Algebra (Master), Vorlesungsskript

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1 Algebra (Master), Vorlesungsskript Irene I. Bouw Wintersemester 2013/2014 Inhaltsverzeichnis 1 Körpererweiterungen Algebraische Körpererweiterungen Faktorisieren von Polynomen Endliche Körper Algebraisch abgeschlossene Körper Galois-Theorie Einführung Der Zerfällungskörper eines Polynoms Körpererweiterungen und Automorphismen Separable Körpererweiterungen Die Kreisteilungskörper Charakterisierung von Galois-Erweiterungen Der Hauptsatz der Galois-Theorie Die Galois-Gruppe eines Polynoms Der Satz vom primitiven Element Ringe, Teilbarkeit und Ideale Einführung: Faktorisieren in Z Ringen und Ideale Der chinesische Restsatz Primideale und maximale Ideale Faktorielle Ringen Beispiele faktorieller Ringen Hauptideal- und euklidische Ringen Moduln Definitionen und Beispiele Beispiel: Vektorbündeln auf dem Kreis Freie Moduln und Matrizen Moduln über einem Hauptidealring Moduln über K[t]

2 5 Kommutative Algebra und algebraische Geometrie Affine algebraische Mengen Morphismen Noethersche Ringen und der Hilbertsche Basissatz Hilbertscher Nullstellensatz Radikalideale Affine Varietäten Ganze Ringerweiterungen Lokalisieren Diskrete Bewertungen

3 1 Körpererweiterungen 1.1 Algebraische Körpererweiterungen In diesem Abschnitt wiederholen wir einige wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung Elemente der Algebra ([3, Abschnitt 4.1, 4.2]) und beschrieben diese so wie wir sie im nächsten Kapitel brauchen werden. Definition (a) Sei K ein Körper. Eine Körpererweiterung von K ist ein Körper L, der K als Teilkörper enthält. Bezeichnung: L/K. (b) Sei L/K eine Körpererweiterung und S L eine beliebige Teilmenge. Der Körper K(S) ist der kleinste Teilkörper K K(S) L, der S enthält. Wir sagen, dass K(S) aus K durch Adjungation der Elemente aus S ensteht. Ist S = {α}, dann schreiben wir K(α) für K(S). Eine Erweiterung K(α)/K heißt einfach und α heißt primitives Element. (c) Der Grad einer Körpererweiterung L/K ist die Dimension von L als K- Vektorraum (Bezeichnung [L : K]). (d) Eine Erweiterung L/K heißt endlich, wenn [L : K] < ist. (e) Sei L/K eine Körpererweiterung. Ein Element α L heißt algebraisch über K, wenn ein Polynom f K[x] mit f 0 und f(α) = 0 existiert. Ansonsten heißt α transzendent über K. (f) Eine Körpererweiterung L/K heißt algebraisch, wenn jedes Element α L algebraisch über K ist. Ansonsten heißt sie transzendent. Die Erweiterung L/K heißt rein transzendent, wenn jedes Element α L \ K transzendent über K ist. Beispiel Wir geben ein Beispiel einer transzendenten Erweiterung. Dazu benutzen wir die Konstruktion des Quotientenkörpers, die wir jetzt beschreiben. Sei R ein Integritätsring ([3, Def ]), d.h. R {0} ist ein kommutativer Ring mit einem 1-Element, in dem 0 der einzige Nullteiler ist. (Ein Nullteiler a ist ein Element, sodass ein b 0 existiert mit a b = 0.) Der Quotientenkörper K = Q(R) von R ist ein Körper, der R als Unterring enthält und sodass jedes Element a R \ {0} eine Einheit in K ist. Die Konstruktion des Quotienkörpers ist eine Verallgemeinerung der Konstruktion von Q aus Z. Wir betrachten die Menge aller Paaren M = {(a, b) a, b R, b 0}. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf M durch (a, b) (c, d), falls ad = bc. Wir definieren K als die Menge der Äquivalenzklassen und schreiben die Äquivalenzklasse von (a, b) als a/b. Die Addition und Multiplikation auf K sind definiert durch a b + c d ad + bc =, bd 3 a b c d = ac bd.

4 Die Überprüfung, dass diese Operationen wohldefiniert sind und dass K ein Körper ist, überlassen wir der Leserin/dem Leser als Übungsaufgabe (siehe auch [2, Abschnitt 2.7]). Ist K ein Körper, schreiben wir K(x) für den Quotentenkörper des Polynomringes K[x]. Die Elemente von K(x) sind rationale Funktionen f/g mit f, g K[x] und g 0. Der Unterring K besteht aus den konstanten Polynomen. Offensichtlich ist kein Polynom aus K(x) \ K algebraisch über K. Also ist K(x)/K rein transzendent. Wir bemerken, dass dies insbesondere impliziert, dass [K(x) : K] =. Der folgende Satz beschreibt eine Konstruktion einfacher algebraischer Körpererweiterungen. In Korollar werden wir zeigen, dass alle einfache algebraische Körpererweiterungen von dieser Form sind. Satz (a) Sei f K[x] ein irreduzibles Polynom und L = K[x]/(f). Wir können K in L einbetten. Dies macht L/K zur Körpererweiterung mit [L : K] = Grad(f). (b) Das Polynom f besitzt in L eine Nullstelle. Beweis: Das Ideal (f) ist maximal, da f irreduzibel ist. Insbesondere ist L ein Körper ([3, Satz (b)]). Die Abbildung K K[x] induziert ein Körperhomomorphismus ψ : K L. Der Kern von ψ ist ein Ideal in K. Da K ein Körper ist, ist I = (0) und ψ injektiv. Mit Hilfe dieser Abbildung können wir L als Körpererweiterung von K auffassen. Die Elemente von L sind die Linksnebenklassen g+(f) mit g K[x]. Division mit Rest ([3, Satz 3.3.1]) zeigt die Existenz eindeutiger Polynome q, r K[x] mit g = qf + r, Grad(r) < Grad(f) =: n. Dies zeigt, dass die Linksnebenklassen α i := x i + (f) mit i = 0,... n 1 ein Erzeugendensystem von L als K-Vektorraum bilden. Die Eindeutigkeit der Polynome q, r in der Division mit Rest impliziert, dass 1, α,..., α n 1 auch K-linear unabhängig sind. Dies beweist (a). Da f(x) = 0 in L, ist α = x + (f) eine Nullstelle von f in L. Dies zeigt (b). Korollar (Kronecker) Sei K ein Körper und f K[x] ein Polynom. Es existiert ein Körpererweiterung L/K in dem f in Linearfaktoren zerfällt, d.h. es existieren c, α i L mit f(x) = c i (x α i). Beweis: Dies folgt aus Satz (b) mit vollständiger Induktion nach dem Grad von f. Satz Sei L/K eine Körpererweiterung und α L ein Element, das algebraisch über K ist. Es existiert ein eindeutiges Polynom f K[x], für das gilt: 4

5 (a) f ist normiert und irreduzibel, (b) f(α) = 0. Dieses Polynom f heißt das Minimalpolynom von α bezüglich des Körpers K. Bezeichnung: f = min K (α). Beweis: Die Menge I := { g K[x] g(α) = 0 } ist ein Ideal. Dieses Ideal ist nicht das 0-Ideal, da α algebraisch ist. Da K[x] ein Hauptidealring ist ([3, Theorem 3.3.4]), existiert ein f K[x] mit I = (f). (Die Definition von Hauptidealring wird in Definition wiederholt.) Wir dürfen annehmen, dass f normiert ist. Mittels Division mit Rest zeigt man, dass f 0 das eindeutig bestimmte, normierte Polynom minimalen Grades in I ist ([3, Theorem 3.3.4]). Die Irreduzibilität von f leitet man leicht hieraus ab (siehe den Beweis von [3, 4.2.3]). Korollar (a) Sei L/K eine Körpererweiterung und α L algebraisch über K. Sei f = min K (α) das Minimalpolynom von α über K. Die Abbildung K[x]/(f) K(α), g + (f) g(α) ist ein Isomorphismus. Insbesondere ist [K(α) : K] = min K (α). (b) Eine einfache Erweiterung K(α)/K ist genau dann algebraisch, wenn [K(α) : K] < ist. Beweis: Sei ϕ : K[x] K(α), g g(α) die natürliche Abbildung. Dies ist offensichtlich ein surjektiver Ringhomomorphismus. Im Beweis von Satz haben wir gesehen, dass ker(ϕ) = (f) ist. Daher folgt (a) aus dem ersten Isomorphiesatz für Ringe (Satz (a)) und Satz (a). Aussage (b) folgt aus (a). Beispiel Sei α := 3 2 die relle 3te Wurzel aus 2 und Q(α) R der kleinste Teilkörper von R der α enthällt. Sei f := x 3 2. Offensichtlich ist α eine Nullstelle von f. Das Polynom f besitzt über Q offensichtlich keine Nullstellen, also keine Faktoren von Grad 1. Da Grad(f) = 3 folgt hieraus, dass f Q[x] irreduzibel ist. (Für eine alternative Methode siehe Beispiel 1.2.4).) Wir schließen, dass f = min Q ( 3 2). Korollar zeigt, dass Q(α) Q[x]/(x 3 2) ist. Jedes Element von Q(α) lässt sich daher eindeutig als a 0 + a 1 α + a 2 α 2, a i Q 5

6 darstellen. Die andere Nullstellen von f in C sind αζ 3 und αζ 2 3, wobei ζ 3 := e 2πi/3 eine primitive 3te Einheitswurzel ist. Die Körper Q(αζ i 3) mit i = 1, 2 sind daher ebenfalls isomorph zu Q[x]/(x 3 2), also auch zu Q(α). Als abstrakte Körper sind diese nicht unterscheidbar. Dies ist aber möglich nachdem man K(α) in C eingebetet hat: Eine solche Einbettung ist durch eine Wahl einer Nullstelle von f bestimmt. Satz verallgemeinert diese Beobachtung. Satz Sei ϕ : K K ein Körperisomorphismus. Sei f K[x] irreduzibel. Wir schreiben f K[x] für das irreduzible Polynom, das wir erhalten indem wir ϕ auf die Koeffizienten von f anwenden. Sei α (bzw. α) eine Nullstelle von f (bzw. f) in einer Körpererweiterung von K (bzw. K). Es existiert ein eindeutiger Isomorphismus ψ : K(α) K( α), sodass ψ(α) = α und ψ(a) = ϕ(a) für alle a K. Beweis: Der Isomorphismus ϕ induziert ein Ringisomorphismus ϕ : K[x] K[x], a i x i ϕ(a i )x i. i i Dieser Ringisomorphismus bildet das Ideal (f) auf das Ideal ( f) ab und induziert daher ein Isomorphismus ψ : K[x]/(f) K[x]/( f) der Faktorringe. Die Aussage des Lemmas folgt indem man dieser Isomorphismus mit den Isomorphismen K(α) K[x]/(f), K( α) K[x]/( f) aus Korollar (a) verknüpft. 1.2 Faktorisieren von Polynomen In diesem Abschnitt besprechen wir Methoden, zur Überprüfung der Irreduzibilität eines Polynoms. In Abschnitt 1.1 haben wir gesehen, dass dies beim Beschreiben von einfachen algebraischen Körpererweiterungen hilfreich ist. In diesem Abschnitt betrachten wir Polynome f Q[x] mit Koeffizienten in Q. Dies ist eine Vorbereitung auf das nächste Kapitel, wo wir hauptsächlich Körpererweiterungen von Q betrachten. Satz (Gauß) Sei f Z[x] ein irreduzibles Polynom über Z. Dann ist f auch irreduzibel über Q. Beweis: Sei f Z[x] ein irreduzibles Polynom über Z. Wir nehmen an, dass eine nicht-triviale Zerlegung f = g h über Q existiert, d.h. g, h Q[x] sind nicht-konstante Polynome. Es existiert ein n = a b Z und eine Zerlegung nf = g (1) h (1) 6

7 mit g (1) = a g, h (1) = b h Z[x]. Wähle für n beispielsweise das Produkt der Nenner der Koeffizienten von g und h. Schreibe g (1) = s i=0 g ix i und h (1) = t j=0 h jx j. Sei p ein Primfaktor von n. Wir behaupten, dass p entweder alle Koeffizienten von g (1) oder alle Koeffizienten von h (1) teilt. Nehmen wir an, dies würde nicht gelten. Seien i und j minimal mit p g i und p h j. Da p n, teilt p den Koeffizienten c i+j von x i+j in g (1) h (1). Es gilt i+j c i+j = h k g i+j k. k=0 Die Wahl von i und j impliziert, dass p jeden Term der Summe außer h j g i teilt. Dies liefert einen Widerspruch, da p außerdem c i+j teilt. OBdA dürfen wir annehmen, dass p alle Koeffizienten von g (1) teilt. Schreibe n = pn 1 und g (1) = pg (2). Nach Kürzung des Faktors p, erhalten wir n 1 f = g (2) h (1). Wiederholtes Anwenden des Arguments liefert eine Faktorisierung f = ḡ h mit ḡ, h Z[x] und ḡ = αg und h = βh für α, β Z, ist dies eine nicht-triviale Zerlegung von f über Z. Dies widerspricht die Irreduzibilität von f über Z. Beispiel Wir benutzen die Idee des Satzes von Gauss (Satz 1.2.1) um Nullstellen von f Q[x] zu finden. Nach Multiplikation mit einer geeigneten ganzen Zahl, dürfen wir annehmen, dass f(x) = n i=0 a ix i Z[x] ganze Koeffizienten besitzt. Außerdem dürfen wir obda annehmen, dass a n 0 und a 0 0. Sei α = b/c Q eine Nullstelle von f mit ggt(b, c) = 1 und c > 0. Dann gilt f = (cx b)g, mit g Z[x]. Koeffizientenvergleich liefert, dass b a 0 und c a n. Diese Bedingungen liefern eine (endliche) Liste von möglichen Nullstellen. Einsetzen dieser möglichen Nullstellen in f, liefert die Nullstellen. Sei zum Beispiel f = 2x 3 + x 2 x + 3. Für b kommen nur die Werte ±1, ±3 in Frage. Für c kommen nur die Werte 1, 2 in Frage. Ausprobieren aller 8 Möglichkeiten liefert, dass α = 3/2 die einzige rationale Nullstelle von f ist. Theorem (Eisenstein-Kriterium) Sei Sei p Z eine Primzahl, sodass f(x) = n a i x i Z[x]. i=0 7

8 (a) p a n, (b) p a i, i = 0,... a n 1, (c) p 2 a 0. Dann ist f irreduzibel über Q. Beweis: Sei f wie in der Aussage des Theorems. Es reicht zu zeigen, dass f irreduzibel über Z ist (Satz 1.2.1). Wir nehmen an, dass f = g h mit g = s i=0 g ix i Z[x] und h = t j=0 h jx j Z[x] nicht-konstante Polynome. Es gilt a 0 = g 0 h 0. Da p a 0 und p 2 a 0, schließen wir, dass entweder p g 0 oder p h 0. OBdA dürfen wir annehmen, dass p g 0 und p h 0. Annahme (a) impliziert, dass p nicht alle Koeffizienten von g teilt. Sei i minimal mit p g i. Es gilt i a i = g k h i k. (1) k=0 Da s = Grad(g) < Grad(f) = n ist, folgt, dass i < n ist. Insbesondere ist p ein Teiler von a i. Die Primzahl p teilt alle Termen der rechten Seite von (1) außer g i h 0. Dies liefert einen Widerspruch. Wir schließen, dass f irreduzibel über Z ist. Beispiel Das Eisenstein Kriterium mit p = 2 zeigt, dass für alle n irreduzibel ist. x n 2 Q[x] Eine weitere Möglichkeit ein Polynom f Z[x] auf Irreduzibilität zu überprüfen, ist es modulo p zu reduzieren: Satz Sei f(x) = n i=0 a ix i Z[x] und p eine Primzahl mit p a n. Falls die Reduktion f F p [x] von f modulo p irreduzibel ist, ist f irreduzibel in Q[x]. Beweis: Die Annahme p a n impliziert, dass Grad( f) = Grad(f). Ist f Z[x] reduzibel, existieren nicht-konstante Polynome g, h Z[x] mit f = gh. Da Grad(f) = Grad( f) und f = ḡ h, folgt, dass Grad(g) = Grad(ḡ) und Grad(h) = Grad( h). Wir schließen, dass f = ḡ h F p [x] auch reduzibel ist. Im Rest des Abschnittes wiederholen wir einige Eigenschaften von Polynomen. Sei f K[x] ein Polynom und α K eine Nullstelle von f. Es existiert ein Polynom g K[x] mit f(x) = (x α) m g(x), und g(α) 0. Wir nennen m die Vielfachheit der Nullstelle α. Ist m > 1, heißt α eine mehrfache Nullstelle von f. 8

9 Satz Sei K ein Körper und sei f K[x] ein Polynom von Grad n. Das Polynom f besitzt höchstens n Nullstellen in K gezählt mit Vielfachheit. Beweis: Seien α 1,..., α r K die Nullstellen von f, wobei die Nullstelle α i die Vielfachheit n i besitzt. Es existiert also ein Polynom g K[x] mit f(x) = g(x) r (x α i ) ni. i=1 Also ist r i=1 n i Grad(f) = n. Sei f(x) = n i=0 a ix i. Wir definieren die formale Ableitung von f als f (x) := n ia i x i 1. i=1 Für K = R ist die formale Ableitung nichts anders als die Ableitung von f nach x. Die formale Ableitung erfüllt die gleichen Rechenregeln wie die Ableitung. Beispielsweise gilt (f + g) = f + g und (f g) = f g + fg. Insbesondere ist eine Nullstelle α eines Polynoms f K[x] genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn f (α) = 0 ist. Dies zeigt die folgende Aussage. Lemma Sei α eine mehrfache Nullstelle von f K[x] \ {0}. Dann gilt 1.3 Endliche Körper (x α) ggt(f, f ). In diesem Abschnitt klassifizieren wir alle Körper mit endlich vielen Elemente (endlichen Körper). Wir zeigen zuerst, dass jeder endliche Körper eine Erweiterung von Z/pZ für eine Primzahl p ist. Dies impliziert, dass die Kardinalität eines endlichen Körper ein Primzahlpotenz q = p n ist. Wir werden zeigen, dass für jede Primzahlpotenz q = p n ein Körper mit q Elementen existiert (Theorem 1.3.3). Zwei endliche Körper mit gleicher Kardinalität sind isomorph (Theorem 1.3.9). Diesen Körper mit q Elementen werden wir häufig mit F q bezeichnen. Beachte, dass Z/mZ nur dann ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist. Für q = p n mit n 1 ist F q Z/qZ. Für jeden Ring R definiert ψ : Z R, n n 1 (2) einen Ringhomomorphismus, wobei für n > 0 positiv n 1 = (n-mal) und ( n) 1 = (n 1) ist. Der Kern von ψ ist ein Ideal von Z, also ker(ψ) = mz für ein m 0. Diese Zahl m heißt Charakteristik von R. (Bezeichnung: Char(R).) Falls Char(R) = m 0, ist m die kleinste positive Zahl, sodass m 1 = 0 in R gilt. Beispielsweise besitzt Z/mZ die Charakteristik m. Lemma Die Charakteristik Char(K) eines Körpers K ist entweder 0 oder eine Primzahl. 9

10 Beweis: Sei ψ : Z K wie in (2) und sei I := ker(ψ) = mz. Wir nehmen an, dass m eine zusammengesetzte Zahl ist, also existieren a, b N \ {1, m} mit m = ab. Es gilt 0 = ψ(m) = ψ(ab) = ψ(a)ψ(b) = (a 1)(b 1). Aus der Minimalität von m folgt, dass (a 1) 0 und (b 1) 0. Also ist m 1 K ein Nullteiler und daher nicht invertierbar. Dies liefert einen Widerspruch zur Annahme, dass K ein Körper ist. Für ein Körper K der Charakteristik 0 ist die Abbildung ψ : Z K injektiv. Hieraus folgt, dass Q ein Teilkörper von K ist. Insbesondere ist K nicht endlich. Falls K ein Körper der Charakteristik p > 0 ist, ist F p = Z/pZ ein Teilkörper von K. Der kleinste Teilkörper eines Körpers K heißt Primkörper. Lemma Sei F ein endlicher Körper mit Char(F ) = p > 0. Die Anzahl der Elemente von F ist q = p n. Beweis: Ein endlicher Körper F der Charakteristik p > 0 enthält F p als Primkörper und ist daher eine Körpererweiterung von F p von endlichem Grad. Sei n = [F : F p ] der Grad der Körpererweiterung. Dann ist F ein n-dimensionaler F p -Vektorraum. Die Kardinalität von F ist also q = p n. Theorem Sei q = p n eine Primzahlpotenz. (a) Es existiert ein Körper k mit q Elementen. (b) Die Elemente von k sind Nullstellen des Polynoms f q (x) := x q x. Dieses Polynom zerfällt in Linearfaktoren über k. (c) Die Gruppe k ist zyklisch. Der Beweis von Theorem benutzt folgendes Lemma. Teil (b) heißt auf English freshman s dream. Lemma Sei p eine Primzahl und k ein Körper der Charakteristik p. (a) Für i = 1,..., p 1 gilt p ( p i) Z. (b) Für alle α, β k gilt (α + β) p = α p + β p k. (c) Die Abbildung F : k k, x x p ist ein injektiver Körperhomomorphismus. (Name: Frobenius-Homomorphismus.) Beweis: Teil (a) folgt unmittelbar aus der Definition des Bimonialkoeffizienten. Teil (b) folgt aus (a) und dem binomischen Lehrsatz. Teil (b) zeigt, dass F ein Körperhomomorphismus ist. (Die Gleichung (αβ) p = α p β p ist trivial.) Der Homomorphismus F ist injektiv, da ker(f ) < K ein Ideal, also trivial, ist. Wir beweisen Theorem (a)+(b). (Teil (c) folgt aus Satz ) 10

11 Beweis: Wir beweisen zuerst (b). Sei k ein Körper mit q Elementen. Die multiplikative Gruppe k = k \ {0} enthält q 1 Elemente. Die Ordnung eines Elements α k ist also ein Teiler von q 1 und daher eine Nullstelle von f q = x q x. Da 0 k auch eine Nullstelle von f q ist, besitzt f q genau q verschiedene Nullstellen in k. Wir schließen, dass f q (x) = α k(x α). Dies zeigt (b). Wir beweisen die Existenz eines Körpers k mit q Elementen. Teil (b) impliziert, dass die Elemente von k genau die Nullstellen von f q sind. Sei L/F p eine Körpererweiterung, in dem f q in Linearfaktoren zerfällt. Diese existiert nach Korollar Sei F L die Menge der Nullstellen von f q : F = {α L α q = α}. Lemma impliziert, dass f q keine mehrfache Nullstellen besitzt, da f q(x) = qx q 1 1 = 1 F p [x]. Also ist F = q. Wir behaupten, dass F ein Körper ist. Seien α, β F. Es gilt (αβ) q = α q β q, ( α) q = α, (1/α) q = 1/α q. Aus Lemma (b) folgt mit Induktion, dass (α + β) q = (α p + β p ) pn 1 = = α q + β q L. Insbesondere ist α + β F. Wir schließen, dass F ein Körper ist. Beispiel Sei q = 3 2 = 9. Wir faktorisieren das Polynom f 9 = x 9 x in irreduzible Faktoren in F 3 [x]: x 9 x = x(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 2 x 1)(x 2 + x 1). Wir können F 9 darstellen als F 9 F 3 [x]/(x 2 + 1) = {a 0 + a 1 α a j F 3, α 2 = 1}. (3) Der Beweis von Theorem impliziert, dass x q x über F 9 in Linearfaktoren zerfällt. Wir rechnen dies nach. Wir berechnen dazu die Nullstellen von x 2 + 1, x 2 x 1 und x 2 + x 1 in F 9 : x = (x + α)(x α), x 2 x 1 = (x + α + 1)(x α + 1), x 2 + x 1 = (x α 1)(x + α 1). Der Körper F := F 3 [x]/(x 2 x 1) besitzt auch 9 Elemente. Sei β eine Nullstelle von x 2 x 1 ist. Dann definiert F F 9, β α 1. ein Körperisomorphismus, da α 1 F 9 auch eine Nullstelle von min F3 (β) = x 2 x 1 ist. 11

12 Als nächstes zeigen wir, dass F q eine zyklische Gruppe ist. Definition Ein Element α eines Körpers K mit α n = 1 heißt n-te Einheitswurzel. Im folgenden Satz nehmen wir nicht an, dass der Körper K endlich ist. Theorem (c) ist ein Spezialfall dieses Satzes. Satz Sei K ein Körper und H eine endliche Untergruppe von K mit n Elementen. Die Gruppe H ist zyklisch und besteht genau aus den n-ten Einheitswurzeln in K. Beweis: Sei H K eine Untergruppe mit n Elemente. Die Ordnung eines Elements α H ist ein Teiler von n, also ist α eine Nullstelle des Polynoms x n 1. Satz sagt, dass x n 1 höchstens n Nullstellen in K besitzt. Die Elemente von H sind also die einzige Nullstellen von x n 1. Wir schließen, dass die Elemente von H genau die n-ten Einheitswurzeln in K sind. Der Beweis, dass die Gruppe zyklisch ist, ist komplizierter. Sei a H ein Element maximaler Ordnung m, und sei H m H die Untergruppe, bestehend aus allen Elemente deren Ordnung ein Teiler von m ist, d.h. die m-te Einheitswurzeln in K. Das obige Argument zeigt, dass H m genau m Elemente besitzt. Die Gruppe H m besitzt ein Element a der Ordnung m = H m und ist daher zyklisch. Wir behaupten, dass H = H m ist. Falls nicht, existiert ein Element b H \ H m der Ordnung l m. Da H abelsch ist, ist ab ein Element der Ordnung kgv(l, m). Aus der Annahme b H m folgt, dass l m, also, dass kgv(l, m) > m ist. Dies liefert einen Widerspruch zur Wahl von a. Wir schließen, dass H = H m ist. Insbesondere ist H zyklisch. Bemerkung (a) Sei k = F q ein Körper mit q = p n Elemente. Es existiert ein Element α k der Ordnung q 1 (Theorem (c)). Dies bedeutet, dass jedes Element in k eine Potenz von α ist: k = {α, α 2,..., α q 1 = 1}. Insbesondere ist k = F p (α). Beachten Sie, dass nicht jedes Element α mit k = F p (α) auch die Gruppe k erzeugt. Das Element α aus Beispiel besitzt Ordnung 4 und erzeugt daher k nicht. Das Element β ist aber ein Erzeuger dieser Gruppe. (b) Die Aussage von Satz stimmt im Allgemeinen nicht, wenn K kein Körper ist. Beispielsweise ist (Z/8Z) Z/2 Z/2Z. In diesem Fall besitzt das Polynom x 2 1 (Z/8Z)[x] also 4 Nullstellen. Satz stimmt also hier auch nicht. Das nächste Theorem zeigt, dass bis auf Isomorphie nur ein Körper mit q = p n Elemente existiert (vergleichen Sie mit Beispiel 1.3.5). Dies rechtfertigt die Bezeichung F q für den Körper mit q Elemente. Theorem Sei q = p n eine Primzahlpotenz und seien k, k zwei Körper mit q Elementen. Die Körper k und k sind isomorph. 12

13 Beweis: Seien k, k zwei Körper mit q Elemente und sei α ein Erzeuger der zyklischen Gruppe k. Dann ist k = F p (α) (Bemerkung (a)). Sei f(x) = min Fp (α). Da α auch eine Nullstelle des Polynoms f q (x) = x q x ist, folgt aus Satz 1.1.5, dass f f q. Das Polynom f q (x) zerfällt auch in k in Linearfaktoren (Theorem (b)). Insbesondere besitzt f eine Nullstelle α k. Es folgt, dass k F p [x]/(f) F p (α ) k. Da k und k die gleiche Kardinalität haben, folgt k k. 1.4 Algebraisch abgeschlossene Körper Definition a) Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes Polynom f K[x] eine Nullstelle in K besitzt. (b) Eine Körpererweiterung L/K heißt der algebraischer Abschluss von K, wenn L/K eine algebraische Erweiterung ist und L algebraisch abgeschlossen ist (Bezeichnung: K oder K alg ). Bemerkung (a) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann zerfällt jedes Polynom f K[x] in Linearfaktoren. Dies folgt mit Induktion aus Definition (a). (b) Ein Körper K ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn keine echte algebraische Körpererweiterung K L existiert. Sei nämlich K L eine echte algebraische Körpererweiterung und α L \ K. Sei f := min K (α) das Minimalpolynom von α. Da K algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt f über K in Linearfaktoren. Da f als Minimalpolynom irreduzibel ist, besitzt f Grad 1. Also ist f = (x α) K[x] und α ist ein Element von K. Dies liefert einen Widerspruch. Der Körper C ist algebraisch abgeschlossen. Dieser Satz heißt der Fundamentalsatz der Algebra. Wir skizzieren den Beweis in Abschnitt 2.9. Für einem Beweis mit Methoden der Analysis verweisen wir auf [1, Theorem ]. Theorem (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes nicht-konstantes Polynom f C[x] besitzt eine Nullstelle in C. Der folgende Satz beschreibt beispielsweise den algebraischen Abschluss von Teilkörpern von C. Satz Sei L/K eine Körpererweiterung. (a) Die Menge M L aller über K algebraischer Elemente ist ein Körper. (b) Ist L algebraisch abgeschlossen, dann ist M ein algebraischer Abschluß von K. 13

14 Beweis: Seien α, β M \ {0}. Wir müssen zeigen, dass α + β, αβ, α und α 1 auch algebraisch über K sind. Korollar impliziert, dass [K(α) : K] < ist. Da β algebraisch über K ist, ist es auch algebraisch über dem größeren Körper K(α). Bemerke, dass K(α)(β) = K(α, β). Also ist [K(α, β) : K(α)] <. Es gilt, dass [K(α, β) : K] = [K(α, β) : K(α)] [K(α) : K] ([3, Thm ]). Insbesondere ist [K(α, β) : K] <. Für jedes Element γ K(α, β) und n genügend groß sind daher 1, γ, γ 2,..., γ n linear abhängig über K. Dies impliziert, dass γ algebraisch über K ist. Die oben erwähnte Elemente sind alle im Körper K(α, β) enthalten und daher algebraisch. Dies beweist (a). Wir bemerken, dass M/K per Definition algebraisch ist. Sei f K[x] ein nicht-konstantes Polynom. Da L algebraisch abgeschlossen ist, besitzt f eine Nullstelle α L. Dieses Element ist algebraisch über K, also in M enthalten. Aussage (b) folgt. Beispiel (a) Der Körper Q = {α C α algebraisch über Q} ist ein algebraischer Abschluß von Q. Die Zahlen e und π sind transzendent ([10, Chapter 24]), also gilt Q C. (b) Der Körper F p := n F p n ist ein algebraischer Abschluß von F p. Sei nämlich f F p [x]. Das Polynom besitzt nur endlich viele Koeffizienten ungleich Null, also existiert ein n mit f F p n[x]. Satz impliziert, dass f eine Nullstelle in einer endlichen Erweiterung von F p n, also auch in F p, besitzt. Dies zeigt, dass F p algebraisch abgeschlossen ist. Die Erweiterung F p /F p ist auch algebraisch, da jedes Element α F p in einem F p n enthalten ist. Wir skizzieren den Beweis der Existenz eines algebraischen Abschlusses. Für mehr Details verweisen wir auf [2, Theorem 3.4]. Sei K ein Körper. Wir möchten einen algebraisch abgeschlossenen Körper L, der K enthält, konstruieren. Mit Satz folgt hieraus die Existenz eines algebraischen Abschlusses. In Satz haben wir eine (endliche) Erweiterung von K konstruiert, in dem ein gegebenes Polynom eine Nullstelle besitzt. In L soll jedes Polynom f K[x] eine Nullstelle besitzen. Es ist schwer L zu konstruieren, in dem man an K eine Nullstelle jedes irreduziblen Polynoms adjungiert: Man muss extrem aufpassen, dass die getroffenen Wahlen kompatibel sind. Wir skizzieren hier einen anderen Beweis, der auf Emil Artin zurück geht. Der Beweis benutzt das Lemma von Zorn. Dies ist eine ziemlich technische Aussage der Mengenleere. Die Aussage ist äquivalent zur Auswahlaxiom und kann daher als Axiom der Mengenleere aufgefast werden. Für eine Diskussion des Lemmas von Zorn verweisen wir auf [9, Chapter 6]. Theorem Jeder Körper besitzt ein algebraischer Abschluß. 14

15 Beweisskizze: Sei K ein Körper. Es reicht einen algebraisch abgeschlossenen Körper L, der K enthält, zu konstruieren. Wir betrachten die Menge I aller nicht-konstanten Polynome in K[x]. Wir betrachten den Polynomring R := K[(X f ) f I]. Der Polynomring enthält also eine Variable für jedes nicht-konstante Polynom aus I. Wir definieren ein Ideal I = f(x f ) f I < R erzeugt von allen f(x f ), d.h. die Elemente von I sind endliche Summen n g i f i (X fi ) i=1 mit g i R. Wir betrachten jedes f also als Polynom in der zu f gehörigen Variable X f. Behauptung I: Es gilt I R. Wir nehmen an, dass I = R. Also ist 1 I und es existieren Polynome g i R mit n g i f i (X fi ) = 1. (4) i=1 Wir schreiben x i = X fi für i = 1,..., n. Die endlich viele Polynome g i enthalten nur endlich viele Monome, also auch nur endlich viele Variablen. Wir bezeichnen die überige Variablen, die in den g i vorkommen mit x n+1,..., x m. Korollar angewandt auf i f i zeigt die Existenz einer endlichen Erweiterung M/K, in dem alle f i eine Nullstelle α i besitzen. Wir fassen (4) als Gleichung in M[x 1,..., x m ] auf und substituieren x i = α i für i = 1,..., n und x i = 0 für i = n + 1,..., m. Da f(α i ) = 0, liefert (4) einen Widerspruch. Dies zeigt die Behauptung. Behauptung II: Das Ideal I ist in einem maximalen Ideal m enthalten. Wir betrachten die Menge aller Idealen J R, die I enthalten. Bezüglich die Inklusion ist dies eine partiel geordenete Menge. Das Lemma von Zorn sagt, dass die Menge ein maximales Element besitzt. Dies ist das gesuchte maximale Ideal. (Mehr Details finden Sie in [2, Satz 3.4.6].) Wir definieren L 1 = R/m. Dies ist ein Körper, der (eine Kopie von) K enthält. Wir können L 1 daher als Körpererweiterung von K auffassen. In L 1 besitzt jedes Polynom f K[x] eine Nullstelle, nämlich die Linksnebenklasse X f + m. Dies ist das gleiche Argument wie im Beweis von Satz Der Körper L 1 ist noch nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossen, da es Polynome in L 1 [x] \ K[x] geben kann, die in L 1 keine Nullstelle besitzen. 15

16 Wir wiederholen daher die Konstruktion für L 1 [x] und erhalten einen Körper L 2, in dem alle Polynome aus L 1 [x] eine Nullstelle besitzen. Wir führen dieses Verfahren weiter und erhalten eine Körperkette K = L 0 L 1 L 2 L i L i+1 Wir definieren L = i 0 L i als Vereinigung dieser Körper. Behauptung III: Der Körper L ist ein algebraisch abgeschlossener Körper, der K enthält. Es ist offensichtlich, dass L ein Körper ist, der K = L 0 enthält. Sei f L[x]. Dann besitzt f nur endlich viele Koeffizienten ungleich Null. Diese Koeffizienten sind daher in L i für i groß genug enthalten. Nach Konstruktion besitzt f eine Nullstelle in L i+1 und daher auch in L. Dies zeigt die Behauptung. Bemerkung Man kann zeigen, dass zwei algebraische Abschlüsse eines Körpers isomorph sind ([2, Korollar ]). Der Beweis benutzt die Beweisstrategie von Satz 1.4.4, zusammen mit Korollar aus dem nächsten Kapitels. 2 Galois-Theorie 2.1 Einführung Die Galois-Theorie ist entstanden aus der Frage nach der Lösbarkeit von Polynomgleichungen f(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 = 0, a i Z mit Hilfe von Radikalen. Grob gesagt, ist f(x) = 0 mit Hilfe von Radikalen auflösbar, wenn man die Nullstellen der Gleichung mit den Operationen Addition, Multiplikation und ziehen k-ter Wurzeln aus den Koeffizienten a i berechnen kann. Die bekannte Mitternachtsformel sagt, dass die Nullstellen eines Polynoms f(x) = ax 2 + bx + c 2ten Grades durch x = b 2a ± 1 b2 4ac 2a gegeben sind. Quadratische Gleichungen sind daher mit Hilfe von Radikalen auflösbar. Im Prinzip wussten babylonische Mathematiker schon um 400 v.chr. wie man quadratische Gleichungen löst, obwohl der Begriff einer Gleichung noch nicht bekannt war: Man findet in alten babylonischen Texten eine algorithmische Lösung von Probleme, die in moderner Sprache formuliert, eine quadratische Gleichung liefern. 16

17 Der Beweis, dass kubische Gleichungen mit Hilfe von Radikale auflösbar sind, ist von Scipione dal Ferro um Wahrscheinlich konnte er nur Gleichungen von der Form x 3 + 3px = 2q mit p, q > 0 auflösen. Man kann zeigen, dass man den allgemeinen Fall auf diesem Spezialfall zurückführen kann. Die Formel für die (eindeutige reelle) Nullstelle lautet im Spezialfall: x = 3 p + p 2 + q p p 2 + q 3. Über verschiedene Umwegen landete der Formel bei Girolamo Cardano, der es in 1545 in seinem Buch Ars Magma publizierte. In 1540 gelangte Cardanos Schüler Ludovico Ferrarri den Beweis der Lösbarkeit von Gleichungen von Grad 4. Für die faszinierende Geschichte, siehe www-history.mcs.st-and.ac.uk/histtopics/quadratic etc equations.html Der erste Mathematiker, der behauptete, dass man die allgemeine Gleichung 5ten Grades nicht mit Hilfe von Radikale auflösen kann, war Paolo Ruffini (1799). Sein Beweis, der einige Lücken enthält, beruht auf der Theorie der Permutationsgruppen. Eine allgemeine Definition einer Gruppe gab es zu dieser Zeit noch nicht. Der erste vollständige Beweis ist von Niels Abel (1824). Die Charakterisierung aller Gleichungen deren Nullstellen mit Hilfe von Radikalen auflösbar sind, gelang letztendlich Evariste Galois in Seine Ergebnisse wurde in 1846, erst lange nach Galois Tod, von Liouville publiziert. Diese Ergebnisse bilden die Grundlagen der Galois-Theorie. Mehr über das kurze aber dramatische Leben von Galois lesen Sie auf der MacTutor-Webseite Galois Ergebnisse zu verstehen ist das Ziel dieses Kapitels. Die Idee der Galois-Theorie Wir skizzieren kurz die Idee der Galois-Theorie. Sei K ein Körper (z.b. Q). Einfachheitshalber nehmen wir in der Einleitung an, dass Char(K) = 0 ist. Sei f(x) K[x] ein irreduzibles Polynom von Grad n. Adjungation aller Nullstellen von f an K liefert einen Körper L, in dem f L[x] in Linearfaktoren zerfällt. Dieser Körper heißt Zerfällungskörper von f (Abschnitt 2.2). In der Galois-Theorie wird die Gruppe der Permutationen der Nullstellen von f in Beziehung zur algebraischen Struktur der Erweiterung L/K gesetzt. Wir möchten diese Beziehung an einem einfachen Beispiel erläutern. Beispiel Sei f(x) = x 2 +1 R[x]. Das Polynom zerfällt in Linearfaktoren f(x) = (x + i)(x i) über C R[x]/(x 2 + 1). Die Nullstellen ±i kann man in dieser Konstruktion nicht auseinander halten (Vergleich Beispiel und Satz 1.1.8). Die komplexe Konjugation ι : z = a + bi a bi vertauscht die beiden Nullstellen und lässt die reellen Zahlen fest. Man kann die Gruppe G(f) := ι als Symmetriegruppe der Nullstellen von f auffassen. Diese Gruppe heißt Galois- Gruppe von f (oder der Erweiterung L/K.) Sei nun f K[x] ein Polynom von Grad n dessen Nullstellen in einem Zerfällungskörper L paarweise verschieden sind. Die Galois-Gruppe G(f) (Definition 2.3.1) besteht aus Isomorphismen von L dessen Einschränkung auf K die 17

18 Identität ist. Wir werden zeigen, dass die Elemente von G(f) die Nullstellen von f permutieren. Wir können G(F ) daher als Untergruppe von S n auffassen. Ist f mit Hilfe von Radikalen auflösbar, nennen wir die Gruppe G(f) auflösbar ([2, Abschnitt 6.1]). Man kann zeigen, dass alle Untergruppe von S 4 auflösbar sind und das S 5 nicht auflösbar ist. Um den Satz von Abel Rufini zu zeigen, muss man also ein Polynom mit Galois-Gruppe G(f) S 5 finden. Man kann zeigen, dass das Polynom f(x) = x 5 6x + 3 Galois-Gruppe S 5 besitzt ([10, Chapter 15]). In dieser Vorlesung diskutieren wir diese Geschichte nicht weiter. 2.2 Der Zerfällungskörper eines Polynoms Sei f K[x] ein Polynom. Es existiert eine endliche Erweiterung L/K, in dem f in Linearfaktoren zerfällt (Korollar 1.1.4). Der kleinste Körper mit dieser Eigenschaft heißt Zerfällungskörper: Definition Sei L eine Körperweiterung und f K[x] ein Polynom. Wir sagen, dass L ein Zerfällungskörper von f über K ist, falls: (a) f L[x] zerfällt in Linearfaktoren, (b) L ist die kleinste Körpererweiterung von K, in der f in Linearfaktoren zerfällt, d.h. ist K M L eine echte Teilerweiterung, dann zerfällt f in M[x] nicht in Linearfaktoren. Bemerkung Die Bedingung (b) aus Definition ist äquivalent zu: (b ) L = K(α 1,..., α n ), wobei α i L die Nullstellen von f sind. Der folgende Satz folgt aus Korollar Satz Sei K ein Körper und f K[x] ein Polynom. Es existiert ein Zerfällungskörper L von f über K. Beispiel (a) In Beispiel haben wir gesehen, dass f := x 3 2 = (x 3 2)(x 3 2ζ 3 )(x 3 2ζ 2 3) C[x]. Da 3 2ζ 3 / Q( 3 2), ist Q( 3 2) kein Zerfällungskörper von f über K = Q. Wir behaupten, dass L = Q( 3 2, ζ 3 ) ein Zerfällungskörper von f ist. Offensichtlich enthält L alle drei Nullstellen von f, also zerfällt f über L in Linearfaktoren. Jede Körpererweiterung von Q, die alle drei Nullstellen von f enthält, enthält auch ζ 3, da ζ 3 der Quotient der ersten beiden Nullstellen ist. Dies zeigt die Behauptung. Es gilt auch L = Q( 3 2, 3) Die primitive 3te Einheitswurzel erfüllt ζ 3 = ( 1 + 3)/2, also, da ζ 3 = ( 1 + 3)/2 eine primitive 3te Einheitswurzel ist. Das Minimalpolynom von ζ 3 über Q ist x 2 + x + 1. Also ist [L : Q( 3 2)] [Q(ζ 3 ) : Q] = 2. Wir haben schon gesehen, dass Q( 3 2) L, also ist [L : Q( 3 2)] = 2. Es folgt, dass [L : Q] = [L : Q( 3 2)][Q( 3 2) : Q] = 2 3 = 6. 18

19 (b) Wir betrachten das Polynom x 4 +4 Q[x]. Mittels quadratische Ergänzung finden wir x = (x 4 + 4x 2 + 4) 4x 2 = (x 2 + 2) 2 (2x) 2 = (x 2 + 2x + 2)(x 2 2x + 2). Alternativ kann man auch Koeffizientenvergleich mit der Ansatz x = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) benutzen. Das Eisenstein-Kriterium (Theorem 1.2.3) zeigt, dass die Polynome x 2 ± 2x + 2 Q[x] irreduzibel sind. Die Nullstellen sind ±1 ± i. Also ist Q(i) ein Zerfällungskörper des Polynoms. (c) Sei k ein Körper der Charakteristik p > 0 und a k. Sei f(x) = x p x a k[x]. Ist α eine Nullstelle von f in einem Erweiterungskörper, dass sind die andere p 1 Nullstellen α + 1, α + 2,..., α + p 1 (Lemma 1.3.4). Es folgt, dass k(α) der Zerfällungskörper von f über k ist. Aus dem Beweis von Satz wird nicht klar, ob der Zerfällungskörper von den getroffenen Wahlen abhängt. Wir werden sehen, dass dies nicht der Fall ist: Zwei Zerfällungskörper von f über K sind isomorph (Korollar 2.2.6). Der Beweis beruht auf Satz Wir wiederholen die Situation. Jeder Körperisomorphismus ϕ : K K induziert einen Ringisomorphismus ϕ : K[x] K[x], f(x) = n a i x i f = i=0 n ϕ(a i )x i. (5) Die irreduzible Faktoren von f werden durch ϕ auf dem irreduziblen Faktoren von f = ϕ(f) abgebildet. Satz Sei ϕ : K K ein Körperisomorphismus. Sei f(x) K[x] ein nichtkonstantes Polynom und sei f = ϕ(f) K[x]. Seien L und L Zerfällungskörper für f und f. Es existiert ein Isomorphismus ψ : L L, sodass ψ(α) = α und ψ(a) = ϕ(a) für alle a K: L L ψ i=0 K ϕ K. Falls wir K = K und ϕ = Id im obigen Satz nehmen, erhalten wir die Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie) des Zerfällungskörpers. Dies zeigt folgendes Korollar. Wir werden oft vom Zerfällungskörper eines Polynoms sprechen. Korollar Alle Zerfällungskörper von f K[x] sind isomorph über K. Beweis des Satzes: Wir beweisen den Satz mit Induktion nach Grad(f). Zerfällt f über K in Linearfaktoren, zerfällt f über K in Linearfaktoren. In diesem Fall gilt L = K, L = K und ψ = ϕ und die Aussage stimmt. 19

20 Wir nehmen also an, dass f über K nicht in Linearfaktoren zerfällt. Sei f nichtkonstant und g ein irreduzibler Faktor von f. Wir schreiben g für den entsprechenden Faktor von f. Sei α L (bzw. α in L) eine Nullstelle von f (bzw. f). Nach Satz existiert ein Körperisomorphismus ψ : K(α) K( α) mit ψ(α) = α und ψ(a) = ϕ(a) für alle a K. Der Körper L ist auch der Zerfällungskörper von h(x) = f(x)/(x α) über dem größeren Körper K(α): L L K(α) ψ K( α) K ϕ K. Der Satz folgt mit Induktion nach dem Grad von f. 2.3 Körpererweiterungen und Automorphismen Nachdem wir uns im letzten Abschnitt mit den Nullstellen von Polynome befasst haben, betrachten wir in diesem Abschnitt Automorphismen von Erweiterungen. Wir zeigen in Satz 2.3.2, dass solche Automorphismen die Nullstellen von Polynome permutieren. Dies führt zur Definition von Galois-Erweiterungen und die Galois-Gruppe (Definition 2.3.5). Definition Sei L/K eine Körpererweiterung. Ein K-Automorphismus von L ist ein Körperisomorphismus ϕ : L L mit ϕ(c) = c für alle c K. Die Gruppe aller K-Automorphismen von L bezeichnen wir mit Aut K (L). Wir bezeichnen mit Aut(L) die Automorphismengruppe von L bestehend aus allen Körperisomorphismen von L. Die Gruppe Aut K (L) ist eine Untergruppe von Aut(L). Der folgende Satz zeigt, dass die Elemente von Aut K (L) die Nullstellen in L eines Polynoms f(x) K[x] permutieren. Der Satz ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Bestimmung der Gruppe Aut K (L) in konkreten Fällen. Satz Sei f K[x] und ϕ Aut K (L). Sei α L algebraisch über K. Dann ist ϕ(α) eine Nullstelle des Minimalpolynoms min K (α). Beweis: Sei α L algebraisch über K und f = n i=0 a ix i das Minimalpolynom von α über K. Für ϕ Aut K (L) gilt, dass f(ϕ(α)) = n i=0 a iϕ(α) i = ϕ(f(α)), da a i K ist. Wir schließen, dass ϕ(α) auch eine Nullstelle von f ist. 20

21 Beispiel (a) In Beispiel haben wir die Erweiterung C R[x]/(x 2 + 1)/R betrachtet. Die komplexe Konjugation ι ist ein R-Homomorphismus von C. Sei ϕ Aut R (C) beliebig. Dann ist ϕ insbesondere auch eine R-lineare Abbildung und wird daher von ϕ(1) = 1 und ϕ(i) bestimmt. Es folgt, dass Aut R (C) = ι. (b) Wir betrachten die Körpererweiterung Q( 3 2)/Q. Das Element 3 2 ist die einzige Nullstelle des Minimalpolynom min Q ( 3 2) = x 3 2 in Q( 3 2) (Beispiel 1.1.7). Also ist Aut Q (Q( 3 2)) = {1}. (c) In diesem Kapitel betrachten wir die Gruppe Aut K (L) hauptsächlich für endliche Erweiterungen L/K. Die Endlichkeit wird in Definition aber nicht gefordert. Wir betrachten wir beispielsweise die Erweiterung C(x)/C. Sei L ein Zerfällungskörper von f(x) K[x]. Der Beweis des folgenden Satzes gibt eine Beschreibung der K-Automorphismen von L in Termen der Nullstellen von f in L. Dieses Ergenis ist die Motivation der Definition der Galois-Erweiterungen (Definition 2.3.5). Satz Sei L der Zerfällungskörper über K eines Polynoms f(x) K[x]. (a) Dann gilt Aut K (L) [L : K]. (b) Besitzt f L[x] nur einfache Nullstellen, dann haben wir Gleichheit in (a). Ein Polynom mit einfache Nullstellen in seinem Zerfällungskörper heißt separabel. Wir betrachten diese Eigenschaft genauer in Abschnitt 2.4. Beweis: Wir beweisen den Satz mit Induktion nach [L : K] wie im Beweis von Korollar Ist [L : K] = 1, dann ist L = K und Aut K (L) = {1} und die Aussage stimmt. Wir nehmen an, dass [L : K] > 1 ist. In diesem Fall besitzt f mindestens einen irreduziblen Faktor g mit Grad(g) > 1. Wir wählen eine feste Nullstelle α L von g. Sei ψ Aut K (L). Dann ist β := ψ(α) auch eine Nullstelle von g (Satz 2.3.2) und ψ induziert ein Isomorphismus ϕ : K(α) K(β): L ψ L K(α) ϕ K(β) K Id K. Umgekehrt existiert für jede Nullstelle β L von g ein Isomorphismus ϕ : K(α) K(β) mit ϕ(α) = β und ϕ(a) = a für alle a K (Satz 1.1.8). Satz

22 impliziert, dass ϕ zu einem K-Isomorphismus von L fortgesetzt werden kann. Wir schließen, dass die Anzahl der Isomorphismen ϕ : K(α) K(β) genau die Anzahl der Nullstellen von g ist. Dies ist offensichtlich kleiner gleich Grad(g) = [K(α) : K] mit Gleichheit genau dann, wenn g in L einfache Nullstellen besitzt. Das Polynom g ist ein Teiler von f. Wenn f einfache Nullstellen besitzt, besitzt also auch g einfache Nullstellen. Der Körper L ist auch ein Zerfällungskörper von f über K(α). Es gilt [L : K(α)] < [L : K]. Wir können also die Induktionshypothese auf L/K(α) anwenden. Jeder K-Isomorphismus ϕ : K(α) K(β) besitzt Aut K(α) (L) viele Fortsetzungen ψ : L L. Die Induktionshypothese sagt, dass Aut K(α) (L) [L : K(α)] mit Gleichheit, wenn f einfache Nullstellen besitzt. Der Satz folgt also aus [L : K] = [L : K(α)][K(α) : K]. Definition Eine endliche Körpererweiterung heißt galoisch, wenn gilt: Aut K (L) = [L : K]. In diesem Fall nennt man die Gruppe der K-Automorphismen von L die Galois- Gruppe von L/K. Wir schreiben auch Gal(L/K) := Aut K (L). Ist L der Zerfällungskörper von f K[x], schreiben wir auch G(f) für Gal(L/K). Beispiel (a) Die Erweiterung C/R ist eine Galois-Erweiterung mit Galois- Gruppe ι Z/2Z (Beispiel (a)). (b) Die Erweiterung L := Q( 3 2)/K := Q ist keine Galois-Erweiterung, da Aut K (L) = 1 3 = [L : K] (Beispiel (b)). (c) Sei f(x) = x 3 2 Q[x] und sei L = Q( 3 2, ζ 3 ) der Zerfällungskörper von f über Q (Beispiel (a)). Wir schreiben α 1 = 3 2, α 2 = α 1 ζ 3, α 3 = α 1 = ζ 2 3 mit ζ 3 = e 2πi/3 eine primitive 3te Einheitswurzel. In Beispiel (a) haben wir gezeigt, dass [L : K] = 6. Satz impliziert, dass Aut Q (L) = 6. Die Elemente von Aut Q (L) permutieren die α i. Dies definiert ein Gruppenhomomorphismus Aut Q (L) S 3, der injektiv ist, weil L = Q(α 1, α 2, α 3 ) ist. Beide Gruppen haben Kardinalität 6, also ist Aut Q (L) S 3. Die folgende Tabelle listet die Elemente von Aut Q (L) auf: α 1 α 2 α 3 ζ 3 = α2 α 1 ζ 2 3 Elt. in S 3 Id α 1 α 2 α 3 ζ 3 ζ 2 3 e ϕ 1 α 2 α 1 α 3 ζ 2 3 ζ 3 (1 2) ϕ 2 α 2 α 3 α 1 ζ 3 ζ 2 3 (1 2 3) ϕ 2 2 α 3 α 1 α 3 ζ 3 ζ 2 3 (1 3 2) ϕ 1 ϕ 2 α 1 α 3 α 2 ζ 2 3 ζ 3 (2 3) ϕ 1 ϕ 2 2 α 3 α 2 α 1 ζ 2 3 ζ 3 (1 3). (6) 22

23 (d) Sei q = p n. Theorem zeigt, dass F q der Zerfällungskörper von f q = x q x über F p ist. Im Beweis des Theorems haben wir überprüft, dass f q einfache Nullstellen besitzt. Satz zeigt daher, dass F q /F p eine Galois- Erweiterung ist. Wir bestimmen die Galois-Gruppe. Wir betrachten die Abbildung F : F q F q, x x p. Lemma (c) sagt, dass F ein injektiver Körperhomomorphismus ist. Da F q endlich ist, folgt aus dem Schubfachprinzip, dass F ein Isomorphismus ist. Die Elemente b F p erfüllen b p = b, also ist F Gal(F q /F p ). Wir nennen F der Frobenius- Automorphismus. Die Elemente α F q erfüllen α q = α, also gilt F n (α) = α pn = α q = α und daher ist F n = Id auf F q. Keine kleinere Potenz von F erfüllt dieser Eigenschaft, also besitzt F Ordnung n. Da Gal(F q /F p ) = [F q : F p ] = n, ist F ein Erzeuger der Galois-Gruppe und Gal(F q /F p ) ist zyklisch. 2.4 Separable Körpererweiterungen Eine wichtige Bedingung in Satz ist, dass ein Polynom in seinem Zerfällungskörper einfache Nullstellen besitzt. In diesem Abschnitt betrachten wir diese Bedingung genauer. Definition Sei K ein Körper. (a) Ein Polynom f K[x] heißt separabel, falls f keine mehrfache Nullstelle in seinem Zerfällungskörper besitzt. Ein irreduzibles Polynom, dass nicht separabel ist heißt inseparabel. (b) Sei L/K eine Körpererweiterung. Ein algebraisches Element α L heißt separabel über K, falls das Minimalpolynom min K (α) separabel ist. (d) Eine algebraische Körpererweiterung L/K heißt separabel, falls jedes Element α L separabel ist. Die folgende Aussage folgt direkt aus Satz Im nächsten Abschnitt werden wir zeigen, dass die Umkehrung auch gilt. Dies liefert dann eine vollständige Charakterisierung der Galois-Erweiterungen. Korollar Sei L der Zerfällungskörper über K eines separablen Polynoms f(x) K[x]. Dann ist L/K galoisch. Beispiel (a) Wir geben ein Beispiel eines inseparablen Polynoms. Sei K = F p (t) (Beispiel 1.1.2). Dies ist eine rein transzendente Erweiterung von F p. Wir betrachten f(x) = x p t K[x]. Sei L/K der Zerfällungskörper von f. Das Polynom f besitzt mindestens eine Nullstelle α L. Diese Nullstelle erfüllt f(α) = α p t = 0, also ist α eine p-te Wurzel aus t. Offensichtlich ist α K. In L[x] zerfällt f als f(x) = x p t = x p α p = (x α) p, (7) 23

24 (Lemma 1.3.4), da K ein Körper der Charakteristik p ist. Also ist α eine Nullstelle von f mit Vielfachheit p. Als letztes beweisen wir die Irreduziblität von f. Alternativ kann man dies auch mit einer Verallgemeinerung des Eisenstein-Kriteriums beweisen (siehe Beispiel 3.6.9). Sei g K[x] ein Faktor von f vom Grad 0 < m < p. OBdA dürfen wir annehmen, dass g normiert ist. Dann ist ( ) m g(x) = (x α) m = x m αx m ( 1) m α m K[x]. 1 Die Bedingung an m = Grad(f) impliziert m F p. Der Koeffizient mα von x m 1 in g ist also ungleich Null. Es folgt, dass α K ist. Dies widerspricht die Tatsache, dass K/F p eine rein transzendente Erweiterung ist. Da f nur eine Nullstelle in seinem Zerfällungskörper L besitzt, ist die Galois-Gruppe Aut K (L) = {1} trivial und L/K nicht galoisch. Dies zeigt, dass die Bedingung der Separabilität in Korollar notwendig ist. (b) Sei q = p n eine Primzahlpotenz. Sei α F q. Theorem impliziert, dass min Fp (α) x q x separabel ist. Dies zeigt, dass F p n/f p separabel ist. Das Polynom f(x) = x p a F q [x] besitzt auch eine p-fache Nullstelle. Die Surjektivität des Frobenius-Morphismus (Beispiel (d)) impliziert die Existenz von b F q mit b p = a. Insbesondere ist f(x) = (x b) p K[x] und f ist reduzibel. Das zeigt nochmals, dass das Argument aus (a) über F q nicht funktioniert. Der folgende Satz sagt, dass inseparable Polynome nur in positiver Charakteristik existieren. Satz Sei K ein Körper der Charakteristik 0. Jedes irreduzible Polynom f K[x] ist separabel. Beweis: Sei K ein Körper der Charakteristik 0 und f(x) K[x] ein irreduzibles Polynom. Die formale Ableitung f ist ein Polynom von Grad n 1. (Hier benutzen wir die Annahme Char(K) = 0.) Ist f inseparabel, dass besitzt f eine mehrfache Nullstelle α in seinem Zerfällungskörper und es gilt (x α) g := ggt(f, f ) K[x] (Lemma 1.2.7). Das Polynom g ist ein Teiler von f und besitzt daher Grad kleiner gleich n 1. Das Polynom g ist also eine echte Teiler des irreduziblen Polynoms f, was unmöglich ist. Der folgende Satz gibt eine Charakterisierung von inseparablen Polynome. Der Beweis ist eine Verallgemeinerung des Beweises von Satz Für einem Beweis verweisen wir auf [2, Satz 3.6.2]. 24

25 Satz Sei Char(K) = p > 0 und f K[x] ein irreduzibles Polynom. Wähle r maximal, sodass f(x) = g(x pr ) mit g(x) K[x]. Dann ist g ein irreduzibles, separables Polynom. Insbesondere ist f genau dann inseparabel, wenn r > 0 ist. Beispiel Sei f(x) = x p t K[x] wie in Beispiel (a). Dann ist f(x) = g(x p ) mit g(x) = x t. Die Inseparabilität von f folgt daher auch aus Satz Wir bemerken, dass f = 0, also ggt(f, f ) = f. Der Beweis von Satz funktioniert hier also in der Tat nicht. 2.5 Die Kreisteilungskörper Als Beispiele von Galois-Erweiterungen von Q betrachten wir in diesem Abschnitt die Kreisteilungskörper, den wir jetzt definieren. Sei µ n C die Untergruppe der nten Einheitswurzeln. Dies ist eine zyklische Gruppe mit Erzeuger ζ n := cos(2π/n) + i sin(2π/n). Die Ordnung von ζ i n µ n ist genau dann n, wenn ggt(i, n) = 1 ist. Die Elemente von µ n der Ordnung n sind die primitiven Einheitswurzeln. Wir schreiben ϕ(n) := (Z/nZ) = {0 < i < n ggt(i, n) = 1} für die Anzahl der primitiven nten Einheitswurzel. Die Funktion ϕ heißt eulersche ϕ-funktion. Wir schreiben n = i pai i mit p i paarweise verschiedene Primzahlen. Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes (Abschnitt 3.3) zeigt man ϕ(n) = i p ai i (p i 1). Die Körper K n := Q(ζ n ) heißen Kreisteilungskörper. Wir bestimmen das Minimalpolynom von ζ n über Q. Dazu definieren wir das nte Kreisteilungspolynom als Φ n (x) := (x ζn). i i (Z/nZ) Wir werden zeigen, dass Φ n = min Q (ζ n ) ist. Zunächst ist Φ n (x) ein Polynom mit Koeffizienten in C. Das folgende Lemma zeigt, dass Φ n (x) Z[x] ist. Lemma (a) Es gilt: x n 1 = d n Φ d. (b) Für alle n 1, ist Φ n (x) ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Beweis: Wir bemerken zuerst, dass n 1 x n 1 = (x ζn) i C[x]. i=0 Falls d n, ist jede dte Einheitswurzel auch ein nte Einheitswurzel. Insbesondere ist ζ d = ζn n/d. Teil (a) folgt hieraus. 25