Themen und Übungen zum Lehrerweiterbildungskurs Wiederholung und Vertiefung Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2013/2014

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1 Themen und Übungen zum Lehrerweiterbildungskurs Wiederholung und Vertiefung Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2013/2014 [Sch]: R.-H.Schulz:Repetitorium Bachelor Mathematik [Sch-LAI] R.-H.Schulz: Skript Linearer Algebra I Themenkreis 0: Gruppen/Ringe/Körper 1. Definitionen Gruppe, Ring, Körper s.[sch] p.223 f. 1. Definition: Gruppe (G, ) Gruppe mit neutralem Element e (G, ) Halbgruppe e G neutrales Element Existenz der Inversen Definition Untergruppe, Untergruppenkriterium... U und U U 1 U G Menge, G : G G G (a, b) a b (innere Verknüpfung) Assoziativgesetz a, b, c G : a (b c) = (a b) c a G : a e = a = e a a G b G : b a = e = a b Beispiel einer Halbgruppe, die keine Gruppe ist: (N, +) Beispiele von Gruppen: additive Gruppen von Ringen, Körpern, Vektorräumen (S M, ), Gruppe aller bijektiven Abbildungen von M auf sich mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung, speziell S n := (S {1,...,n}, ) (symmetrische Gruppe mit S n = n!) (siehe unten!) Gruppe D m der Deckabbildungen eines regelmäßigen m-ecks in der reellen euklidischen Ebene (Diedergruppe mit D m = 2m).

2 2. Definition: Ring (R, +, ) Ring R Menge, + R R R, : R R R (R, +) kommutative Gruppe, d.h. Gruppe mit a, b R : a + b = b + a (R, ) Halbgruppe Distributivgesetze: a, b, c R : (a + b) c = a c + b c und a (b + c) = a b + a c Beispiele von Ringen: (Z, +, ) Ring der ganzen Zahlen; Körper (s.u.) (K[X], +, ), (End K V, +, ), der Endomorphismenring eines Vektorraums Z m (Elemente, Addition, Multiplikation, Nullteiler?) Z m := Z/mZ, d.h.: Elemente der Form a + mz mit a {0, 1,..., m 1}, (s.auch:faktorstrukturen) Rechnung mod m, a + mz Nullteiler, falls ggt(a, m) 1 und 0 < a < m R[X] Ring der Polynome über R n a i X i i=0 Anmerkung: Die Elemente eines Ringes mit 1, die eine multiplikative Inverse besitzen, sogenannte Einheiten, bilden eine Gruppe (bzgl. der induzierten Multiplikation) Definition: Ideal Untergruppe der additiven Gruppe (Z, +), für die z I I für jedes z Z gilt; 3. Definition: Körper K Menge, +, innere Verknüpfungen (K, +, ) (K, +, ) (K, +) kommutative Gruppe Körper Schiefkörper (K \ {0}, ) Gruppe 1 kommutativ Distributivgesetze (wie bei Ringen) 1 Die Multiplikation sei hierbei auf K \ {0} beschränkt. 2

3 Beispiele: (Q, +, ) (R, +, ) (C, +, ), GF(p) := (Z/pZ, +, ) für p Primzahl (s.u.) K[X]/(P ) für irreduzibles Polynom P K[X] vom Grad n über dem Körper K =GF(p). Anmerkung : Man kann zeigen, dass es zu jedem n N ein solches irreduzibles Polynom über GF(p) gibt, dass damit ein Körper mit p n Elementen existiert, und dass je zwei Körper mit p n Elementen zueinander isomorph sind; Bezeichnung für einen solchen Körper: Galoisfeld p n, kurz GF(p n ) (existiert genau für Primzahlpotenzen p n ). 4. Definition: Algebra ((V, +,, ) heißt K-Algebra, wenn (V, +, ) K K ein K-Vektorraum und (V, +, ) ein Ring ist und folgende Verträglichkeitsbedingungen gelten: a, b V λ K : λ(a b) = (λa) b = a (λb) Beispiele: (End K V, +,, ), K K(n,n), K[X], R (z.bsp. als Q Algebra). Zur Gruppe der Permutationen S n, verschiedene Darstellungen der Elemente, z.b. mit Transpositionen, A n s.[sch-lai] p.68 und p.179ff. Definition Permutation Sei M n.l. Menge. Eine bijektive Abbildung von M auf sich heit auch Permutation; wir definieren S M := Bij(M, M) := {f : f Permutation von M} und S n := S {1,2,...,n}. Schreibweise: Ist f S n, so schreiben wir auch ( ) n f =. f(1) f(2)... f(n) Beispiel 1: ( )

4 Beispiel 2: Sei M = {1, 2, 3}; in untenstehender Figur betrachten wir S 3. Man kann zeigen, dass S 3 = {id M, σ 1, σ 2, σ 3, δ 1, δ 2 } ist. Elemente von S 3 : Pfeildiagramm Anwendung: Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks δ 0 = ( ) = id M σ 1 = ( 1 2 ) σ 2 = ( 1 2 ) σ 3 = ( 1 2 ) δ 1 = ( 1 2 ) δ 2 = ( 1 2 ) Abbildung 2: Elemente von S 3 und die entsprechenden Symmetrien eines Dreiecks. Hilfssatz (S M ) Sei M Menge, M. Dann gilt: 4

5 (a) (S M, ) ist Halbgruppe. (b) id M ist neutrales Element von (S M, ). (c) Zu f S M ist f 1 Inverse in (S M, ). (d) Für M 3 ist (S M, ) nicht kommutativ. Bahnen einer Permutation (a) Definition: Sei π S n ; für a, b {1,..., n} definieren wir eine Relation a π b : k Z : b = π k (a). (b) Hifssatz: Für π S n ist eine Äquivalenzrelation auf {1,..., n}. π (Beweis ). (c) Definition: Die Äquivalenzklasse von a {1,..., n} bzgl. π, also {a, π(a), π 2 (a),...}, heißt Bahn oder auch Transitivitätsgebiet von a unter π. Fortsetzung von Beispiel 1: Bahnen von π sind in diesem Fall {1, 2, 3}, {4, 6} und {5}. Definition: Zyklus (a) Eine Permutation, deren Bahnen bis auf höchstens eine einelementig sind, (also außerhalb einer Bahn die Punkte fest läßt,) heißt Zyklus. Ein Zyklus ist also von der Form ( ) a1 a 2 a 3... a m a m+1... a n. a 2 a 3 a 4... a 1 a m+1... a n Wir schreiben den Zyklus auch in der Form (a 1 a 2 a 3... a m )(a m+1 )... (a n ) oder noch kürzer (a 1 a 2 a 3... a m ) S n. 5

6 (b) Beispiel: ( ) (i) = (1 2 3)(4)(5)(6) = (1 2 3) S ( ) (ii) ( ) =, falls ( ) S gilt. (c) Definition: Zwei Zyklen (a 1... a s ) und (b 1... b t ) aus S n heißen disjunkt, falls Hilfssatz (Disjunkte Zyklen) {a 1,..., a s } {b 1,..., b t } =. Disjunkte Zyklen aus S n kommutieren. Beweisskizze. ( ) ( ) ( ) a1... a b1... b t a1... a s = s b 1... b t a 2... a 1 b 2... b = ( a 1... a s ) ( b1... b t ). Hilfssatz (Zerlegung in Zyklen) Seien n 2 und π S n \ {id}; dann lässt sich π (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt paarweise disjunkter Zyklen schreiben. Beweisandeutung: Die Zyklenzerlegung entspricht der Partition in Bahnen. Beispiel ( (Fortsetzung): ) = (123) (46) =: (123)(46) Definition: Transposition Ein Zyklus der Länge 2, d.h. ein solcher von der Form (a 1 a 2 ), heißt Transposition. (Eine Transposition vertauscht also genau 2 Elemente aus {1,..., n} und lässt die übrigen fest.) Satz ( Darstellung als Produkt von Transpositionen) 6

7 Jede Permutation aus S n (mit n 2) lässt sich als Produkt von (nicht notwendig disjunkten) Transpositionen schreiben. Beweis-Andeutung. Nach 1 existiert eine Zerlegung in disjunkte Zyklen; jeder Zyklus (a 1 a 2... a t ) lässt sich schreiben als 2 (a 1 a t ) (a 1 a t 1 )... (a 1 a 3 ) (a 1 a 2 ). Beispiel: ( ) π 1 := = (1 3) ( ) = (1 3) (2 6) (2 4) (2 5) Andereseits gilt auch π 1 = (1 2) (1 6) (1 4) (1 5) (2 3) (1 2). Die Darstellung als Produkt von Transpositionen ist also nicht eindeutig. Jedoch gilt: ( hier ohne Beweis zitiert): Satz (Anzahl der Faktoren) Sei π S n mit n 2. Dann ist die Anzahl der Faktoren bei Darstellungen von π als Produkt von Transpositionen entweder stets gerade oder stets ungerade. Damit werden folgende Definitionen sinnvoll: Definition: gerade Permutation; Signum (a) Ist π Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen, so heißt π gerade Permutation, andernfalls ungerade Permutation. (b) Wir definieren das Signum einer Permutation wie folgt: { +1 falls π gerade sgn π := 1 falls π ungerade. Beispiele: ( sgn id= +1, ) sgn τ = 1 für jede Transposition τ; sgn π 1 = sgn = (vgl. voriges Beispiel; 4 bzw. 6 Faktoren!). Anmerkungen: Die Komposition einer geraden und einer ungeraden Permutation ist eine ungerade Permutation 2 hier von rechts aus zu lesen; d.h. der letzte Faktor wird zuerst angewandt 7

8 zweier geraden Permutationen ist eine gerade Permutation zweier ungeraden Permutationen ist eine gerade Permutation. Die Definition von sgn ermöglicht daher folgende Aussage: Hilfssatz (Eigenschaften des Signums) Für π, ρ S n gilt sgn (π ρ) =sgn π sgn ρ. Tabellarische Darstellung: π ρ π gerade π ungerade ρ gerade gerade ungerade ρ ungerade ungerade gerade entsprechend für das Signum sgn(π ρ) sgn(π) = +1 sgn(π) = 1 sgn(ρ) = sgn(ρ) = Für n > 1 ist sgn daher ein Gruppenhomomorhismus von (S n, ) auf die Untergruppe ({+1, 1}, ) von (R, ). Der Kern dieses Homomorphismus, also die Menge aller geraden Permutationen von S n, bildet einen Normalteiler von S n. Da die Multiplikation mit einer Transposition τ die Menge der geraden Permutationen bijektiv auf die der ungeraden Permutationen abbildet, folgt insgesamt: Satz und Definition: alternierende Gruppe (i) Die Menge der geraden Permutationen von S n bilden eine Untergruppe A n von S n. A n ist Normalteiler von S n, und es gilt S n = A n A n τ für jede Transposition τ sowie A n = 1 S 2 n = n!. 2 (ii) A n heißt alternierende Gruppe vom Grad n. Beispiel: (Aufgabe L1): A 3 besteht aus folgenden 3! 2 geraden Permutationen von S 3 ): = 3 Elementen ( den id= (1), (1 2 3) = (1 3) (1 2), (1 3 2) = (1 2) (1 3) = (1 2 3) 1. Ungerade Permutationen von S 3 sind die Transpositionen: (1 2), (1 3), (2 3). 8

9 Themenkreis 1: a) Vektorraum, Unterraum b) Basis, Dimension a) Vektorraum, Unterraum 1. Modell für die Zeichenebene, für den Anschauungsraum Welche Modelle? R 2, R 3 Geradengleichungen (verschiedene Formen) y = mx+b und x = c bzw. Punkt-Richtungsgleichung x = k m+ b, Zweipunktegleichung Ebenengleichungen (verschiedene Formen) 3-Punkte-Gleichung; Gleichung mithilfe Normalenvektor und (kanonischem) Skalarprodukt n( x b) = 0 (Hessesche Normalform, falls n = 1); s.auch [Sch] p Im 2-dimensionalen affinen Raum: a) vektorielle Punkt-Richtungs-Form: x = p+km mit Ortsvektor x eines beliebigen Punktes der Geraden g, Aufpunkt p, bis auf Vielfache bestimmtem Richtungsvektor m von g und Skalar k (aus dem Grundkörper K des Vektorraums). b) vektorielle Zwei-Punkte-Form: x=p 1 + k(p 2 p 1 ) mit verschiedenen Punkten p 1, p 2 von g und k K (s. Abb.?? b). c) Koordinatengleichung : ax + by + c = 0 mit (a, b) (0, 0). Anmerkung : Setzt man in der vektoriellen Punkt-Richtungsform aus a) x = (x, y), ferner m = (1, m) und p = (0, b) bzw. m = (0, 1) und p = (c, d), so erhält man als Koordinatengleichung y = mx + b bzw. x = c (s. Abb.?? a). d) Hessesche Normalform in EG(R 2 ) (s. Abbildung 3 b) Im 3-dimensionalen affinen Raum : a), b) vektorielle Punkt-Richtungs- bzw. Zwei-Punkte-Formen wie unter 1. c) Koordinatengleichungen : { a1 x + b 1 y + c 1 z + d = 0 mit a 2 x + b 2 y + c 2 z + d = 0 9

10 y (c,d) n p p 2 1 (0,b) 1 m x= c p 1 p 2 x y=mx+b (c,0) (0,1) x a) b) Abbildung 3 a) Zur Koordinatengleichung einer Geraden b) Zur vektoriellen Geradengleichung: x = p 1 + k( p 2 p 1 ) bzw. ( x p 1 ) n = 0 mit n ( p 2 p 1 ). ( a1 b Rang 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ) = 2. Anmerkung : Hierbei sind (a 1, b 1, c 1 ) und (a 2, b 2, c 2 ) (bei kanonischem Skalarprodukt) bis auf Normierung die Normalenvektoren von 2 Ebenen, deren Schnitt die Gerade ist. Die Rang-Bedingung bewirkt, dass die Ebenen nicht parallel sind. 2. Definition und Beispiele von Vektorräumen Definition Vektorraum s.[sch] p.1 Gegeben sei ein Körper K (als Skalarbereich ), z.b. Q, R, C, Q ( 2) oder ein endlicher Körper GF(p) = Z/pZ = Z p, GF(p s ). Dann heißt (V,, K) ein K Vektorraum (K VR), falls (V, ) eine abelsche Gruppe ist und die sogenannte S Multiplikation 3 K : K V V mit (λ, v) λv folgende Gesetze (für alle v, w V, λ, µ K, 1 = 1 K ) erfüllt: 3 Wegen der Kommutativität der Multiplikation in K kann man auch vλ(:= λv) schreiben; alternativ kann man auch K : V K V definieren. 10

11 K n das gemischte Assoziativgesetz (λ µ)v = λ(µv) die gemischten Distributivgesetze (λ + µ)v = λv µv und λ(v w) = λv λw und die Gleichung 1v = v K[X] Algebra (!) der Polynome mit Koeffizienten aus K R über Q allgemeiner: Köper über Unterkörper C([a, b], R) VR der stetigen reellwertigen Abbildungen des Intervalls [a, b] K (m,n) VR der m n Matrizen über K 3. Definition und Beispiele von Unterräumen s.[sch] p.4 4. Unterraumkriterium s.[sch] p.4 5. Definition affiner Unterraum (Lineare Mannigfaltigkeit) s.o. und [Sch] b) Basis, Dimension 1. Definition Lineare Unabhängigkeit, Linearkombination, Erzeugendensystem s.[sch] p Basis: Definition, Existenz (Basisexistenzsatz), Mächtigkeit/Dimension s.[sch] p Man zeige, dass jeder n dimensionale Vektorraum über dem Körper K isomorph (Def.?) zu K n ist! s.[sch]p.10 11