unternehmens. 1. Auflage Auflage Auflage August 2001 Alle Rechte vorbehalten C Springer Fachmedien Wiesbaden 2001 Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart Leipzig' Wiesbaden 2001 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere for Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, ISBN ISBN (ebook) DOI /

3 Vorwort Statistische Methoden werden heute in allen empirischen Wissenschaften angewandt. Die mathematische Begründung statistischer Verfahren ist dabei unverzichtbar. Sie allein eröffnet dem Lernenden jedoch nicht das Verständnis für statistische Schlussweisen, das in zunehmendem Maße auch in den verschiedensten Bereichen des täglichen Lebens benötigt wird. Statistik kann nicht als mathematische Theorie, sondern nur vor dem Hintergrund konkreter Anwendungssituationen erlernt werden. Deshalb kommt den Beispielen und praktischen AufgabensteIlungen besondere Bedeutung zu. Im Studientext "Einführung in die Statistik" von Lehn und Wegmann wurde bereits versucht, mit Hilfe von zahlreichen Beispielen die Theorie zu veranschaulichen, in stochastische Denkweisen einzuführen und Anwendungsmöglichkeiten für statistische Verfahren aufzuzeigen. Mit der vorliegenden Aufgabensammlung, die sich in ihrem Aufbau am Studienbuch orientiert, werden die gleichen Ziele verfolgt. Sie enthält zunächst ein Glossar, in dem entsprechend der Stoffauswahl im Studienbuch die statistischen Verfahren und die zur Lösung der Aufgaben benötigten Formeln zusammengestellt sind. Es folgt der Katalog der Aufgaben, gegliedert nach bestimmten Themenkreisen. Aufgaben ohne vollstä.ndige und ausführliche Lösungen, die vom Lernenden nachvollzogen werden können, erfüllen nur sehr bedingt ihren Zweck, das Verständnis für die Anwendung statistischer Schlussweisen zu wecken. Deshalb enthä.lt der dritte Teil der Aufgabensammlung zu jeder Aufgabe eine detailliert ausgearbeitete Lösung mit Verweisen auf das Glossar. Der vierte Teil besteht aus Tabellen, die bei der Bearbeitung der Aufgaben Verwendung finden. Die Aufgaben dieser Sammlung wurden ausgewählt unter den ca. 500 Übungs-, Klausurund Prüfungsaufgaben, die in den letzten 10 Jahren von den wissenschaftlichen Mitarbeitern und Professoren der Arbeitsgruppe Stochastik und Operations Research im Fachbereich Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt bei der Ausbildung von Mathematikern, Informatikern, Wirtschaftswissenschaftlern, Naturwissenschaftlern und Ingenieuren verwendet wurden. Bei der Auswahl wurde angestrebt, alle Aufgaben auszusondern, die in der gleichen oder ähnlicher Form in den gängigen Lehrbüchern zu finden sind. Wenn dies nicht immer gelungen ist, liegt es auch daran, dass man auf gewisse Standardaufgaben nicht verzichten kann. In der vorliegenden dritten Auflage unserer Sammlung von Übungs- und Prüfungsaufgaben zur Einführung in die Statistik wurden gegenüber der zweiten Auflage Korrekturen vorgenommen und Verbesserungsvorschläge aufgegriffen, die uns von Darmstädter Studierenden und Fachkollegen gemacht wurden. Unser Dank gilt allen, die sich bei der Prüfungsvorbereitung oder der Durchführung von Lehrveranstaltungen mit dem Text intensiv befassten und uns Hinweise gaben. Darmstadt, im Juli 2001 J. Lehn, H. Wegmann, S. Rettig

4 Inhaltsverzeichnis 1 Glossar 5 l.l Beschreibende Statistik Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie WahrscheinlichkeitsrKume Zufallsvariablen Kennzahlen von Verteilungen Beispiele von Verteilungen Mehrdimensionale Zufallsvariablen Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianz Normalverteilte Zufallsvariablen Gesetze der großen Zahlen und Grenzwertsätze 21 1.:3 Schließende Statistik Schätzverfahren Konfidenzintervalle Testvelfahren Tests bei Normalverteilungsannahmen Anpassungstests U nabhängigkei tstests Verteilungsunabhängige Tests Einfache Varianzanalyse Einfache lineare Regression 40 2 Aufgaben Beschreibende Statistik Laplace-Wahrscheinlichkei ten Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 54

5 3 2.4 Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Erwartungswert und Varianz Mehrdimensionale Zufallsvariablen Normalverteilung und ihre Anwendungen Grenzwertsätze Schätzer und ihre Eigenschaften Maximum-Likelihood-Methode Konfidenzintervalle Tests bei Normalverteilungsannahmen Anpassungstests Unabhängigkeitstests Verteilungsunabhängige Tests Einfache Varianzanalyse Einfache lineare Regression Lösungen Beschreibende Statistik Lapla.ce-Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Zufalls variablen und ihre Verteilungen Erwartungswert und Varianz Mehrdimensionale Zufallsvariablen Normalverteilung und ihre Anwendungen Grenzwertsätze Schätzer und ihre Eigenschaften Maximum-Likelihood-Methode Konfidenzintervalle Tests bei Normalverteilungsannahmen 195

6 -I Inhaltsverzeichnis :3.13 Anpassungstests :3.14 Unabhängigkeitstests 212 :3.15 Verteilungsunabhängige Tests 215 :3.16 Einfache Varianzanalyse :3.17 Einfache lineare Regression Tabellen Verteilungsfunktion c){x) der N{O,l)-Verteilung Quantile U p der N(O,l )-Verteilung Quantile t... P der t..-verteilungen Quantile X~;p der x~-verteilungen L5 Quantile Fm,n;p der Fm...-Verteilungen Kolmogoroffsche Verteilungsfunktion K{y) Verteilungsfunktion der B(n, t)-verteilung Verteilungsfunktion der Testgröße beim U-Test Verteilungsfunktion der Testgröße beim Run-Test. 254