Algebra. Gruppen - Ringe - Körper. Bearbeitet von Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

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1 Algebra Gruppen - Ringe - Körper Bearbeitet von Christian Karpfinger, Kurt Meyberg 4. Auflage Buch. XXII, 467 S. Softcover ISBN Weitere Fachgebiete > Mathematik > Algebra Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Inhaltsverzeichnis I Gruppen 1 Halbgruppen Definitionen Unterhalbgruppen Invertierbare Elemente Allgemeines Assoziativ- und Kommutativgesetz Potenzen und Vielfache Homomorphismen, Isomorphismen Direkte Produkte Aufgaben Gruppen Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Untergruppen Homomorphismen Aufgaben Untergruppen Erzeugendensysteme. Elementordnungen Nebenklassen Der Satz von Lagrange Aufgaben Normalteiler und Faktorgruppen Normalteiler Normalisatoren Faktorgruppen Der Homomorphiesatz Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * Isomorphiesätze Aufgaben XVII

3 XVIII Inhaltsverzeichnis 5 Zyklische Gruppen Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen Klassifikation der zyklischen Gruppen Anwendungen in der Zahlentheorie Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen * Aufgaben Direkte Produkte Äußere direkte Produkte Innere direkte Produkte Anwendung in der Zahlentheorie Aufgaben Gruppenoperationen Bahnen und Stabilisatoren Der Fixpunktsatz Die Klassengleichung Aufgaben Die Sätze von Sylow Der erste Satz von Sylow Der zweite Satz von Sylow Gruppen kleiner Ordnung Einfache Gruppen Aufgaben Symmetrische und alternierende Gruppen Kanonische Zerlegung in Zyklen Alternierende Gruppen Zur Einfachheit der alternierenden Gruppen Aufgaben Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen Der Hauptsatz Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen Die zweite Version des Hauptsatzes * Aufgaben Auflösbare Gruppen Normalreihen und Kompositionsreihen Kommutatorgruppen Auflösbare Gruppen Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen

4 Inhaltsverzeichnis XIX 11.5 Klassen auflösbarer Gruppen Aufgaben Freie Gruppen * Existenz und Eindeutigkeit freier Gruppen Definierende Relationen Beispiele Aufgaben Grundbegriffe der Ringtheorie Definition und Beispiele Teilringe Die Einheitengruppe Homomorphismen Integritätsbereiche Charakteristik eines Ringes mit Körper und Schiefkörper Quotientenkörper Aufgaben Polynomringe Motivation Konstruktion des Ringes RŒN Polynome in einer Unbestimmten Prime Restklassengruppen * Polynome in mehreren Unbestimmten Aufgaben Ideale Definitionen und Beispiele Erzeugung von Idealen Einfache Ringe Idealoperationen Faktorringe Isomorphiesätze Primideale Maximale Ideale Aufgaben Teilbarkeit in Integritätsbereichen Teilbarkeit Idealtheoretische Interpretation Aufgaben

5 XX Inhaltsverzeichnis 17 Faktorielle Ringe Kennzeichnungen faktorieller Ringe Der nichtfaktorielle Ring ZŒ p 5 * Aufgaben Hauptidealringe. Euklidische Ringe Hauptidealringe Euklidische Ringe Der euklidische Ring ZŒi * Aufgaben Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe Der Satz von Gauß Irreduzibilität Noethersche Ringe * Aufgaben II Körper 20 Grundlagen der Körpertheorie Körpererweiterungen Ring- und Körperadjunktion Algebraische Elemente. Minimalpolynome Aufgaben Einfache und algebraische Körpererweiterungen Einfache Körpererweiterungen Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen Algebraische Körpererweiterungen Aufgaben Konstruktionen mit Zirkel und Lineal * Konstruierbarkeit Die drei klassischen Probleme Aufgaben Transzendente Körpererweiterungen * Transzendenzbasen Der Transzendenzgrad Aufgaben Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper Der algebraische Abschluss eines Körpers

6 Inhaltsverzeichnis XXI 24.2 Zerfällungskörper Normale Körpererweiterungen Aufgaben Separable Körpererweiterungen Ableitung. Mehrfache Wurzeln Separabilität Vollkommene Körper Der Satz vom primitiven Element Der separable Abschluss Aufgaben Endliche Körper Existenz und Eindeutigkeit Der Verband der Teilkörper Automorphismen Aufgaben Die Galoiskorrespondenz K-Automorphismen Die allgemeine Galoiskorrespondenz Algebraische Galoiserweiterungen Hauptsatz der endlichen Galoistheorie Ergänzungen Aufgaben Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung * Norm und Spur Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers F./ Hinweise zur Ermittlung von D.L=K/ Beispiele Die Galoisgruppe eines Polynoms Aufgaben Kreisteilungskörper Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper Kreisteilungspolynome Die Galoisgruppe von K n =K Konstruktion regulärer Vielecke * Aufgaben Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale Zyklische Körpererweiterungen

7 XXII Inhaltsverzeichnis 30.2 Auflösbarkeit Das Auflösbarkeitskriterium Aufgaben Die allgemeine Gleichung Symmetrische Funktionen Das allgemeine Polynom Die Diskriminante eines Polynoms * Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 * Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 * Aufgaben III Moduln 32 Moduln * Links- und Rechtsmoduln Untermoduln Direkte Produkte und direkte Summen von Moduln Faktormoduln Freie Moduln Moduln über Hauptidealringen Aufgaben Anhang A Hilfsmittel A.1 Äquivalenzrelationen A.2 Transfinite Beweismethoden A.3 Kardinalzahlen A.4 Zusammenfassung der Axiome Literatur Sachverzeichnis

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