Definitionen und Sätze der Algebra. Daniel Jaud

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1 Definitionen und Sätze der Algebra Daniel Jaud August 8, 2013

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3 Contents 1 Gruppen Elementare Gruppeneigenschaften Zyklische Gruppen Normalteiler und Faktorgruppen Gruppenoperationen Direkte und semidirekte Produkte Die Sylow-Sätze Permutationsgruppe und Diedergruppen Gruppen kleiner Ordnung Ringe Grundlegende Eigenschaften von Ringen Euklidische Ringe Faktorielle Ringe Chinesischer Restsatz Irreduzibilität Körper Grundlegende Körpereigenschaften Galoistheorie Einheitswurzeln und Kreisteilunspolynome Endliche Körper Zahlentheorie 33 3

4 4 CONTENTS

5 Chapter 1 Gruppen 1.1 Elementare Gruppeneigenschaften 1. Eine nichtleere Menge G zusammen mit einer Abbildung : G G G heißt Gruppe, falls gilt: (a) g, h, l G ist g (h l) = (g h) l. (b) e G, sodaß g e = e g = g, g G. (c) g G h G, sodaß g h = e. ist nur a) erfüllt, so heißt G eine Halbgruppe. Gilt zusätzlich d) g h = h g g, h G so heißt die Gruppe abelsch (kommutativ). 2. Eine nichtleere Teilmenge U G heißt Untergruppe falls sie selbst wieder eine Gruppe ist. 3. Die Anzahl der Elemente einer Gruppe G heißt Ordnung von G und wird mit G < bezeichnet. Ist G <, so heißt G endlich. 4. Seien (G, ), (H, ) Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung φ : G H, die φ(g h) = φ(g) φ(h) für alle g, h G erfüllt. 5. Ein Gruppenhomomorphismus φ : G H heißt (a) Endomorphismus, falls G = H gilt. (b) Isomorphismus, falls φ bijektiv ist. (c) Automorphismus, falls G = H gilt und φ bijetiv ist. 6. Zwei Gruppen G, H heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus φ : G H gibt. Wir schreiben dann G = H. 5

6 6 CHAPTER 1. GRUPPEN 7. Ist φ ein Gruppenhomomorphismus und e das neutrale Element von H, so heißt {g G φ(g) = e} der Kern von φ und wird mit ker(φ) bezeichnet. Die Menge {h H φ(g) = h, g G} heißt das Bild von φ und wird mit im(φ) bezeichnet. 8. Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von φ nur aus dem neutralen Element von G besteht. 9. Sei G eine endliche Gruppe und φ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist im(φ) eine Untergruppe von H, ker(φ) eine Untergruppe von G und es gilt G = im(φ) ker(φ). 10. Sei G eine Gruppe und X eine nichtleere Teilmenge von G. Die Menge < X >:= {x 1... x l l N, x i X x 1 i X, 1 i l} ist eine Untergruppe von G und heißt die von X erzeugte Untergruppe. Ist U eine Untergruppe von G und X eine Teilmenge mit U =< X >, so heißt X ein Erzeugendensystem von U. 11. Sei G eine Gruppe. Die Untergruppe < {ghg 1 h 1 g, h G} > heißt Kommutatoruntergruppe von G. 12. Sei G eine Gruppe und X ein Erzeugendensystem von G. (a) Gilt ab = ba a, b X, si ist G abelsch. (b) Stimmen zwei Gruppenhomomorphismen φ, ψ auf X überein, so gilt φ = ψ.

7 1.2. ZYKLISCHE GRUPPEN Zyklische Gruppen 1. Sei G eine Gruppe und g G. Die Ordnung der von {g} erzeugten Untergruppe heißt Ordnung von g. Man schreibt dafür ord(g). Die von {g} erzeugte Untergruppe wird mit < g > bezeichnet. Falls es ein g G gibt mit G =< g >, heißt G zyklisch, d.h von einem Element erzeugt. 2. Gibt es ein a N \ {0} mit g a = e, so ist ord(g) ein Teiler von a, d.h. ord(g) a. 3. Ist p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p, so ist G zyklisch. 4. Zyklische Gruppen sind abelsch. 5. Ist G =< z > eine zyklische Gruppe der Ordnung n N, so ist φ : Z/nZ G, a + (n) z a ein Isomorphismus von Gruppen. Bis auf Isomorphie gibt es also genau eine zyklische Gruppe der Ordnung n N. 6. Sei n N. Die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen m N mit 1 m n wird mit φ(n) bezeichnet. Die Funktion φ : N N, n φ(n) heißt Eulersche Phi-Funktion. 7. Sei φ die Eulersche Phi-Funktion. (a) Für eine Primzahl p und einer natürlichen Zahl k > 0 gilt φ(p k ) = p k 1 (b) Für die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n = p k1 1...pk l l gilt (c) Es gilt die Summenformel φ(n) = φ(p k1 1 )...φ(pk l l ) n = d n,n 1 φ(d) 8. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n N und φ die eulersche Phi-Funktion. Dann hat G genau φ(n) erzeugende Elemente, also φ(n) Elemente der Ordnung n. 9. Sei G eine endliche Gruppe. Ist G abelsch, so gibt es zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe dieser Ordnung. Ist G zyklisch, so gibt es zu jedem Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe dieser Ordnung.

8 8 CHAPTER 1. GRUPPEN 10. Sei G eine Gruppe. Die Menge aller Automorphismen auf G mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ist eine Gruppe und heißt Automorphismengruppe von G. Sie wird mit Aut(G) bezeichnet. 11. Die Automorphismengruppe der zyklischen Gruppe (Z/nZ, +) ist isomorph zur Einheitengruppe des Rings Z/nZ. 12. Seien m, n N mit ggt (m, n) = 1. Dann gilt Z/nZ Z/mZ = Z/(n m)z 13. (Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen) Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gibt es zyklische Untergruppen Z 1,..., Z r von G mit G = Z 1... Z r. Die Ordnung der Z i sind Primzahlpotenzen. Die Anzahl der zyklischen Untergruppen einer gegebenen Ordnung ist dabei eindeutig bestimmt.

9 1.3. NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN Normalteiler und Faktorgruppen 1. Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Die Menge gu := {gu u U} heißt Linksnebenklasse von g bezüglich U (analog Rechtnebenklasse). Die Anzahl der Linksnebenklassen ist gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen bezüglich U und heißt Index von U in G. Der Index wird mit [G : U] bezeichnet. 2. Sei Y eine endliche Menge, seien X 1,..., X n Teilmengen von Y. Man sagt, X 1,..., X n bilden eine Partition von Y, falls die Teilmengen paarweise disjunkt sind und Y = X 1... X n gilt. 3. Sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann bilden die Rechtsnebenklassen (bzw. die Linksnebenklassen) von U eine Partition von G. 4. (Lagrange) Ist U Untergruppe einer endlichen Gruppe G, dann gilt G = [G : U] U. 5. Sei G eine Gruppe und U eine Teilmenge von G. Die Menge U heißt Normalteiler von G, wenn U eine Untergruppe von G ist und eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: (a) Für alle g G gilt gug 1 U. (b) Für alle g G gilt gug 1 = U. (c) Für alle g, h G gilt (gu)(hu) = ghu. (d) Für alle g G gilt gu = Ug. 6. Jede Gruppe G hat mindestens zwei Normalteiler, nämlich {e} und G. Diese beiden Normalteiler werden als triviale Normalteiler bezeichnet. 7. Ist G abelsch, so ist jede Untergruppe von G Normalteiler von G. 8. Ist N ein Normalteiler einer Gruppe G, so bilden die Nebenklassen von N mit der Verknüpfung (gn)(h(n) = ghn eine Gruppe. Sie heißt Faktorgruppe von G modulo N und wird mit G/N bezeichnet. 9. Sei G eine endliche Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann gilt G = N G/N. 10. Eine Gruppe die keinen Normalteiler außer {e} und G hat heißt einfach. 11. Die Vereinigung von Normalteilern ist wieder ein Normalteiler. 12. Sei G eine Gruppe und U eine endliche Untergruppe von G. Ist U die einzige Untergruppe der Ordnung U von G, dann ist U ein Normalteiler von G.

10 10 CHAPTER 1. GRUPPEN 13. Ist p der kleinste Primteiler von G und U eine Untergruppe vom Index p in G, dann ist U ein Normalteiler von G. 14. Sei G eine Gruppe und X eine nichtleere Teilmenge von G. Die Menge N G (X) := {g G gxg 1 = X} heißt Normalisator von X in G. 15. Sei G eine Gruppe. Für eine nichtleere Teilmege X und eine Untergruppe H von G heißt Z H (X) := {g H gx = xg x X} Zentralisator von X in H und Z(G) := {g G gh = hg h G} heißt Zentrum von G. Das Zentrum heißt trivial, wenn Z(G) = {e}. 16. Sei G eine Gruppe. Für eine Teilmenge X und eine Untergruppe H von G ist der Zentralisator Z H (X) eine Untergruppe von G. Das Zentrum von G ist ein Normalteiler von G. 17. (Homomorphiesatz) Sei φ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist φ : G/ker(φ) H g ker(φ) φ(g) injektiv. Insbesondere ist G/ker(φ) = im(φ). 18. (1. Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G. Dann ist HN eine Untergruppe von G mit Normalteiler N und H N ist ein Normalteiler von H. Weiter ist H/(H N) = HN/N. 19. (2. Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe und seien N; H Normalteiler von G mit N H. Dann ist N eine Normalteiler von H, H/N ein Normalteiler von G/N und es gilt (G/N)(H/N) = G/H. 20. (3. Isomorphiesatz) Sei φ : G H ein Gruppenhomomorphismus, M ein Normalteiler von H und N := φ 1 (M). Dann gibt es einen injektiven Homomorphismus Φ : G/N H/M. Falls φ surjektiv ist, ist Φ ein Isomorphismus. 21. Eine endliche Gruppe G heißt auflösbar, wenn es Untergruppen U 0,..., U l von G gibt, für die gilt: (a) G = U 0 U 1... U l = {e}, (b) U i+1 ist ein Normalteiler von U i, i und (c) U i /U i+1 ist abelsch für alle i = 0,..., l Abelsche Gruppen sind auflösbar. 23. Ist G auflösbar, so ist jede Untergruppe und jede Faktorgruppe von G auflösbar. 24. Sei N ein Normalteiler einer Gruppe G. Die Gruppe G ist genau dann auflösbar, wenn N und G/N auflösbar sind.

11 1.4. GRUPPENOPERATIONEN Gruppenoperationen 1. Sei G eine Gruppe und M eine Menge. Man sagt, G operiert auf M mittels γ, falls es eine Abbildung γ : G M M gibt, für die gilt: (a) e G.m = m m M; (b) g (h.m) = (g h).m Eine solche Abbildung heißt (Gruppen-)Operation von G auf M. 2. (Satz von Cayley) Jede endliche Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S n. 3. Sei G eine Gruppe, M eine Menge und γ : G M M eine Gruppenoperation. (a) Für m M heißt B m = {g.m g G} die Bahn von m unter γ. (b) Die Operation γ heißt transitive Operation, falls es nur eine Bahn gibt, d.h. falls B m = M für alle m M. (c) Für m M ist die Menge G m = {g G g.m = m} eine Untergruppe von G. Sie heißt Fixgruppe oder Stabilisator von m. 4. Sei G eine endliche Gruppe und γ eine Gruppenoperation. Dann gilt für alle m M: G = B m G m 5. (Bahnengleichung) Eine Gruppe G operiere auf eine Menge M durch γ. Seien B m1,..., B ml die verschiedenen Bahnen unter γ. Dann bilden die Bahnen eine Parition von M und es gilt: M = l B mj 6. Eine Gruppe G operiert genau dann transitiv auf eine Menge M durch γ, wenn es für alle m 1, m 2 M ein g G gibt mit g.m 1 = m 2. j=1

12 12 CHAPTER 1. GRUPPEN 1.5 Direkte und semidirekte Produkte 1. Seien U; V Untergruppen einer Grupp G. Die Menge UV := {uv u U, v V } heißt Komplexprodukt von U und V. 2. Sei G eine Gruppe. Ist U eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G, dann gilt < N U >= NU. Ist zusätzlich N U = {e}, so gilt NU = N U.

13 1.6. DIE SYLOW-SÄTZE Die Sylow-Sätze 1. Gruppen der Ordnung p n für eine Primzahl p und eine natürliche Zahl n heißen p-gruppen. Untergruppen einer Gruppe, die p-gruppen sind, heißen p-untergruppe. 2. Das Zentrum einer p-gruppe G ist nichttrivial. Gruppen der Ordnung p 2 für eine Primzahl p sind abelsch. 3. Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. Ist S p eine Untergruppe von G der Ordnung p k für ein k N und p j kein Teiler von G für alle j > k, so heißt S p eine p-sylow-untergruppe von G. 4. (Die Sylow-Sätze) Sei G eine endliche Gruppe. Es sei G = p k m mit einer Primzahl p und es gelte ggt (p, m) = 1. Mit s p sei die Anzahl der p-sylow-untergruppen von G bezeichnet. (a) Ist p j eine Primzahlpotenz, die G teilt, so hat G eine Untergruppe der Ordnung p j. (b) Ist H eine p-untergruppe von G, so gibt es eine p-sylow-untergruppe von G, die H enthält. (c) Je zwei p-sylow-untergruppen von G sind konjugiert, d.h. es gibt ein g G mit S p,1 = gs p,2 g 1. (d) Es gilt s p 1 mod p und s p m. (e) Ist S p eine p-sylow-untergruppe von G, so gilt s p = [G : N G (S p )].

14 14 CHAPTER 1. GRUPPEN 1.7 Permutationsgruppe und Diedergruppen 1. Sei M eine nichtleere Menge. Die Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen von M wird Permutationsgruppe oder symmetrische Gruppe von M genannt und mit S M bezeichne. Im Fall M = {1,..., n} schreibt man auch S n anstelle von S M. 2. Die Elemente con S M heißen Permutationen und können in Zyklenschreibweise dargestellt werden. Dabei ist der k-zykel oder k-zyklus (a 1, a 2,..., a k ) diejenige Permutation, die a 1 auf a 2, a 2 auf a 3, usw. und a k auf a 1 abbildet. Die Zahl k heißt Länge des Zyklus. Ein Zyklus der Länge 2 heißt Transpositions. Zwei Zyklen (a 1,..., a k ) und (b 1,..., b l ) heißen disjunkt, falls {a 1,..., a k } {b 1,..., b l } = Sei n N (a) Die symmetrische Gruppe S n hat Ordnung n!. (b) Für n 3 ist S n nicht abelsch. (c) Jede Permutation in S M bzw. S n kann als Produkt von Transpositionen dargestellt werden. (d) Jede Permutation in S M bzw. S n kann als Produkt disjunkter Zyklen dargestellt werden. (e) Disjunkte Zyklen sind vertauschbar. (f) Die Ordnung eines k-zyklus ist k. die Ordnung eines Produkts disjunkter Zyklen ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnung der Faktoren. 4. Ist p eine Primzahl und U eine Untergruppe von S p, die einen p-zykel und einetransposition enthält, so ist U = S p. 5. Sind σ und (a 1,..., a k ) Elemente von S n, so gilt σ (a 1,..., a k ) σ 1 = (σ(a 1 ),..., σ(a k )) 6. Die symmetrische Gruppe S n ist genau dann auflösbar, wenn n 4 ist. 7. Sei σ S n. Dann ist σ = τ 1...τ l für ein l N und Transpositionen τ i S n. Die Zahl sign(σ) := ( 1) l heißt Signum von σ. Die Permutation σ heißt gerade, falls sign(σ) = 1. Andernfalls heißt σ ungerade. 8. Die Menge aller gerader Permutationen in S n ist eine Untergruppe von S n. Sie heißt alternierende Gruppe der Ordnung n und wird mit A n bezeichnet. 9. (a) Die alternierende Gruppe A n hat Ordnung n! 2. (b) Die Untergruppe A n S n ist ein Normalteiler vom Index 2 von S n. (c) Die Gruppe A n ist die einzige Untergruppe der Ordnung n! 2 von S n.

15 1.7. PERMUTATIONSGRUPPE UND DIEDERGRUPPEN 15 (d) Jedes Element von A n ist Produkt von 3-Zyklen. 10. (a) Für 5 n N ist A n einfach. (b) Die Gruppe A 5 ist die kleinste nichtzyklische einfache Gruppe. 11. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-ecks im R 2 heißt n-te Diedergruppe und wird mit D n bezeichnet. 12. (Charakterisierungen von Diedergruppen) (a) Ist G eine Gruppe der Ordnung 2n, σ G ein Element der Ordnung n und τ G\ < σ > ein Element der Ordnung 2, für das στ = τσ 1 gilt, so ist G isomorph zur Diedergruppe D n. (b) Sei G eine Gruppe der Ordnung 2n mit neutralem Element id. Es gelte G = {σ j 0 j n} {τσ j 0 j n}, σ n = id, τ 2 = id und στ = τσ 1. Dann ist G isomorph zu D n.

16 16 CHAPTER 1. GRUPPEN 1.8 Gruppen kleiner Ordnung Bis auf Isomorphie enthält die folgende Tabelle alle Gruppen der Ordnung 1 bis 15. Ordnung abelsche Gruppen nichtabelsche Gruppen 1 {e} - 2 Z 2-3 Z 3-4 Z 4, Z 2 Z 2-5 Z 5-6 Z 6 S 3 7 Z 7-8 Z 8, Z 2 Z 4, Z 2 Z 2 Z 2 D 4, Q 9 Z 9, Z 3 Z 3-10 Z 10 D 5 11 Z Z 12, Z 2 Z 6 D 6, A 4, Z 3 Z 4 13 Z Z 14 D 7 15 Z 15 - Dabei bezeichne Z n die zyklische Gruppe der Ordnung n, Q die Gruppe {±E, ±A, ±B, ±C} mit E := ( ) , A := ( 0 ) 1 1 0, B := ( ) 0 i i 0, C := ( ) i 0 0 i

17 Chapter 2 Ringe 2.1 Grundlegende Eigenschaften von Ringen 1. Ist (R, +) eine abelsche Gruppe, (R, ) eine Halbgruppe und gilt r (s+t) = r s + r t für alle r, s, t R, so heißt (R, +, ) ein Ring. Ein Ring heißt kommutativ, falls r s = s r für alle r, s R gilt. Gibt es ein Element 1 im Ring, sodaß 1 r = r 1 = r r R gilt, so heißt R ein Ring mit Eins. 2. Sei S ein Ring mit Eins, Eine nichtleere Teilmenge R von S heißt auch Unterring von S, wenn 1 R und für alle r, s R sowohl s r R als auch rs R gilt. 3. Sei R ein Unterring eines Rings S. Für alle a S ist R[a] := {f(a) f R[x]} ( R adjungiert a ) ein Unterring von S undzwar der kleinste Unterring von S, der R und a enthält. 4. Sei R ein Ring mit Eins und 0 1. Ein Element r R heißt Einheit in R, falls es ein s R gibt mit rs = 1. Andernfalls heißt r eine Nichteinheit. 5. Sei R ein Ring mit Eins und 0 1. Die Einheiten von R bilden mit der Multiplikation des Rings eine Gruppe. Sie heißt Einheitengruppe von R und wird mit R bezeichnet. 6. Sei R ein Ring mit Eins und 0 1. (a) Zwei Elemente s, r R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit e R gibt, mit re = s. (b) Ein Element r R heißt irreduzibel, falls r R \ (R {0}) gilt und aus r = ab mit a, b R folgt, dass entweder a oder b eine Einheit ist, andernfalls heißt r reduzibel. 17

18 18 CHAPTER 2. RINGE (c) Ein Element t R heißt Teiler eines Elements r R, falls es ein s R gibt, mit r = st. Man schreibt: t r. (d) Zwei Elemente r, s R heißen teilerfremd, wenn für alle a R mit a r und a s gilt a R. (e) Ein Element p R heißt Primelement oder prim in R, falls p R \ (R {0}) gilt und aus p ab für alle a, b R folgt, dass p a oder p b gilt. (f) Gibt es zu einem Element r R\{0} ein Element s R\{0} mit rs = 0, so heißt r ein Nullteiler. Andernfalls heißt r ein Nichtnullteiler. (g) Ein Element a R heißt nilpotent, wenn es ein n N gibt mit a n = Sei R ein Ring mit Eins und 0 1. Sei r R \ {0}. (a) Ist r ein Nullteiler, so ist r keine Einheit (b) Ist R endlich und r kein Nullteiler, so ist r eine Einheit. 8. Sei R ein Ring. Ist R nullteilerfrei, kommutativ und gilt 0 1, so heißt R Integritätsring oder auch Integritätsbereich. 9. Die Einheitengruppe des Rings Z/nZ hat die Ordnung φ(n), wobei φ die Eulersche Phi-Funktion bezeichne. Das Element m + (n) = m ist genau dann eine Einheit in Z/nZ, wenn m und n teilerfremd sind. 10. Seine R, S Ringe mit Eins. Eine Abbildung φ : R S heißt Ringhomomorphismus, falls für alle r, s R gilt: (a) φ(r + s) = φ(r) + φ(s), (b) φ(rs) = φ(r)φ(s), (c) φ(1) = Sei R ein Ring. (a) Eine nichtleere Teilmenge I R mit a b I und ra I für alle a, b I und r R heißt Ideal von R. (b) Ein Ideal I von R mit I R heißt Primideal von R oder auch prim, falls aus ab I stets a I oder b I folgt. (c) Ein Ideal I von R heißt echtes Ideal, falls I R. (d) Ein Ideal von R heißt maximal, falls I ein echtes Ideal von R ist und es kein Ideal J R gibt mit I J. 12. Sei R ein Ring, I ein Ideal von R und e R eine Einheit. Ist e I, so gilt I = R.

19 2.1. GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN VON RINGEN Sei R ein Ring und M eine nichtleere Teilmenge von R. Die Menge {r 1 m r l m l l N, m i M, r i R} ist ein Ideal von R und heißt dass von M erzeugte Ideal. Es wird mit < M > bezeichnet. 14. Jedes maximale Ideal ist ein Primideal. 15. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und I ein Ideal von R. Die additive Faktorgruppe R/I bilde zusammen mit der Multiplikation (r+i) (s+i) rs + I einen kommutativen Ring mit Nullelement 0 + I und Einselement 1 + I. Er heißt Faktorring oder Restklassenring. 16. (Homomorphiesatz) Sei φ : R S ein Ringhomomorphismus. Dann ist φ : R/ker(φ) S r + ker(φ) φ(r) injektiv. Insbesondere ist R/ker(φ) = im(φ). 17. (1. Isomorphiesatz) Sei R ein Ring und seien I, J Ideale von R. Dann gilt R/J = I/(I J). 18. (2. Isomorphiesatz) Sei R ein Ring und seien I, J Ideale von R mit I J. Dann gilt R/J = (R/I)/(R/J). 19. (Korrespondenzsatz) Sei R ein Ring und I ein Ideal von R. Die Ideale (Primideale, maximalen Ideale) in R/I entsprechen bijektiv den Idealen (Primidealen, maximalen Idealen) in R, die I enthalten. Der zugehörige Isomorphismus ist der kanonische Epimorphismus ɛ : R R/I. 20. Sei R ein Ring und I ein Ideal in R. Dann gilt: (a) R/I ist genau dann ein Integritätsring, wenn I ein Primideal von R ist. (b) R/I ist genau dann ein Körper, wenn I ein maximales Ideal von R ist. 21. Ein Ring R ist genau dann ein Körper, wenn er keine Ideale außer die trivialen Ideale, < 0 > und R, besitzt.

20 20 CHAPTER 2. RINGE 2.2 Euklidische Ringe 1. Sei R ein Ring. Ein Ideal I von R heißt Hauptideal, wenn es ein Element a R gibt mit I =< a >. Ist R ein Integritätsring und jedes Ideal von R ein Hauptideal, so heißt R Hauptidealring oder auch Hauptidealbereich. 2. Seien I =< a > und J =< b > Hauptideale im Ring R. (a) Es gilt I J genau dann, wenn b ein Teiler von a ist. (b) Es gilt I = J genau dann, wenn a und b assoziierte Elemente sind. 3. Der Ring Z ist ein Hauptidealring. 4. Sei R ein Hauptidealbereich. Dann ist jedes irreduzible Element prim, die Primideale < 0 > sind genau die durch irreduzible Elemente erzeugten Ideale und jedes Primideal ist maximal. 5. Eine Menge M heißt wohlgeordnet, wenn eine lineare Ordnung M auf M existiert und wenn jede nichtleere Teilmenge von M bezüglich M ein kleinstes Element besitzt. 6. Ein Integritätsring R heißt euklidisch, wenn es eine Abbildung N : R Z { } gibt, für die gilt: (a) Das Bild von N ist wohlgeordnet. (b) Ist a 0 das kleinste Element im Bild von N, so ist N(r) = a 0 genau dann, wenn r = 0. (c) Für alle r, s R, s 0 gibt es Elemente q, t R mit r = qs + t und N(t) < N(s). 7. Euklidische Ringe sind Hauptidealringe. 8. Der Ring Z[i] ist ein euklidischer Ring mit euklidischer Normfunktion a + ib a 2 + b Ist K ein Körper, so ist K[x] ein euklidischer Ring mit Normfunktion f deg(f). 10. (Euklidischer Algorithmus) Dient zur Bestimmung des ggt.

21 2.3. FAKTORIELLE RINGE Faktorielle Ringe 1. Ein Integritätsring heißt faktorieller Ring, wenn sich jedes von 0 verschiedenes Element als Produkt von Primelementen und Einheiten darstellen läßt. Eine solche Darstellung heißt Primfaktorzerlegung. 2. Sei Rein faktorieller Ring und r R. Sind r = ep 1 p k und r = e q 1 q l zwei Prinmfaktorzerlegungen von r mit Primelemten p i, q j und Einheiten e, e, so gilt: (a) k = l (b) Es gibt eine Permutation σ S l, sodaß für jedes i {1,..., k} die Elemente p i und q σ(i) assoziierte Elemente sind. 3. Hauptidealbereiche sind faktoriell. 4. Ist R ein faktorieller Ring, so ist auch R[x] ein faktorieller Ring. 5. Ist R ein faktorieller Ring, so ist ein Element r R genau dann irreduzibel, wenn es prim ist.

22 22 CHAPTER 2. RINGE 2.4 Chinesischer Restsatz 1. Seien I 1,..., I n Ideale eines Rings R. Dann heißen I 1,..., I n paarweise relativ prim, wenn für i j gilt I i + I j = R. 2. Sind I 1,..., I n paarweise relativ prim, so gilt I 1 I n = I 1... I n. 3. (Chinesischer Restsatz) Sind I 1,..., I n paarweise relativ prim, so ist die kanonische Abbildung ein Isomorphismus. π : R/I 1... n R/I 1... R/I n r + I 1... I n (r + I 1,..., r + I n )

23 2.5. IRREDUZIBILITÄT Irreduzibilität 1. Sei R ein Ring. Ein Polynom f R[X] heißt irreduzibel in R[X] oder über R, falls aus f = gh für g, h R[X] folgt, dass entweder g oder h eine Einheit in R[X] ist. 2. Der Ring R[X] ist genau dann ein Integritätsring, wenn R ein Integritätsring ist. Ist R[X] ein Integritätsring, so gilt (R[X]) = R. 3. Sei f = a 0 + a 1 X a n X n Z[X] mit a n 0. Ist p q eine rationale Nullstelle von f mit p, q Z und ggt (p, q) = 1, so gilt q a n und p a Sei R ein faktorieller Ring und S ei Integritätsring. Weiter sei φ : R[X] S ein Ringhomomorphismus, der kein Polynom positiven Grades auf eine Einheit abbildet. Das Polynom f R[X] sei vom Grad > 0 und habe teilerfremde Koeffizienten. Ist φ(f) irreduzibel in S, so ist f irreduzibel in R[X]. 5. (a) Ist f = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 Q[X], dann hat das Polynom f(x a2 3a 3 ) keinen quadratischen Term. (b) Ist g = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 Q[X]. Dann hat das Polynom g(x a3 4a 4 ) keinen kubischen Term. 6. Sei R ein Integritätsring. Für zwei Polynome f, g gilt deg(fg) = deg(f) + deg(g) 7. Sei R ein Integritätsring und f R[X] ein Polynom vom Grad 2 oder Grad 3, das in R keine Nullstellen besitzt. Dann ist f irreduzibel über R. 8. (Koeffizientenreduktion) Sei f = a 0 + a 1 X a n X n Z[X] mit a n 0, n > 0 und teilerfremden Koeffizienten. Sei p N eine Primzahl mit a n 0 mod p. Ist f = n j=0 ājx j irreduzibel in F p [X], so ist f irreduzibel in Z[X]. 9. (Eisenstein) Sei R ein faktorieller Ring und f = n j=0 a jx j R[x] von positivem Grad mit teilerfremden Koeffizienten. Gibt es ein Primelement p R mit p a n, p a j für alle j {0,..., n 1} und p 2 a 0, so ist f irreduzibel in R[x]. 10. Für einen Integritätsring R heißt der Quotientenkörper von R. Q(R) := { r r, s R, s 0} s 11. (Gauß) Sei R ein faktorieller Ring und Q(R) sein Quotientenkörper. Ist f R[X] \ R irreduzibel in R[X], so ist f auch irreduzibel in Q(R)[X].

24 24 CHAPTER 2. RINGE

25 Chapter 3 Körper 3.1 Grundlegende Körpereigenschaften 1. Ein kommutativer Ring K mit Nullelement 0 und Einselement 1 0 heißt Körper, falls K = K \ {0} gilt. 2. Körper sind nullteilerfrei. 3. Der Ring Z/nZ ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. 4. Sei K ein Körper. Eine Teilmenge k K heißt Teilkörper von K, wenn k ein Körper ist 5. Sei K ein Körper. Gibt es eine natürliche Zahl n > 1 mit n1 = 0, so heißt die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft Charakteristik von K und wird mit char(k) bezeichnet. Falls kein solches n existiert, wird char(k) = 0 definiert. 6. Der kleinste Teilkörper von K heißt Primkörper von K. 7. Seien K, L Körper. (a) Ist char(k) = 0, so ist der Primkörper von K isomorph zu Q. Im Fall p := char(k) 0 ist der Primkörper von K isomorph zu Z/pZ. (b) Ist φ : K L ein Körperhomomorphismus und P der Primkörper von K, so gilt φ(x) = x für alle x P. 8. Seien K, L Körper (a) Ist K ein Teilkörper von L, so heißt L ein Erweiterungskörper von K. (b) Ist L ein Erweiterungskörper von K, dann heißt das Tupel (K, L) eine Körpererweiterung. Für eine Körpererweiterung (K, L) sind verschiedene Schreibweisen üblich: K L, K L, L K, L/K oder auch L : K. 25

26 26 CHAPTER 3. KÖRPER (c) Ein Körper Z mit L : Z : K heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung L : K 9. Sei K ein Körper, L ein Erweiterungskörper von K und M eune Teilmenge von L. Der Körper K(M) sei der kleinste Teilkörper von L, der k und M enthält. Mansagt, K(M) entsteht aus K durch Adjunktion von M. Im Falle einer endlichen Menge M = {α 1,..., α n } mit n N schreibt man auch K(α 1,..., α n ). 10. Sei L : K eine Körpererweiterung. Der Grad von L über K ist die Dimension von L als K-Vektorraum. Sie wird mit [L : K] bezeichnet. Eine Körpererweiterung L : K heißt endlich, wenn der Grad endlich ist. 11. (Gradformel) Ist L : K eine endliche Körpererweiterung und Z ein Zwischenkörper von L : K, so gilt [L : K] = [L : Z] [Z : K] 12. Sei L : K eine Körpererweiterung. ein Element α L heißt algebraisch über K, wenn es ein Polynom f K[X] \ {0} gibt mit f(α) = 0. Die Körpererweiterung heißt algebraisch, falls alle Elemente aus L algebraisch über K sind. 13. Ist α L algebraisch über K, so heißt das normierte, irreduzible Polynom kleinsten Grades m α,k K[X] mit m α,k (α) = 0 das Minimalpolynom von α über K. 14. Das Minimalpolynom von α über K teilt alle Polynome in K[X] die α als Nullstelle haben. 15. Sei α L algebraisch über K. Sei f K[X] ein normiertes, über K irreduzibles Polynom mit f(α) = 0. Dann ist f das Minimalpolynom von α über K. 16. Es gilt: [K(α) : K] = deg(m α,k ) 17. Sei L : K eine Körpererweiterung. (a) Sei α L algebraisch über K und n der Grad des Minimalpolynoms von α über K. dann ist die Menge {1, α, α 2,..., α n 1 } eine Basis des K-Vektorraums K(α). (b) Sei Z ein Zwischenkörper von L : K. Ist {a 1,..., a n } eine Basis des K-Vektorraums Z und {b 1,..., b m } eine Basis des Z-Vektorraums L, dann ist {a i b j 1 i n, 1 j m} eine Basis des K-Vektorraums L. 18. Sei K ein Körper und α, β algebraisch über K. Weiter sei [K(α) : K] = n, [K(β) : K] = m mit ggt (n, m) = 1. Dann gilt [K(α, β) : K] = n m.

27 3.1. GRUNDLEGENDE KÖRPEREIGENSCHAFTEN Sei K ein Körper. (a) K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes Polynom f K[x] mit deg(f) 1 über K in Linearfaktoren zerfällt. (b) Sei L ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper von K. Dann heißt K = {α L α algebraisch über K} algebraischer Abschluß von K. 20. (Fundamentalsatz der Algebra) Der Körper der komplexen Zahlen C ist algebraisch abgeschlossen. 21. (Hauptlemma der elementaren Körpertheorie) Sei K ein Körper und L ein algebraischer Abschluß von K. Sei α L mit Minimalpolynom f = X n + a n 1 X n 1 + +a 0 K[X] und sei K = K(α). Weiterhin sei σ : K L ein Körperhomomorphismus und f σ = X n + σ(a n 1 )X n σ(a 0 ) L[X]. (a) Ist σ : K L ein Körperhomomorphismus, der σ fortsetzt, so ist σ (α) eine Nullstelle von f σ. (b) Umgekehrt gibt es zu jeder Nullstelle β L von f σ genau eine Fortsetzung σ : K L von σ mit σ (α) = β. Insbesondere ist die Anzahl der verschiedenen Fortsetzungen σ von σ gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f σ in L, also höchstens deg(f). 22. Sei K ein Körper. Ein irreduzibles Polynom f K[x] heißt seperabel, wenn seine Nullstellen im algebraischen Abschluss von K paarweise verschieden sind. Ein beliebiges Polynom f K[x] heißt seperabel, wenn alle seine irreduziblen Faktoren separabel sind. Ein Element α heißt seperabel über K, wenn α algebraisch über K ist und das Minimalpolynom von α über K seperabel ist. Eine Körpererweiterung L : K heißt seperabel, wenn jedes α L separabel über K ist. 23. Sei K ein Körper und f K[x] \ K und f die Ableitung von f. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent: (a) f ist separabel. (b) ggt (f, f ) = 1. Ist char(k) = p für eine Primzahl p und f irreduzibel, so sind folgende Eigenschaften äquivalent: (a) f ist nicht separabel. (b) f = g(x p ) für ein g K[X]. (c) f = 0.

28 28 CHAPTER 3. KÖRPER 24. Eine Körper heißt vollkommen oder perfekt, wenn jede algebraische Körpererweiterung des Körpers separabel ist. 25. Ist K ein vollkommener Körper und f K[x] irreduzibel, so ist f separabel. 26. Endliche Körper und Körper mit Charakteristik 0 sind vollkommen. 27. Sei L : K eine separable Körpererweiterung und Z ein Zwischenkörper von L : K. Dann sind auch Z : K und L : Z separabel. 28. Sei L : K eine Körpererweiterung und α L mit K(α) = L. Dann heißt α ein primitives Element von L : K. 29. (Satz vom primitiven Element) Sei L : K eine algebraische Körpererweierung von endlichem Grad. (a) Die Erweiterung hat genau dann ein primitives Element, wenn sie nur endlich viele Zwischenkörper besitzt. (b) Ist L : K separabel, so gibt es ein primitives Element. 30. Sei K ein Körper und f K[x] ein nichtkonstantes Polynom. Ein Erweiterungskörper Z f von K heißt Zerfällungskörper von f über K, wenn f über Z f in Linearfaktoren zerfällt und die Körpererweiterung Z : f : K von den Nullstellen von f erzeugt wird.

29 3.2. GALOISTHEORIE Galoistheorie 1. Eine algebraische Körpererweiterung L : K heißt (a) normal, falls jedes Polynom in K[X], das eine Nullstelle in L hat, über L in Linearfaktoren zerfällt. In diesem Fall heißt L normal über K. (b) galoisch oder Galoiserweiterung, falls sie normal und separabel ist. In diesem Fall heißt L galoissch über K. 2. Sei L : K eine endliche Körpererweiterung und L ein algebraischer Abschluss von L. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent: (a) L : K ist normal. (b) L ist Zerfällungskörper eines Polynoms in K[X]. (c) Jeder K-Homomorphismus L L beschränkt sich zu einem Automorphismus von L. Insbesondere ist L : K genau dann galoissch, wenn L der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms aus K[X] ist. 3. Sei L : K eine Körpererweiterung und sei Z ein Zwischenkörper von L : K. (a) Ist L : K normal, so ist auch L : Z normal. (b) Ist L : K galoissch, so ist auch L : Z galoissch. 4. Sei L ein Körper und U einer Untergruppe von Aut(L). Dann ist die Menge {x L f(x) = x f U} ein Teilkörper von L. Er heißt Fixkörper von U und wird mit F ix(u) oder L U bezeichnet. 5. Sei L : K eine galoissche Körpererweiterung. Die Menge aller K-Automorphismen von L ist eine Gruppe und heißt Galoisgruppe der Körpererweiterung L : K oder Galoisgruppe von L über K. Sie wird mit Gal(L K) beziechnet. 6. Sei L : K eine galoissche Körpererweiterung mit Galoisgruppe. Dann gilt [L : K] = G. 7. (Hauptsatz der Galoistheorie) Sei L : K eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G. Sei M die Menge der endlichen Untergruppen von G und H die Menge der Zwischenkörper Z von L : K mit [L : K]. (a) Die Abbildungen φ : M H, ψ : H M U L U, Z Gal(L Z) sind zueinander inverse Bijektionen.

30 30 CHAPTER 3. KÖRPER (b) Für einen Zwischenkörper Z von L : K ist die Erweiterung Z : K genau dann galoissch, wenn Gal(L Z) ein Normalteiler von G ist. Es gilt dann Gal(Z K) = Gal(L K)/Gal(L Z) 8. (Spurmethode) Sei L : K eine Galoiserweiterung, char(k) = 0 und {a 1,..., a n } eine K-Basis des K-Vektorraums L. Sei U eine Untergruppe der Galoisgruppe von L über K und für a L sei Sp U (a) = σ U σ(a). Dann gilt für den Fixkörper L U von U und a L (a) Sp U (a) L U und (b) L U = K(Sp U (a 1 ),..., Sp U (a n )). 9. Sei K ein Körper und f K[X] ein separables Polynom. Dann heißt die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von f über K auch Galoisgruppe von f über K und wird mit Gal(f, K) bezeichnet. 10. Die Galoisgruppe eines Polynoms mit n verschiedenen Nullstellen ist eine Untergruppe von S n. 11. Ist L : K eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G und Z ein Zwischenkörper von L : K, so heißen die Körper σ(z) mit σ G die Konjugierten von Z. 12. Sei L ein Körper, seinen K 1, K 2 Teilkörper von L. Der kleinste Teilkörper von L, der K 1 und K 2 enthält, heißt Kompositum K 1 K Sei L : K eine endliche Galoiserweiterung. Seien Z 1, Z 2 Zwischenkörper mit G i = Gal(L Z i ), i {1, 2}. Dan gilt: (a) Z 1 Z 2 G 2 G 1. (b) Z 1 Z 2 = L G1 G 2. (c) Z 1 Z 2 = L <G1,G 2>.

31 3.3. EINHEITSWURZELN UND KREISTEILUNSPOLYNOME Einheitswurzeln und Kreisteilunspolynome 1. Sei K ein Körper, K ein algebraischer Abschluss von K und n N. Eine Nullstelle ζ K von x n 1 heißt eine n-te Einheitswurzel in K. 2. Die Menge der n-ten Einheitswurzeln on K ist eine Untergruppe von K. Falls char(k) kein Teiler von n ist, ist diese Untergruppe zyklisch der Ordnung n. 3. Eine n-te Einheitswurzel ζ heißt primitiv, falls sie die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln erzeugt, also wenn ζ n = 1 gilt und ζ d 1 1 d < n. 4. Sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl, die nicht durch die Charakteristik von K teilbar ist. Mit φ sei die Eulersche Phi-Funktion bezeichnet. Sind ζ 1,..., ζ φ(n) die primitiven n-ten Einheitswurzeln über K, so heißt das Polynom φ(n) Φ n (X) = (X ζ i ) n-tes Kreisteilungspolynom über K. 5. Das n-te Kreisteilungspolynom Φ n ist ein normiertes Polynom in K[X]. Es ist separabel und had den Grad φ(n). 6. Isp p eine Primzahl und K ein Körper mit char(k) p, so gilt i=1 Φ p (X) = X p 1 + X p X Sei Φ n (X) = a 0 + a 1 X a φ(n) X φ(n) das n-te Kresiteilungspolynom in Z[X] und K ein Körper der Charakteristik p > 0 mit p n. Dann ist Φ n (X) = a 0 1 K + a 1 X 1 K a φ(n) X φ(n) 1 K das n-te Kreisteilungspolynom in K[X]. 8. Sei K ein Körper, n N und char(k) kein Teiler von n. Dann gilt die Formel X n 1 = Φ n (X) Φ d (X) 9. Es gilt mit obiger Formel z.b.: Φ 1 = X 1 Φ 2 = X + 1 d n,1 d<n Φ 3 = X 2 + X + 1 Φ 4 = X Ist K ein Körper mit Charakteristik 0, dann ist Φ n (X) Z[X] und Φ n ist irreduzibel in Q[X].

32 32 CHAPTER 3. KÖRPER 3.4 Endliche Körper 1. Für Jede Primzahl p und jede natürliche Zahl1 n existiert ein Körper mit p n Elementen. Bis auf Isomorphie gibt es genau einen endlichen Körper mit p n Elementen. Er wird mit F p n bezeichnet. Ist umgekehrt K ein endlicher Körper, so gilt K = p n. 2. Ist K ein endlichenr Körper mit p n Elementen, so hat K Charakteristik p und der Primkörper ist isomorph zu Z/pZ. 3. Die multiplikative Gruppe K eines Körpers K mit p n Elementen ist zyklisch der Ordnung p n Sei K ein Körper mit char(k) = p. Der Automorphismus heißt Frobenius Automorphismus. K K x x p 5. Der Körper F p n ist Zerfällungskörper des separablen Polynoms x pn x Die Elemente von F p n sind genau die Nullstellen dieses Polynoms. 6. Ist L ein endliche Körper mit char(l) = p > 0 und K ein Teilkörper von L, so gilt: (a) char(k) = p. (b) Ist L = F p n, so ist K = F p d für einen Teiler d von n. (c) Die Körpererweiterung L : K ist galoissch vom Grad [L : K] = n d. (d) Es ist Gal(L K) =< σ [K:Fp] >, wobei σ den Frobenius-Automorphismus bezeichnet.

33 Chapter 4 Zahlentheorie 1. (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Jede natürliche Zahl ist Produkt von Primzahlen. Die Darstellung ist, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren, eindeutig. 2. (Divisions mit Rest) Zu x Z und y N existieren eindeutig bestimmte Zahlen q, r Z mit x = qy + r und 0 r < y. 3. (Lemma von Bézout) Seien a, b Z. Genau dann gilt ggt (a, b) = 1, wenn x, y Z existieren für die 1 = xa + yb gilt. 4. (Kleiner Satz von Fermat) Für alle Primzahlen p und alle natürlichen Zahlen n mit p n gilt n p 1 1 mod n 5. (Satz von Wilson) Eine Zahl p N ist genau dann prim, wenn (p 1)! 1 mod p gilt. 6. Sei m N >1 und a Z mit ggt (a, m) = 1. Die Zahl a heißt ein quadratischer Rest (QR) modulo m, falls es eine ganze Zahl x gibt mit x 2 a mod m. Andernfalls heißt a ein quadratischer Nichtrest (NR). 7. (Eulersches Kriterium) Ist p eine ungerade Primzahl und a eine ganze Zahl, so gilt ( a p ) a p 1 2 mod p 8. Für ungerade Primzahlen p q gilt ( q p )(p q p 1 q 1 ) = ( 1) Sei p eine ungerade Primzahl. In F p gibt es p+1 2 quadratische Reste und p 1 2 quadratische Nichtreste. 33