Inhaltsverzeichnis. Teil I Grundlagen

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1 Inhaltsverzeichnis Teil I Grundlagen 1 Mengenlehre und Aussagenlogik Vorbemerkung Mengen Mengenoperationen Mengengesetze Zahlenmengen Aussagenlogik Logikoperatoren Regeln GesetzederLogik Fazit Funktionen Vorbemerkung Funktionsbegriff Funktionen in Scilab Besondere mathematische Funktionen Summenzeichen Produktzeichen Betragsfunktion Ganzzahlfunktion Potenz-undWurzelfunktion Exponentialfunktionen Logarithmusfunktion Anwendung in Scilab Fazit... 42

2 X Inhaltsverzeichnis 3 Kombinatorik Vorbemerkung Fakultät und Binomialkoeffizient Fakultät Binomialkoeffizient Definition des Binomialkoeffizienten in Scilab Permutation Permutation ohne Wiederholung PermutationmitWiederholung Variation Variation ohne Wiederholung VariationmitWiederholung Kombination Kombination ohne Wiederholung KombinationmitWiederholung Fazit Teil II Lineare Algebra 4 Vektoren Vorbemerkung EigenschaftenvonVektoren OperationenmitVektoren Addition (Subtraktion) von Vektoren SkalaresVielfacheseinesVektors GeometrischeDarstellungvonVektoren Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit von Vektoren LinearunabhängigeVektorenundBasisvektoren Skalarprodukt (inneres Produkt) Vektoren in Scilab Fazit Matrizen Vorbemerkung EinfacheMatrizen SpezielleMatrizen OperationenmitMatrizen Addition (Subtraktion) von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem skalaren Faktor Multiplikation von Matrizen Ökonomische Anwendung Matrizenrechnung mit Scilab Fazit... 79

3 Inhaltsverzeichnis XI 6 Lineare Gleichungssysteme Vorbemerkung Inhomogene lineare Gleichungssysteme Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems Linear abhängige Gleichungen im Gleichungssystem Lösen eines Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus Lösen eines Gleichungssystems mit Scilab RangeinerMatrix EigenschaftdesRangs Rang und lineares Gleichungssystem Berechnung des Rangs mit Scilab InverseeinerMatrix EigenschaftderInversen Berechnung der Inversen Berechnung von Inversen mit Scilab Ökonomische Anwendung: Input-Output-Analyse KlassischeAnalyse Preisanalyse Lösen linearer Gleichungssysteme mit Scilab DeterminanteeinerMatrix Berechnung von Determinanten EinigeEigenschaftenvonDeterminanten Berechnung von Determinanten in Scilab Homogene Gleichungssysteme Eigenwerte Eigenvektoren EinigeEigenschaftenvonEigenwerten ÄhnlicheMatrizen Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren mit Scilab Fazit Lineare Optimierung Vorbemerkung Formulierung der Grundaufgabe GrafischeMaximierung Matrix-FormulierungderlinearenOptimierung Simplex-Methode für die Maximierung InterpretationdesSimplex-Endtableaus Sonderfälle im Simplex-Algorithmus UnbeschränkteLösung Degeneration MehrdeutigeLösung Erweiterungen des Simplex-Algorithmus Berücksichtigung von Größer-gleich-Beschränkungen

4 XII Inhaltsverzeichnis Berücksichtigung von Gleichungen Ein Minimierungsproblem GrafischeMinimierung Simplex-Methode für die Minimierung Dualitätstheorem der linearen Optimierung Lineare Optimierung mit Scilab Fazit Teil III Analysis 8 Rationale Funktionen, Folgen und Reihen Vorbemerkung Ganz-rationaleFunktionen Partialdivision und Linearfaktorzerlegung Nullstellenberechnung mit der Regula falsi Nullstellenberechnung mit Scilab Gebrochen-rationaleFunktionen Folgen ArithmetischeFolge GeometrischeFolge Reihen ArithmetischeReihe GeometrischeReihe Fazit Grundlagen der Finanzmathematik Vorbemerkung Tageszählkonventionen Lineare Zinsrechnung Exponentielle Zinsrechnung Nachschüssige exponentielle Verzinsung Vorschüssige exponentielle Verzinsung GemischteVerzinsung UnterjährigeperiodischeVerzinsung Rentenrechnung Rentenrechnung mit linearer Verzinsung Rentenrechnung mit exponentieller Verzinsung Besondere Renten WachsendeRente EwigeRente Kurs- und Renditeberechnung eines Wertpapiers Kursberechnung Renditeberechnung für ein Wertpapier Berechnung einer Wertpapierrendite mit Scilab

5 Inhaltsverzeichnis XIII Zinssatzstruktur Barwertberechnung bei nicht-flacher Zinssatzstruktur Berechnung von Nullkuponrenditen mit Scilab Duration Berechnung der Duration mit Scilab Annuitätenrechnung Annuität Restschuld Tilgungsrate Anfänglicher Tilgungssatz Tilgungsplan Berechnung eines Tilgungsplans mit Scilab EffektiverKreditzinssatz Berechnung des effektiven Kreditzinssatzes mit Scilab Mittlere Kreditlaufzeit MargenbarwerteinesKredits Berechnung des Margenbartwerts mit Scilab Investitionsrechnung Kapitalwertmethode Methode des internen Zinssatzes Berechnungen des Kapitalwerts und des internen Zinssatzes mit Scilab Probleme der Investitionsrechnung Investitionsrechnung bei nicht-flacher Zinssatzstruktur Fazit Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variable Vorbemerkung GrenzwertundStetigkeiteinerFunktion Differentialquotient AbleitungeinerPotenzfunktion Ableitung der Exponentialfunktion AbleitungdernatürlichenLogarithmusfunktion AbleitungderSinus-undKosinusfunktion Differentiation von verknüpften Funktionen Konstant-Faktor-Regel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel ErgänzendeDifferentiationstechniken AbleitungderUmkehrfunktion AbleitungeinerlogarithmiertenFunktion Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis a

6 XIV Inhaltsverzeichnis 10.6 Höhere Ableitungen und Extremwerte Newton-Verfahren Ökonomische Anwendung Ertragsfunktion Beziehung zwischen Grenzerlös und Preis Kostenfunktion Individuelle Angebotsplanung unter vollkommener Konkurrenz Angebotsverhalten eines Monopolisten Elastizitäten Fazit Funktionen und Differentialrechnung mit zwei Variablen Vorbemerkung FunktionenmitzweiVariablen Isoquanten Nullstellen DifferenzierenvonFunktionenmitzweiVariablen PartiellesDifferential Partielles Differential höherer Ordnung TotalesDifferential DifferentiationimpliziterFunktionen Ökonomische Anwendungen Extremwertbestimmung Extremwertbestimmung unter Nebenbedingung: Lagrange-Funktion Notwendige Bedingung für einen Extremwert Lagrange-Multiplikator Hinreichende Bedingung für ein Maximum bzw. Minimum Ökonomische Anwendung: Minimalkostenkombination Ökonomische Anwendung: Portfolio-Theorie nach Markowitz Fazit Grundlagen der Integralrechnung Vorbemerkung Das unbestimmte Integral IntegralefürelementareFunktionen Integrationsregeln Ökonomische Anwendung DasbestimmteIntegral Hauptsatz der Integralrechnung EigenschaftenbestimmterIntegrale BeispielefürbestimmteIntegrale Ökonomische Anwendung Integralberechnung mit Scilab

7 Inhaltsverzeichnis XV 12.4 Uneigentliche Integrale Ökonomische Anwendung Statistische Anwendung Fazit Teil IV Anhang Eine kurze Einführung in Scilab Lösungen zu den Übungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

8

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