Einführung in die Algebra Blatt 1

Transkript

1 Abgabefrist: Fr :00 Uhr Blatt 1 Aufgabe 1 (2 Punkte). Lösen Sie die Gleichung x 3 3x 2 + x 1 = 0. Aufgabe 2 ( Punkte). Sei G eine Gruppe und H G. Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen Operationen sind: (a) G G G, (g, x) gxg 1 (Konjugation). (b) G {X : X G} {X : X G}, (g, X) gxg 1 := {gxg 1 : x X} (Konjugation). (c) G {xh : x G} {xh : x G}, (g, xh) gxh (Linksmultiplikation). (d) H G G, (h, x) xh 1 (Rechtsmultiplikation). Aufgabe 3 (3 Punkte). Sei D 8 die Symmetriegruppe eines Quadrats Q (vgl. Vorlesung Algebraische Strukturen ). Sei E die Menge der Ecken von Q und sei E 2 die Menge der 2-elementigen Teilmengen von E. Offenbar operiert D 8 auf E, E 2 und auf E E in natürlicher Weise. Bestimmen Sie für alle drei Operationen die Anzahl der Bahnen. Aufgabe 4 ( Punkte). Sei G eine Gruppe und H G. Zeigen Sie: (i) Die Automorphismen von H bilden eine Gruppe Aut(H) bzgl. Komposition von Abbildungen. (ii) C G (H) := {g G : gx = xg x H} N G (H). (iii) N G (H)/ C G (H) ist zu einer Untergruppe von Aut(H) isomorph. Aufgabe 5 (1 + 3 Punkte). Sei G eine endliche Gruppe und Ω eine G-Menge. Für g G sei f(g) := {ω Ω : g G ω }. Zeigen Sie: (i) G g.ω = gg ω g 1 für g G und ω Ω. (ii) Die Anzahl der Bahnen von G auf Ω ist 1 G g G f(g). Hinweis: Zählen Sie die Paare (g, ω) mit g G ω auf zwei verschiedene Weisen.

2 Abgabefrist: Fr :00 Uhr Blatt 2 Aufgabe 6 (2 + 2 Punkte). Zeigen Sie: (a) Jede Gruppe der Ordnung 84 besitzt einen Normalteiler der Ordnung 7. (b) Die alternierende Gruppe A 4 besitzt keine Untergruppe der Ordnung 6. Aufgabe 7 ( Punkte). Sei G eine Gruppe der Ordnung pq mit Primzahlen p und q. Zeigen Sie: (a) G ist auflösbar. (b) Ist p = q, so ist G abelsch. (c) Ist p < q und p kein Teiler von q 1, so ist G zyklisch. (d) Es gibt Primzahlen p, q, sodass G nichtabelsch sein kann. Aufgabe 8 ( Punkte). Zeigen Sie: (a) Die symmetrische Gruppe S 4 ist auflösbar. (b) Sei G eine einfache Gruppe und H < G mit G : H 4. Dann ist H = 1. Hinweis: Man kann Aufgabe 2(c) und Teil (a) verwenden. (c) Alle Gruppen der Ordnung kleiner 60 sind auflösbar. Hinweis: Wenden Sie (b) auf ein minimales Gegenbeispiel an.

3 Abgabefrist: Fr :00 Uhr Blatt 3 Aufgabe 9 ( Punkte). Untersuchen Sie, welche der folgenden Polynome irreduzibel in Q[X] sind: (a) X X 4 2 (b) X 3 2X 2 18X + 15 (c) X X X + 1 (d) X 4 + 4X 2 + X + 6 Aufgabe 10 (2 + 2 Punkte). Sei R ein Ring mit Teilring S R und I, J R mit I J. Beweisen Sie: (a) (1. Isomorphiesatz) S + I ist ein Teilring von R, I S + I, S I S und S/(S I) = (S + I)/I. (b) (2. Isomorphiesatz) J/I R/I und (R/I)/(J/I) = R/J. Hinweis: Verwenden Sie den Homomorphiesatz. Aufgabe 11 ( Punkte). Sei R ein (kommutativer) Ring und α = n i=0 a ix i R[X]. Die (erste) Ableitung von α ist n α := ia i X i 1 R[X]. i=1 Die k-te Ableitung α (k) ist induktiv definiert durch α (0) := α und α (k) := (α (k 1) ). Zeigen Sie: (a) (rα + sβ) = rα + sβ für α, β R[X] und r, s R. (b) (αβ) = α β + αβ (Produktregel). (c) (α β) = (α β)β, wobei α β := n i=0 a iβ i R[X] (Kettenregel). (d) α = n α (k) (r) k=0 k! (X r) k für r R (Taylorreihe).

4 Abgabefrist: Fr :00 Uhr Blatt 4 Aufgabe 12 (4 + 3 Punkte). (a) Entscheiden Sie, welche der folgenden Zahlen algebraisch über Q sind , e 3πi/5, , π 2 i. Hinweis: Sie dürfen die Transzendenz von π benutzen. (b) Sei K ein Körper mit char(k) 2 oder K <. Zeigen Sie, dass jede Körpererweiterung vom Grad 2 über K eine Galois-Erweiterung ist. Aufgabe 13 ( Punkte). Sei L := Q( 2, 3). (a) Zeigen Sie, dass Q L eine Galois-Erweiterung ist. (b) Bestimmen Sie Gal(L Q) und dessen Untergruppen. (c) Konstruieren Sie alle Teilkörper von L. Welche davon bilden Galois-Erweiterungen über Q? (d) Finden Sie ein a L mit L = Q(a). Aufgabe 14 (3 Punkte). Konstruieren Sie einen Körper mit vier Elementen und geben Sie dessen Additions- und Multiplikationstabelle an. Hinweis: Betrachten Sie F 2 [X]/(ϕ) für ein irreduzibles Polynom ϕ F 2 [X] vom Grad 2. Aufgabe 15 (3 Punkte). Sei K ein Körper und G eine endliche Untergruppe von K. Zeigen Sie, dass G zyklisch ist. Hinweis: Nach Sylow kann man annehmen, dass G eine p-gruppe ist. Benutzen Sie in diesem Fall, dass X n 1 höchstens n Nullstellen in K hat (für ein geeignetes n).

5 Abgabefrist: Fr :00 Uhr Blatt 5 Aufgabe 16 ( Punkte). (a) Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Polynom in R[X] Grad 1 oder 2 hat. (b) Berechnen Sie Φ p n für jede Primzahlpotenz p n. (c) Zeigen Sie Φ 2n (X) = Φ n ( X) für jede ungerade Zahl n > 1. Aufgabe 17 ( Punkte). (a) Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass { α } K(X) := β : α, β K[X], β 0 mit den Verknüpfungen α β + γ δ αδ + βγ :=, βδ α β γ δ := αγ βδ ein Körper ist. Man nennt K(X) den Körper der rationalen Funktionen über K. (b) Zeigen Sie, dass der Frobenius-Homomorphismus auf F p (X) nicht surjektiv ist. 1 (c) Zeigen Sie, dass die Aussage von Aufgabe 12(b) für F 2 (X) nicht gilt. Aufgabe 18 ( Punkte). Zeigen Sie mit Hilfe der folgenden Argumente, dass ξ := 10 k! = 0, R transzendent über Q ist. (a) Ist ξ algebraisch über Q, so existiert ein α Z[X] \ {0} mit α(ξ) = 0. k=1 (b) Für genügend große n N existieren dann r, s Z mit ξ r s < s n und α( r s ) s deg α. Hinweis: Betrachten Sie Partialsummen. (c) Der Mittelwertsatz der Analysis (oder Aufgabe 11(d), falls Sie Analysis nicht mögen) liefert nun einen Widerspruch. Weihnachtsrätsel (+3 Zusatzpunkte). Bestimmen Sie ohne Computer die 42. Nachkommastelle von ( ) 666. Hinweis: Man kann Aufgabe 13 verwenden, aber es geht auch elementar. 1 Ein Körper K heißt vollkommen oder perfekt, falls char(k) = 0 oder der Frobenius-Homomorphismus surjektiv ist.

6 Abgabefrist: Fr :00 Uhr Blatt 6 Aufgabe 19 (2 Punkte). Zeigen Sie, dass es für jeden Körper K unendlich viele irreduzible Polynome in K[X] gibt. Aufgabe 20 (2 Punkte). Bestimmen Sie die Galoisgruppe von X 3 3X 2 + X 1. Hinweis: Man kann Aufgabe 1 verwenden. Aufgabe 21 ( Punkte). Sei p > 2 eine Primzahl, n N und G := (Z/p n Z). (a) Bestimmen Sie G. (b) Zeigen Sie 1 + p + p n Z Syl p (G). (c) Zeigen Sie, dass G zyklisch ist. Hinweis: Verwenden Sie Teil (b) und Aufgabe 15. (d) Überprüfen Sie, ob auch (Z/8Z) zyklisch ist. Aufgabe 22 ( Punkte). Für i = 1, 2 seien K M i L endliche Körpererweiterungen. Man nennt M 1 M 2 := M 1 (M 2 ) (= M 2 (M 1 )) das Kompositum von M 1 und M 2. Zeigen Sie: (a) kgv ( M 1 : K, M 2 : K ) M 1 M 2 : K M 1 : K M 2 : K. Hinweis: Wählen Sie für die Ungleichung eine K-Basis b 1,..., b n von M 1 und zeigen Sie M 1 M 2 = M 2 b M 2 b n. (b) Ist K L eine Galois-Erweiterung mit G := Gal(L K) und H 1, H 2 G, so gilt L H 1 L H 2 = L H 1 H 2 und L H 1 L H 2 = L H 1,H 2. (c) Sind K L und K M 1 Galois-Erweiterungen, so ist auch M 2 M 1 M 2 eine Galois-Erweiterung mit Gal(M 1 M 2 M 2 ) = Gal(L M 1 M 2 )/ Gal(L M 1 ). Hinweis: Verwenden Sie den ersten Isomorphiesatz für Gruppen.