Wolff Hauck Küchlin Mathematik für Informatik und BioInformatik

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1 Wolff Hauck Küchlin Mathematik für Informatik und BioInformatik

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3 M.P.H. Wolff P. Hauck W. Küchlin Mathematik für Informatik und BioInformatik 123

4 Professor Dr. Manfred Wolff Universität Tübingen Mathematisches Institut Arbeitsbereich Mathematik in den Naturwissenschaften Auf der Morgenstelle Tübingen DEUTSCHLAND Professor Dr. Peter Hauck Universität Tübingen Wilhelm-Schickard-Institut für Informatik Arbeitsbereich Diskrete Mathematik Sand Tübingen DEUTSCHLAND Professor Dr. Wolfgang Küchlin Universität Tübingen Wilhelm-Schickard-Institut für Informatik Arbeitsbereich Symbolisches Rechnen Sand Tübingen DEUTSCHLAND Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. ISBN Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funk-sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media www. springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Satz: Datenerstellung durch die Autoren unter Verwendung eines Springer L A T E X Makropakets Druck- und Bindearbeiten: Fa. Strauss, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem Papier 44/3142AT

5 Unseren Familien gewidmet MW, PH, WK

6 Vorwort Die Informatik ist erwachsen geworden und benötigt ihre eigene Mathematik. Dieses Buch enthält eine speziell auf das Informatik-Studium an Universitäten und Technischen Hochschulen zugeschnittene Einführung, die im Informatik- und BioInformatik-Studium der Universität Tübingen die ersten 3 4 Semester abdeckt. Welche Mathematik benötigt die Informatik? Die traditionell aus dem Mathematikund Physikstudium übernommene Analysis und Lineare Algebra sind für die Modellierung und Berechnung der physikalischen Natur wichtig. Grundlegende Kenntnisse in diesen Gebieten sind auch für die Informatik unabdingbar, da die entsprechenden Rechenverfahren heute natürlich auf Computern ausgeführt werden. Überall dort, wo zufällige Erscheinungen modelliert werden, benötigt man die Stochastik. Dies ist insbesondere in der BioInformatik der Fall, etwa wenn es um das Auftreten von Mutationen geht. Für die gesamte Informatik ist die Diskrete Mathematik von besonderer Bedeutung, da eben der Computer selbst eine diskret (also in genau unterscheidbaren Zuständen) arbeitende Maschine ist. Diskrete Mathematik, zu der Gebiete wie Graphentheorie, Kombinatorik und Teile der abstrakten Algebra gehören, sowie die mathematische Logik stellen die Grundlagen für die Konstruktion der Sprachen und Datenstrukturen der Informatik zur Verfügung. Insbesondere die mathematische Logik geht in alle Teilgebiete der Informatik ein, also in Theorie, Technik, Software-Konstruktion und Anwendungen. Wie soll die Mathematik für Informatiker vermittelt werden? Natürlich mit Hilfe des Computers und anhand von Beispielen aus der Informatik. Unser Gesamtkonzept ruht neben der Vorlesung auf den drei Säulen: Lehrbuch, Visualisierungen und Übungen im Internet, Verfilmung der Vorlesung im Internet. Begleitend zu diesem Buch existiert die Web-Site min.informatik.uni-tuebingen.de mit interaktiven Visualisierungen mathematischer Gegenstände und Verfahren, wie z. B. Graphen von Funktionen, Grenzwertprozessen oder Interpolationsverfahren. Durch den Einsatz dynamischer Programme statt statischer Textseiten wird Mathematik interaktiv erfahrbar, da man die entsprechenden Programme nun auch an selbstgewählten Beispielen ausprobieren kann. Außerdem bekommen algorithmische Verfahren ein größeres Gewicht, da sie direkt zu Programmen führen, mit denen auch größere und realistischere Beispiele gerechnet werden können, die von Hand schlicht nicht zu bewältigen wären. Zusätzlich werden auf der Web-Site im Rahmen des Tübinger Internet Multi-Media Servers TIMMS Vorlesungsmitschnitte als digitale Video-Ströme bereit gestellt. Die Videos sind mit Schlagworten versehen, so dass man gezielt nach Themenbereichen suchen und kompakte Ausschnitte ansehen kann.

7 VIII Vorwort Im Buch schlägt sich unser Konzept einer Mathematik für Informatik und Bio- Informatik in vielerlei Hinsicht nieder, so z. B. durch: Motivationen aus der Informatik, Anwendungsbeispiele aus der Informatik, Angabe konkreter Algorithmen in Pseudocode, Rechenbeispiele zu den Algorithmen, Querverweise auf Implementierungen in einem Lehrbuch der Informatik [21], Verweise auf die begleitenden Applets im Internet. Mathematisches Denken und Beweistechniken üben wir gleich zu Beginn dieses Buches explizit im Rahmen der mathematischen Logik und der Diskreten Mathematik ein. Wir versuchen die wesentlichen mathematischen Ideen deutlich zu machen, die zum Verständnis des Stoffs notwendig sind und verzichten dann häufig auf Details der Beweise. Das Layout ist so gestaltet, dass die wichtigsten Begriffe und Sätze besonders hervorgehoben sind. Beweise und anderes, was beim ersten Lesen nicht unbedingt sofort intensiv durchgearbeitet werden muss, sind kleiner gedruckt. Generell stehen Übungsaufgaben sofort an den Stellen, wo sie sinnvoll zum besseren Verständnis des Textes beitragen und nicht erst am Ende eines Abschnittes oder Kapitels. Zahlreiche Beispiele im Text und die begleitenden Applets im Internet fördern das Verständnis wesentlich. Insgesamt eröffnet sich damit für die Lernenden die völlig neuartige Möglichkeit, ein Thema im Buch zu studieren, dazu den entsprechenden Vorlesungsausschnitt eines der Autoren anzusehen und im Internet interaktiv Visualisierungen und Übungen zu dem Thema zu nutzen. Dies dürfte insbesondere für Studierende von Nutzen sein, die durch Überschneidungen im Stundenplan oder durch eine berufliche Tätigkeit gelegentlich Vorlesungen versäumen. Hinweis für Dozenten Dieses Lehrbuch eignet sich zur Verwendung mit jeder Standardvorlesung der Informatik in den ersten 3 4 Semestern. Im ersten Studienjahr ersetzt unsere Mathematik für Informatik und BioInformatik die traditionellen parallel laufenden Vorlesungen Analysis und Lineare Algebra. Dadurch wird die Belastung durch die Mathematik reduziert und das Gewicht des Studiums kann stärker auf die Informatik verlagert werden. Eine ausführliche Diskussion findet sich in Kapitel 1. Danksagung Dieses Buch entstand aus langjährigen Bemühungen, die für die Informatik wesentlichen Gebiete der Mathematik zu identifizieren, in ihrer Bedeutung einzuordnen und in einer für Informatiker angemessenen Weise zu präsentieren. Wir sind allen

8 Vorwort IX zu Dank verpflichtet, die uns hierbei in irgendeiner Form geholfen haben, auch wenn wir sie nicht alle namentlich nennen können. Einer der Autoren (PH) hat als Leiter des Deutschen Instituts für Fernstudienforschung (DIFF) langjährige Erfahrung in der Computer-basierten Lehre. Ein anderer Autor (WK) hat bereits 1985 auf Anregung von E. Engeler und unter Anleitung von U. Stammbach an der ETH Zürich Visualisierungen mathematischer Gegenstände mit dem Computer für die Vorlesung Analysis für Ingenieure entwickelt; der Erstautor (MW) hat ähnliche Vorarbeiten für die Mathematik für Physiker entworfen. Mitte der 1990er Jahre wurden diese Vorarbeiten (von MW und WK) wieder aufgegriffen mit dem Ziel, die Mathematik mit Computerhilfe leichter studierbar zu machen. Das Konzept wurde 1995 vom Stifterverband für die deutsche Wissenschaft als modellhafte Initiative zur Studienreform ausgezeichnet, mit Hilfe des Computer-Algebra Systems Maple verwirklicht und als Buch dokumentiert [30]. In der Folge wurde mit Förderung des Landes Baden-Württemberg im Teilprojekt Mathematik für BioInformatiker des Forschungsverbundes Multi-Media Bio- Informatik (innerhalb der Landes-Initiative Virtuelle Hochschule ) ein Grundstock neuer Internet-basierter Visualisierungen mit Java Applets hergestellt. Die Applets laufen nun in gängigen Internet-Browsern ab, und eine Installation von Spezialsoftware erübrigt sich deshalb. Die TIMMS Software, die die Verfilmung der Vorlesung ermöglicht, wurde ebenfalls in dieser Landesinitiative gefördert. Von 2003 bis 2005 wird die Weiterentwicklung und Vervollständigung der Applets sowie die Verfilmung der Vorlesung im Projekt Mathematik für Informatik (MIN) innerhalb der Programmlinie Modularisisierung im Bündnis für Lehre durch das Land Baden-Württemberg erneut gefördert. Wir danken Herrn Prof. Dr. Kaletta vom ZDV für die Verfilmung im Rahmen des Projekts MIN, sowie Herrn Prof. Dr. Zell für die Koordination des Forschungsverbundes Multi-Media BioInformatik. Herr Dr. D. Bühler, Herr Dr. C. Sinz, Frau C. Chauvin und Herr M. Großmann vom Arbeitsbereich Symbolisches Rechnen des Wilhelm-Schickard-Instituts für Informatik haben den MIN Web-Server aufgebaut. Eine Vielzahl weiterer Autoren waren und sind mit der Erstellung von Applets beschäftigt. Für die Hilfe bei biologischen Fragen danken wir Frau P. Reinhard-Hauck. Die Erstellung des Buchs selbst wäre für uns ohne die Satzsysteme TEX und L A TEX unmöglich gewesen, die selbst ein schönes Beispiel für die Verbindung von Mathematik und Informatik darstellen. Für ihre Beiträge zur Erfassung des Textes, zur Erstellung von Bildern und Diagrammen, zur Endredaktion und zur Klärung kniffliger L A TEX-Fragen danken wir ganz besonders Frau E.-M. Dieringer, Herrn M. Geyer, Herrn M. Hauck und Frau M. Rümmele. Ohne ihre freundliche und engagierte Unterstützung wäre es nicht gegangen. Tübingen, im März 2004 Manfred Wolff Peter Hauck Wolfgang Küchlin

9 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung und Überblick Ziele und Entstehung des Buchs WozudientdieMathematikinderInformatik? Unsere mathematische Auswahl Grundlagen Einführung in das mathematische Argumentieren Mengen Einführung Mengen und Mengenrelationen Kartesisches Produkt und Abbildungen Potenzmenge, Verallgemeinerung der Mengenoperationen Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen Relationen NatürlicheZahlenundKombinatorik Die natürlichen Zahlen und das Induktionsprinzip Einführung in die Kombinatorik EinführungindieGraphentheorie Begriffe und einfache Ergebnisse Eulersche Graphen Bäume FormaleAussagenlogik Aufbau der Sprache... 61

10 XII Inhaltsverzeichnis Semantik von Ausdrücken Aussagenlogische Äquivalenz Logische Folgerung Der Resolutionskalkül Einführung in die elementare Zahlentheorie Teilbarkeit und Kongruenzen Primfaktorzerlegung Einführung in die Algebra Halbgruppen, Monoide und Gruppen Halbgruppen Monoide Gruppen Die Gruppenordnung und der Satz von Lagrange Faktorgruppen und Homomorphismen Zyklische Gruppen Direktes Produkt von Monoiden und Gruppen RingeundKörper Grundbegriffe Polynomringe Homomorphismen und Unterringe Faktorringe und Ideale Die Ringe Z und Z n Teilbarkeitslehre in Polynomringen Teilbarkeit in kommutativen Ringen Teilbarkeit in Polynomringen Ein Repräsentantensystem für K[x]/fK[x] Größter gemeinsamer Teiler in Polynomringen Primelemente in Ringen Primfaktorzerlegung in Polynomringen

11 Inhaltsverzeichnis XIII 4.4 Erste Anwendungen Codes Codierung mit Polynomen Zyklische Codes Ein öffentliches Verschlüsselungsverfahren BoolescheAlgebren Definition und einfache Eigenschaften Boolescher Algebren Die Boolesche Algebra der Aussagenlogik Darstellung endlicher Boolescher Algebren n-stellige Boolesche Funktionen und Polynomfunktionen Elementare Grundlagen der Analysis DerKörperderreellenZahlen Die Ordnung auf R Das Vollständigkeitsaxiom für R Axiomatische Beschreibung von R Obere und untere Grenze von Mengen DerKörperderkomplexenZahlen FolgenundKonvergenz Typen von Folgen, Konvergenz Monotone Folgen Rechenregeln für konvergente Folgen Groß O und klein o von Folgen Teilfolgen einer Folge Cauchys Konvergenzkriterium UnendlicheReihen Allgemeine unendliche Reihen Absolut konvergente Reihen Potenzreihen KomplexeZahlenfolgenundReihen...179

12 XIV Inhaltsverzeichnis 6. Reelle Funktionen einer Veränderlichen Reelle Funktionen und ihre Erzeugung Einfache Regeln zur Bildung von Funktionen Punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz GrenzwertvonFunktionswerten Stetigkeit Der Begriff Stetigkeit und Nachweis der Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Exponentialfunktion und Logarithmus Differential- und Integralrechnung DieAbleitung(Differentiation)einerFunktion Die grundlegende Idee der Ableitung Einfache Ableitungsregeln Höhere Ableitungen Das bestimmte Integral Das Integral von Treppenfunktionen Das Integral von Regelfunktionen Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion und Ableitung Vertauschung von Differentiation und Konvergenz Ableitungs- und Integrationsformeln Einige elementare Ableitungsformeln Die Winkelfunktionen Die Hyperbelfunktionen Tabelle der Ableitungs- und Integrationsformeln Integrationstechniken Differentiation und Integration komplexwertiger Funktionen Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung Der Satz von Rolle

13 Inhaltsverzeichnis XV Die Mittelwertsätze Grenzwertbestimmungen DerEntwicklungssatzvonTaylor Der allgemeine Entwicklungssatz Lokale Extremwerte Die Taylorreihe IntegraleüberoffeneundhalboffeneIntervalle Anwendungen PeriodischeFunktionenundFourierreihen Periodische Funktionen und Fourierreihen Fouriertransformation Skalare gewöhnliche Differentialgleichungen Evolutionsgleichungen Die lineare Schwingungsgleichung Vektorräume Vektorräume Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit Basis und Dimension Dimension von Unterräumen Endliche Körper Vektorräume mit Skalarprodukt Euklidische Vektorräume Norm und Abstand Winkel und Orthogonalität Das Vektorprodukt in R Skalarprodukte auf Vektorräumen über C LineareCodes...303

14 XVI Inhaltsverzeichnis 10. Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen Matrizen Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung Summen und skalare Vielfache von Matrizen Hintereinanderausführung linearer Abbildungen und Produkt von Matrizen Lineare Abbildungen und Koordinatenvektoren Matrizen und Basiswechsel Rang einer Matrix Eine Anwendung: Diskrete Fouriertransformation Determinanten Eigenwerte linearer Abbildungen Abbildungen auf Euklidischen Vektorräumen Orthogonale Abbildungen Vektorraum-basierte Informationssuche Symmetrische Abbildungen und Matrizen Lineare Gleichungssysteme und lineare Rekursionen Lineare Gleichungssysteme Allgemeine Theorie Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme Berechnung der Inversen einer invertierbaren Matrix Lineare Rekursionen Affine Geometrie Affine Räume Allgemeine affine Räume Der affine Raum A(V ) Euklidische affine Räume...392

15 Inhaltsverzeichnis XVII Geometrische Anwendungen in A(R 2 ) und A(R 3 ) Affine Abbildungen Eigenschaften affiner Abbildungen Kongruenzabbildungen auf Euklidischen affinen Räumen Funktionen mehrerer Veränderlicher Folgen in R p undfolgenvonmatrizen Vektor- und Matrixnormen Folgen von Vektoren und Matrizen Spezielle Klassen von Mengen Grenzwerte von Funktionswerten, Stetigkeit Typen von Funktionen Grenzwerte Stetigkeit Anwendungen in der Numerik Der Fixpunktsatz von Banach Interpolation Mehrdimensionale Differentialrechnung Kurven im R p Differentiation von Funktionen in mehreren Variablen Partielle Ableitungen Totale Ableitung Der Satz von Taylor, Extremwertbestimmungen Der Umkehrsatz und seine Anwendungen Der Umkehrsatz Implizite Funktionen Extrema unter Nebenbedingungen...446

16 XVIII Inhaltsverzeichnis 15. Mehrdimensionale Integration Das mehrdimensionale Integral über kompakte Mengen Definition des Integrals Transformation von Integralen Integrale über R p Einführung in die Stochastik Einleitung Drei Probleme aus der Informatik Wahrscheinlichkeitsräume Zufallsvariablen Einführung Verteilung einer Zufallsvariablen Die wichtigsten diskreten Verteilungen Die wichtigsten stetigen Verteilungen Definition von Erwartungswert und Varianz Berechnung von Erwartungswert und Varianz Verteilungen mit stetiger Dichte Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahl Zentraler Grenzwertsatz Verteilung seltener Ereignisse Stochastische Prozesse Einleitung Der Poisson-Prozess Markoff Ketten Literaturverzeichnis Index