Mathematik für Informatik und Biolnformatik

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1 M.P.H. Wolff P. Hauck W. Küchlin Mathematik für Informatik und Biolnformatik Springer

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung und Überblick Ziele und Entstehung des Buchs Wozu dient die Mathematik in der Informatik? Unsere mathematische Auswahl Grundlagen Einführung in das mathematische Argumentieren Mengen Einführung Mengen und Mengenrelationen Kartesisches Produkt und Abbildungen Potenzmenge. Verallgemeinerung der Mengenoperationen Endliche. abzählbare und überabzählbare Mengen Relationen Natürliche Zahlen und Kombinatorik Die natürlichen Zahlen und das Induktionsprinzip Einführung in die Kombinatorik Einführung in die Graphentheone Begriffe und einfache Ergebnisse Eulersche Graphen Bäume Formale Aussagenlogik Aufbau der Sprache... 61

3 XI1 Inhaltsverzeichnis Semantik von Ausdrücken Aussagenlogische Äquivalenz Logische Folgerung Der Resolutionskalkül Einführung in die elementare Zahlentheorie Teilbarkeit und Kongruenzen Primfaktorzerlegung Einführung in die Algebra Halbgruppen. Monoide und Gruppen Halbgruppen Monoide Gnippen Die Gruppenordnung und der Satz von Lagrange Faktorgruppen und Homomorphismen Zyklische Gruppen Direktes Produkt von Monoiden und Gruppen Ringe und Körper Grundbegriffe Polynomringe Homomorphismen und Unterringe Faktorringe und Ideale Die Ringe Z und Zn Teilbarkeitslehre in Polynomringen Teilbarkeit in kommutativen Ringen Teilbarkeit in Polynomringen Ein Repräsentantensystem für K[z]/fK[z] Größter gemeinsamer Teiler in Polynomringen Primelemente in Ringen Primfaktorzerlegung in Polynomringen

4 Inhaltsverzeichnis XI Erste Anwendungen Codes Codierung mit Polynomen Zyklische Codes Ein öffentliches Verschlüsselungsverfahren Boolesche Algebren Definition und einfache Eigenschaften Boolescher Algebren 139 Die Boolesche Algebra der Aussagenlogik Darstellung endlicher Boolescher Algebren n-stellige Boolesche Funktionen und Polynomfunktionen Elementare Grundlagen der Analysis Der Körper der reellen Zahlen Die Ordnung auf IR Das Vollständigkeitsaxiom für R Axiomatische Beschreibung von IR Obere und untere Grenze von Mengen Der Körper der komplexen Zahlen Folgen und Konvergenz Typen von Folgen, Konvergenz Monotone Folgen Rechenregeln für konvergente Folgen Groß 0 und klein o von Folgen Teilfolgen einer Folge Cauchys Konvergenzkriterium Unendliche Reihen Allgemeine unendliche Reihen Absolut konvergente Reihen Potenzreihen Komplexe Zahlenfolgen und Reihen

5 XIV Inhaltsverzeichnis 6. Reelle Funktionen einer Veränderlichen Reelle Funktionen und ihre Erzeugung Einfache Regeln zur Bildung von Funktionen Punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz Grenzwert von Funktionswerten Stetigkeit Der Begriff Stetigkeit und Nachweis der Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Exponentialfunktion und Logarithmus Differential- und Integralrechnung Die Ableitung (Differentiation) einer Funktion Die grundlegende Idee der Ableitung Einfache Ableitungsregeln Höhere Ableitungen Das bestimmte Integral Das Integral von Treppenfunktionen Das Integral von Regelfunktionen Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion und Ableitung Vertauschung von Differentiation und Konvergenz Ableitungs- und Integrationsformeln Einige elementare Ableitungsfomeln Die Winkelfunktionen Die Hyperbelfunktionen Tabelle der Ableitungs- und Integrationsfomeln Integrationstechniken Differentiation und Integration komplexwertiger Funktionen 233 Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung Der Satz von Rolle

6 Inhaltsverzeichnis XV Die Mittelwertsätze Grenzwertbestimmungen Der Entwicklungssatz von Taylor Der allgemeine Entwicklungssatz Lokale Extremwerte Die Taylorreihe Integrale über offene und halboffene Intervalle Anwendungen Periodische Funktionen und Fourierreihen Periodische Funktionen und Founerreihen Fouriertransfomation Skalare gewöhnliche Differentialgleichungen Evolutionsgleichungen Die lineare Schwingungsgleichung Vektorräume Vektorräume Lineare Unabhängigkeit. Basis. Dimension Lineare Abhängigkeit. lineare Unabhängigkeit Basis und Dimension Dimension von Unterräumen Endliche Körper Vektorräume mit Skalarprodukt Euklidische Vektorräume Norm und Abstand Winkel und Orthogonalität Das Vektorprodukt in R Skalarprodukte auf Vektorräumen über C Lineare Codes

7 XVI Inhaltsverzeichnis 10. Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen Matrizen Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung Summen und skalare Vielfache von Matrizen Hintereinanderausführung linearer Abbildungen und Produkt von Matrizen Lineare Abbildungen und Koordinatenvektoren Matrizen und Basiswechsel Rang einer Matrix Eine Anwendung: Diskrete Fouriertransformation Determinanten Eigenwerte linearer Abbildungen Abbildungen auf Euklidischen Vektorräumen Orthogonale Abbildungen Vektorraum-basierte Informationssuche Symmetrische Abbildungen und Matrizen Lineare Gleichungssysteme und lineare Rekursionen Lineare Gleichungssysteme Allgemeine Theorie Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme Berechnung der Inversen einer invertierbaren Matrix Lineare Rekursionen Affine Geometrie Affine Räume Allgemeine affine Räume Der affine Raum A(V) Euklidische affine Räume

8 Inhaltsverzeichnis XVII Geometrische Anwendungen in und Affine Abbildungen Eigenschaften affiner Abbildungen Kongruenzabbildungen auf Euklidischen affinen Räumen Funktionen mehrerer Veränderlicher Folgen in IWP und Folgen von Matrizen Vektor- und Matrixnormen Folgen von Vektoren und Matrizen Spezielle Klassen von Mengen Grenzwerte von Funktionswerten, Stetigkeit Typen von Funktionen Grenzwerte Stetigkeit Anwendungen in der Numerik Der Fixpunktsatz von Banach Interpolation Mehrdimensionale Differentialrechnung Kurven imr Differentiation von Funktionen in mehreren Variablen Partielle Ableitungen Totale Ableitung Der Satz von Taylor, Extremwertbestimmungen Der Umkehrsatz und seine Anwendungen Der Umkehrsatz Implizite Funktionen Extrema unter Nebenbedingungen

9 XVIII Inhaltsverzeichnis 15. Mehrdimensionale Integration Das mehrdimensionale Integral über kompakte Mengen Definition des Integrals Transformation von Integralen Integrale über IWP Einführung in die Stochastik Einleitung Drei Probleme aus der Informatik Wahrscheinlichkeitsräume Zufallsvariablen Einführung Verteilung einer Zufallsvariablen Die wichtigsten diskreten Verteilungen Die wichtigsten stetigen Verteilungen Definition von Erwartungswert und Varianz Berechnung von Erwartungswert und Varianz Verteilungen mit stetiger Dichte Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahl Zentraler Grenzwertsatz Verteilung seltener Ereignisse Stochastische Prozesse Einleitung Der Poisson-Prozess Markoff-Ketten Literaturverzeichnis Index