ALGEBRA II Serie 9. (c) Beweisen Sie, dass die Charaktertafel von G wie unten ist: Abgabetermin. Bis am Montag 11 Juni.

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1 Sommersemester 2018 ALGEBRA II Serie 9 Prof. Dr. J.S. Wilson Aufgabe 9.1. Sei G endlich und g G. Zeigen Sie, dass g zu g 1 konjugiert ist, genau dann, wenn χ(g) reel für jeden Charakter χ von G ist. [Hinweis: siehe Übung 8.4.] Aufgabe 9.2. (a) Konstruieren Sie die Charaktertafel (a) der zylischen Gruppe t der Ordnung 3 und (b) der Gruppe A 4. [Die in (a) konstruierte Tafel ist ein Untermatrix der Tafel in (b).] Aufgabe 9.3. Eine Gruppe hat sieben Konjugiertenklassen C 1 = {1}, C 2,..., C 7, und die Werte von fünf der irreduzibeln Charaktere sind wie folgt. C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C Berechnen Sie die Größen der Konjugiertenklassen und die anderen irreduziblen Charaktere. Aufgabe 9.4. (a) Sei H eine Gruppe der Permutationen der endlichen Menge X und für h H sei σh = {x X hx x}. Also ist σ ein Charakter von H (der der Darstellung auf einem Vektorraum mit Basis X entspricht). Sei χ 1 der triviale Charakter von H. Beweisen Sie dass σ χ 1 ein Charakter von H ist. (b) Konstruieren Sie die Charaktertafel von A 5. [Ergebnisse von den Übungsblättern 7, 8 werden eventuell nützlich sein.] Aufgabe 9.5. Eine Gruppe G der Ordnung 21 wird durch Elemente a, b erzeugt die die Relationen a 7 = b 3 = 1, bab 1 = a 2 erfüllen. (a) Identifizieren Sie [G, G], und beweisen Sie, dass jedes Element eindeutig in der Form a α b β schreibbar ist mit 0 α < 7, 0 β < 3. (b) Verifizieren Sie, dass die Konjugiertenklassen wie folgt sind: C 1 = {1}, C 2 = {a, a 2, a 4 }, C 3 = {a 3, a 5, a 6 }, C 4 = {a α b 0 α < 7}, C 5 = {a α b 2 0 α < 7}. (c) Beweisen Sie, dass die Charaktertafel von G wie unten ist: C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C r χ (1) χ (2) ω ω 2 χ (3) ω 2 ω χ (4) 3 η η 0 0 χ (5) 3 η η 0 0 wobei ω, η die Gleichungen ω 2 + ω + 1 = η 2 + η + 2 = 0 erfüllen. Abgabetermin. Bis am Montag 11 Juni.

2 Serie 10 Aufgabe Seien G, H endliche Grupppen, und seien V ein CG-Modul und W ein CH-Modul. Das Tensorprodukt V W wird ein Modul für G H mit Wirkung (g, h)(v w) = gv hw. Beweisen Sie anhand der Charaktere, dass falls V, W irreduzibel sind, auch V W irreduzibel ist. Aufgabe Konstruieren Sie die Charaktertafel der Diedergruppe D 10 = a, b a 5 = b 2 = 1, bab = a 1. [Sie kennen schon eine Darstellung der Dimension 2.] Aufgabe Konstruieren Sie die Charaktertafel von S 4. [Sie können Ideen vom Beweis in der Vorlesung verwenden, oder auch eine Kombination von Methoden, aber Sie sollen deutlich zeigen, dass Sie den von Ihnen vorgeschlagen Beweis vollständig verstehen.] Aufgabe Sei G eine endliche Gruppe. (a) Geben Sie eine andere Beschreibung für Ind G 1 C. (b) Sei H G und seien W 1, W 2 CH-Moduln. Zeigen Sie, dass die CG- Moduln Ind G H(W 1 W 2 ) und Ind G HW 1 Ind G HW 2 isomorph sind. (c) Sei V ein irreduzibler CG-Modul und H G. Beweisen Sie, dass es einen irreduziblen CH-Modul W gibt derart, dass V isomorph zu einem Summanden von Ind G HW ist. (d) Beweisen Sie, dass falls A eine abelsche Untergruppe von G ist, dann hat jeden irreduziblen Charakter von G höchstens den Grad G : A. Aufgabe Berechnen Sie die Charaktere von S 5 die von den irreduziblen Charakteren von S 4 induziert werden, und konstruieren Sie die Charaktertafel von S 5. Aufgabe (a) Sei G eine transitive Permutationsgruppe auf einer Menge X mit X 2. Zeigen Sie, dass G genau dann 2-transitiv auf X ist, wenn für jedes x X die Gruppe stab G (x) transitiv auf X \ {x} wirkt. (b) Die gewöhnliche Wirkung der Gruppe SL 2 (F q ) auf F 2 q induziert eine Wirkung auf der Menge der 1-dimensionalen Unterräumen von F 2 q. Beweisen Sie, dass SL 2 (F q ) einen irreduziblen Charakter vom Grad q hat. Abgabetermin. Bis zum Uhr am Montag 18 Juni.

3 Serie 11 Unten ist G stets eine endliche Gruppe. Alle Darstellungen sind über C. Aufgabe (a) Sei χ der Charakter einer Wirkung von G auf einer endlichen Menge X. Beweisen Sie, dass g G χ(g) = G r ist, wobei r die Anzahl der Bahnen von G auf X ist. (b) Sei π die durch Konjugation definierte Wirkung von G auf der Menge G. Bestimmen Sie den Charakter von π. Aufgabe Sei x ein Element von G der Ordnung n und χ ein Charakter von G. Erklären Sie ohne zu viele Einzelheiten, warum die folgenden Aussagen gelten. (a) χ(x) ist eine Summe von nten Wurzeln von 1. (b) χ(x) χ(1). (c) K χ = {g χ(g) = χ(1)} G. (d) L χ = {g χ(g) = χ(1)} G. (e) grad χ = 1 genau dann, wenn χ ein Homomorphismus G C ist. (f) Für jedes g G \ {1} gibt es einen irreduziblen Charakter θ mit θ(g) θ(1). (g) Die Konjugiertenklassen von x, x 1 haben dieselbe Größe. (h) τ(x) R für jeden Charakter τ genau dann, wenn x, x 1 konjugiert sind. Aufgabe Seine G 1, G 2 Gruppen mit derselben Charaktertafel. Beweisen Sie, dass G 1 /[G 1, G 1 ] = G 2 /[G 2, G 2 ]. Beweisen Sie auch, dass Z(G 1 ) = Z(G 2 ). Aufgabe Sei M die Untergruppe (1, 4, 9, 8)(2, 5, 3, 6), (1, 6, 5, 2)(3, 7, 9, 8) von S 9. Die folgenden Fakten sind gegeben: g, g 1 sind konjugiert für alle g M. M hat sechs Konjugiertenklassen, C 1 = {1}, für 2 i 4 ist C i = 18, und C i enthält g i, mit g 1 = (2, 3, 8, 6)(4, 7, 5, 9), g 3 = (2, 4, 8, 5)(3, 9, 6, 7), g 4 = (2, 7, 8, 9)(3, 4, 6, 5): C 5 = 9 und C 5 enthält g 5 = (2, 8)(3, 6)(4, 5)(7, 9); C 6 = 8, und C 6 enthält g 6 = (1, 2, 8)(3, 9, 4)(5, 7, 6); Finden Sie die Charaktertafel von M. [Hinweis: g 2 2 = g 2 3 = g 2 4 = g 5.] Aufgabe Sei χ ein Charakter von G. Wir wissen schon, dass der Grad von χ ein Teiler von G ist. Ziel hier ist zu beweisen dass der Grad von χ ein Teiler von G/Z ist, wobei Z das Zentrum von G ist. (a) Sei V ein irreduzibler Modul für G und n 1. Beweisen Sie, dass n V ein irreduzibler Modul für das direkte Produkt D von n Kopien von G ist. Sei σ die entsprechende Darstellung von D. [Vgl. Übung 10.1.] (b) Was ist das Zentrum von D, und wie wirkt es auf n V? Beweisen Sie, dass D/ker σ Z G/Z n. (c) Beweisen Sie die Aussage oben. Abgabetermin. Bis zum am Montag 25 Juni.

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5 Serie 12 Unten sind alle Darstellungen über C. Aufgabe Konstruieren Sie die Charaktertafel der Gruppe { ( ) } t a a F 0 1 5, t F 5 \ {0} der Ordnung 20. [Beweisen Sie zuerst, dass alle Elemente, die nicht im Normalteiler der Elemente mit t = 1 liegen, zu Diagonalelementen konjugiert sind.] Aufgabe Eine Gruppe G der Ordnung 24 hat sieben Konjugiertenklassen mit Vertretern g 1 = 1,..., g 7. Ausserdem gibt es einen CG-Modul V dessen Charakter χ die folgenden Werte hat: g i g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 C G (g i ) χ ω 2 ω ω ω 2 wobei ω = e 2πi/3. Die Elemente g 2 1, g 2 2, g 2 3, g 2 4, g 2 5, g 2 6, g 2 7 sind konjugiert zu g 1,, g 1, g 2, g 5, g 4, g 4, g 5. Zeigen Sie, dass das s 2 (V ) und 2 (V ) irreduzibel sind, und bestimmen Sie die Charaktertafel von G. Aufgabe Eine Gruppe der Ordnung 168 hat sechs Konjugiertenklassen und drei Charaktere α, β, γ sind bekannt. In der Tafel unten sind die Größen der Konjugiertenklassen und die Werte von α, β, γ auf der Klassen gegeben α β γ Konstruieren Sie die Charaktertafel dieser Gruppe. [Hauptsache ist vielleicht zu beweisen, dass γ nicht eine Summe von vier Irreduziblen ist; Sie könnten z.b. den Fakt benutzen, dass χ(1) 168 für jedes irreduzible χ. Sie dürfen nicht annehmen, dass G mit einer in der Vorlesung behandelten Gruppe isomorph ist!] Aufgabe Ein Hauptfaktor einer endlichen Gruppe G ist ein Minimalnormalteiler einer Quotientengruppe von G. Sei G auflösbar. (a) Warum hat jeder Hauptfaktor von G Primzahlpotenzordnung? (b) (Galois) Sei M eine maximale Untergruppe von G. Beweisen Sie, dass G: M ist eine Primzahlpotenz ist. [Bitte wenden]

6 Aufgabe Sei { G = 1 a x 0 1 b a, b, x F p }; Also ist G eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung p 3 ; sein Zentrum und seine Kommutatorgruppe bestehen aus den Elementen mit a = b = 0. (a) Zeigen Sie, dass G p Konjugiertenklassen mit einem Element und p 2 1 mit p Elementen hat. (b) Beschreiben Sie p 2 Charaktere vom Grad 1. (c) Sei H die Untergruppe der Elemente mit a = 0. Sei ψ: F p C ein nichttrivialer Homomorphismus und ρ die durch 1 0 x 0 1 b ψ(x) definierte 1-dimensionale Darstellung von H. Verifizieren Sie, dass V ψ = Ind G Hρ irreduzibel ist. [Benutzen Sie Reziprozität, oder finden Sie ein Widerspruch falls V ψ nicht irreduzibel ist: wie würde V ψ als Summe von Irreduziblen aussehen, was wäre der Kern der Wirkung von G auf den Summanden?] (d) Jetzt listen Sie alle irreduziblen Charaktere von G auf. Warum ist Ihre Liste vollständig? Abgabetermin. Bis zum Uhr am Montag 2 Juli.

7 Serie 13 Wie immer, wenn Sie eine Aussage nicht beweisen können, nehmen Sie die Aussage an und machen Sie weiter mit der nächsten Aussage. Aufgabe Sei R ein kommutative Ring, U eine Untergruppe seiner Einheitengruppe und n 2. Sei G die Untergruppe aller invertierbaren oberen n n Dreiecksmatrizen über R mit Einträgen aus U auf der Hauptdiagonale. (a) Zeigen Sie, dass G ein semidirektes Produkt von der Gruppe T der unipotenten Matrizen in G mit der Gruppe D der diagonalen Matrizen in G ist. (b) Im Falle dass R ein endlicher Körper mit Charakteristik p ist, identifizieren Sie eine Sylow p-untergruppe und ein p-komplement. (c) Wieder im allgemeinen Fall, was ist die Form der Matrizen in [T, T ]? Unter welchen Bedingungen ist T ab endlich erzeugbar? Aufgabe Sei jetzt R ein Körper, U = R \ {0} und n = 2. Beweisen Sie, dass die Untergruppe der unipotenten Matrizen ein Minimalnormalteiler von G ist. Folgern Sie, dass ein abelscher Minimalnormalteiler einer unendlichen auflösbaren Gruppe nicht notwendig elementar abelsch ist. Aufgabe (a) Sei K ein Normalteiler einer Gruppe G und H 1, H 2 Untergruppen von G mit H 1 H 2. Seien auch H 1 K = H 2 K und H 1 K = H 2 K. Beweisen Sie dass H 1 = H 2. In Aufgabe 13.1 sei jetzt R = Z[X 1 ±1,..., X±1 m ], U = X 1,..., X m und n = 2. Für x R und A eine Untergruppe von R schreibe ( ) 1 x x = und A = {x x A}. 0 1 (b) Zeigen Sie, dass die Normalteiler N G mit N T genau die A mit A ein Ideal von R sind. (c) (optionell ) Beweisen Sie, dass jede aufsteigende Kette von Untergruppen in Z m abbricht. (d) Zeigen Sie, dass jede aufsteigende Kette von Normalteilern in G abbricht. Aufgabe Sei G eine endliche auflösbare Gruppe, sei σ die Menge der Primzahlteiler von G und sei H p ein p-komplement für jedes p σ. Für jedes π σ sei P π = (H p p teilt G, p π ). (P wird als G interpretiert.) Beweisen Sie: (a) P π ist eine Hall π-untergruppe von G für jedes π σ; (b) die Abbildung π P π erhält Durchschnitte, und bildet Vereinigungen von Untermengen auf Erzeugnisse der Halluntergruppen; (c) P π1 P π2 = P π2 P π1 für alle π 1, π 2 σ. [Bitte wenden]

8 Aufgabe Seien R ein kommutativer Ring, G eine Gruppe. Ein RG- Modul M heißt überauflösbar falls es eine Kette 0 = M 0 M s = M von RG-Moduln derart gibt dass jedes M i /M i 1 zyklisch als R-Modul ist. (a) Zeigen Sie, dass falls M überauflösbar ist, dann ist auch M/P überauflösbar für jeden RG-Untermodul P. Für RG-Moduln M, N, ist wie gewöhnlich das Tensorprodukt M N auch ein RG-Modul mit Wirkung durch g(u v) = gu gv definiert. (b) Beweisen Sie, dass falls M, M überauflösbare RG-Modul sind, dann ist auch M N ein überauflösbarer RG-Modul. Aufgabe (optionell) Sei M ein abelscher Minimalnormalteiler einer (nicht notwendig endlichen) Gruppe G und sei M nicht elementar abelsch. Beweisen Sie die folgenden Aussagen. (a) {u M u hat endliche Ordnung} = {0}; also ist M torsions-frei. (b) Für p prim ist {u p u M} = M. (c) Für n Z \ {0} ist {u n u M} = M; also ist M divisibel. (d) Für r, s Z mit s 0 und u M gibt es ein eindeutiges Element v M mit v s = u r ; wir schreiben u r/s für dieses Element. (e) M wird ein Q-Modul; an dieser Stelle wird es besser, M additiv zu schreiben. (f) M wird durch Konjugation in G ein QG-Modul. (g) M ist ein irreduzibler QG-Modul. Abgabetermin. Bis zum Uhr am Montag 9 Juli.