Berliner Studienreihe zur Mathematik. herausgegeben von. R. Gorenno und H. Lenz Fachbereich Mathematik Freie Universität Berlin

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1 Berliner Studienreihe zur Mathematik herausgegeben von R. Gorenno und H. Lenz Fachbereich Mathematik Freie Universität Berlin Heldermann Verlag Berlin

2 V Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Übersicht über die Zahlenbereiche Beschreibung der Zahlenbereiche Arithmetische Grundgesetze Algebraische Strukturen Halbgruppen und Gruppen Ringe und Körper Halbringe und Halbkörper Geordnete algebraische Strukturen Unterstrukturen Reelle Vektorräume Reelle Algebren Isomorphie Aufgaben 21 2 Natürliche Zahlen 2.1 Definition der natürlichen Zahlen Gleichmächtigkeit von Mengen Endliche Mengen und natürliche Zahlen Peano-Strukturen Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen als Kardinalzahlen Rekursive Definition der Addition und Multiplikation Die Ordnung der natürlichen Zahlen Die natürlichen Zahlen als natürlich geordneter Halbring Charakterisierung endlicher Mengen Algebraische Charakterisierungen natürlicher Zahlen Darstellung der natürlichen Zahlen Darstellung im Dezimalsystem Darstellung in beliebigen Positionssystemen Aufgaben 44

3 VI 3 Quotienten- und Differenzenstrukturen 3.1 Quotientenhalbkörper Struktursatz Existenzsatz Eindeutigkeitssatz Quotientenkörper Differenzenringe Struktursatz Existenzsatz Eindeutigkeitssatz Aufgaben 58 4 Gebrochene Zahlen 4.1 Definition der gebrochenen Zahlen Ordnung der gebrochenen Zahlen Definition der Ordnung für gebrochene Zahlen Algebraische Charakterisierung der gebrochenen Zahlen Archimedischer Satz Darstellung der gebrochenen Zahlen Darstellung durch Dezimalbrüche Divisionsalgorithmus Aufgaben 69 5 Ganze Zahlen 5.1 Definition der ganzen Zahlen Definition Definition der Ordnung in 2T Algebraische Charakterisierung der ganzen Zahlen Bildung der Entgegengesetzten Elementare Zahlentheorie Teilbarkeit Primzahlen Zerlegbarkeit einer ganzen Zahl in Primfaktoren Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches Das Rechnen mit Kongruenzen und Restklassen Lineare Kongruenzen und diophantische Gleichungen Aufgaben 98 6 Rationale Zahlen 6.1 Definition der rationalen Zahlen Ordnung der rationalen Zahlen 102

4 Vll Definition der Ordnung für rationale Zahlen Algebraische Charakterisierung der rationalen Zahlen Bildung von Entgegengesetzten Vergleich der verschiedenen Wege Aufgaben 105 Reelle Zahlen 7.1 Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung Definition reeller Zahlen Intervallschachtelungen Struktursatz Existenzsatz Eindeutigkeitssatz Definition reeller Zahlen Eigenschaften der reellen Zahlen Dichtheit Archimedizität Weitere Konstruktionsmöglichkeiten der reellen Zahlen Algebraische Charakterisierung der reellen Zahlen Weitere algebraische Eigenschaften des Körpers der reellen Zahlen Darstellung reeller Zahlen - Dezimalbrüche Algebraische und transzendente Zahlen Polynome Ganze rationale Funktionen Nullstellen von Polynomen Existenz transzendenter Zahlen Aufgaben... ". 140 Komplexe Zahlen und Quaternionen 8.1 Definition komplexer Zahlen Struktursatz Existenzsatz Eindeutigkeitssatz Geometrische Veranschaulichung komplexer Zahlen Gaußsche Zahlenebene Geometrische Darstellung der Reziprokenbildung Definition komplexer Zahlen als Matrizen Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra Algebraische Charakterisierung der komplexen Zahlen Quaternionen Definition der Quaternionen 158

5 VIU Eigenschaften der Quaternionen Algebraische Charakterisierung der Quaternionen Eine Verallgemeinerung der Quaternionen Die Quaternionengruppe als 2-erzeugte Gruppe mit definierenden Relationen Die 3-erzeugte Quaternionengruppe Die verallgemeinerte Quaternionenalgebra Norm und konjugierte Elemente Eine Charakterisierung der verallgemeinerten Quaternionenalgebra Aufgaben Anwendbarkeit der Zahlen 9.1 Größenbereiche - Operatorhalbgruppen Anwendung der natürlichen Zahlen Anwendung der gebrochenen Zahlen Zur Anwendung der anderen Zahlenbereiche 192 Literaturverzeichnis 193 Liste der verwendeten Symbole 195 Index 197