Bilineare duale Hyperovale und elementar abelsche TI Gruppen

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1 Bilineare duale Hyperovale und elementar abelsche TI Gruppen

2 DEFINITION. Sei V ein endlich-dimensionaler Raum über F q und D eine Teilmenge n-dimensionaler Unterräume. D ist ein duales Hyperoval vom Rang n (üblicher (n 1)-dimensionales duales Hyperoval), falls: (D1) Für je zwei X, Y D gilt dim X Y = 1. (D2) Für je drei X, Y, Z D gilt X Y Z = 0. (D3) Sei P X D, dim P = 1. D {X} mit P = X Y. Dann existiert genau ein Y Abkürzung: DHO = duales Hyperoval 1 1

3 EIGENSCHAFTEN Isb. für q = 2 D = qn 1 q = qn 1 + q n q + 2 D = 2 n Man nennt X X D den ambienten Raum des DHOs. O.E. ist im Folgenden V der ambiente Raum. SATZ (Yoshiara 2004). Sei D ein DHO vom Rang n über F q und V sei der ambiente Raum. Dann gilt: ( ) n+1 2n 1 dim V 2, q > 2, ( ) n , q = 2. VERMUTUNG: Die obere Schranke ( ) n+1 2 gilt auch für q = 2. 2

4 BEISPIEL: Sei q gerade. Sei V = S 2 (F n q ) (2-te Komponente der symmetrischen Algebra über F n q ). Für 0 e F n q sei X(e) = {x e x F n q } (X(e) = X(ke) für 0 k F q ). Ferner X(0) = {x 2 x F n q }. Dann ist D = {X(e) e F n q } das sogenannte Veronese DHO vom Rang n. Aut(D) = { PΓL(F n q ), (n, q) (3, 4), Aut(M 22 ), (n, q) = (3, 4). BEMERKUNG: Ist q ungerade, so ist {X(e) e 0} ein partielles DHO. EIN Raum fehlt. 3

5 BEISPIEL: Sei V = F n 2 2 (F n 2 ) ( 2 (F n 2 ) zweite Komponente der äußeren Algebra über F n 2 ). Für e Fn 2 sei X(e) = {(x, x e) x F n 2 }. Dann ist D = {X(e) e F n 2 } das sogenannte Huybrechts DHO vom Rang n über F 2. Aut(D) 2 n GL(n, 2). BEMERKUNG: ( ) n+1 2 ist Dimension des ambienten Raums des Veronese und des Huybrechts, Hat also (vermutete) maximale Größe. 2 4

6 BEISPIEL (Yoshiara, 2000): V = F 2 n F 2 n und (n, k) = 1. Sei x σ = x 2k. Für e X definiere und setze X(e) = {(x, xe σ + x σ e) x F 2 n} D = {X(e) e X}. Dann ist D ein DHO über F 2 mit ambienten Raum der Dimension 2n. 5

7 Unsere Beispiele haben Charakteristik 2! VERMUTUNG: DHOs existieren nur in gerader Charakteristik. Man weiß nur, daß keine DHOs ungerader Charakteristik vom Rang 2 existieren. Viele Beispiele sind für F 2 bekannt. Weniger groß ist der Vorrat an Beispielen für Körper F q, q gerade > 2. VON NUN AN NUR DHOs ÜBER F 2 6

8 DEFINITION. Es sei D ein DHO vom Rang n mit ambienten Raum V über F 2. T Aut(D) heißt Translationsgruppe, falls: (T1) T operiert regulär auf D. (T2) D zerfällt über C V (T ). D zerfällt über dem Teilraum Y V falls: V = X Y, alle X D. DEFINITION. Ein DHO mit einer Translationsgruppe heißt bilinear. 7

9 Für eine Translationsgruppe gilt außerdem: (T3) T ist elementar-abelsche 2-Gruppe der Ordnung 2 n. (T4) T operiert trivial auf V/C V (T ) (quadratische Aktion). 8

10 KOORDINATISIERUNG BILINEARER DHOs ÜBER F 2 Das bilineare DHO vom Rang n in V zerfalle über Y. Sei X D, identifiziere V = X Y. Dann existiert ein Momomorphismus β : X Hom(X, Y ) mit wo, D = {X(e) e X} X(e) = {(x, xβ(e)) x X}. (REP) Beachte: X X (x, e) xβ(e) Y ist bilinear. 9

11 TRANSLATIONSGRUPPE IN KOORDINATEN τ e definiert durch (x, y)τ e = (x, y + xβ(e)), d.h. als Matrix ( 1X β(e) τ e = ist Automorphismus von D und 1 Y ), T = {τ e e X} ist Translationsgruppe (zur Koordinatisierung β). 10

12 BEISPIEL: Huybrechts DHO (D = {X(e) e F n 2 } Fn 2 2 (F n 2 ) X(e) = {(x, x e) x F n 2 }) wird via REP koordinatisiert durch β : F n 2 Hom(Fn 2, 2 (F n 2 )) definiert durch xβ(e) = x e. BEISPIEL: Yoshiaras DHO (V = F 2 n F 2 n, D = {X(e) e F n 2 }, X(e) = {(x, xe σ + x σ e) x F 2 n}) wird via REP koordinatisiert durch β : F 2 n End(F 2 n) definiert durch xβ(e) = xe σ + x σ e. 11

13 Aus Vortrag von Y. Edel (Irsee, 2011): Satz. Sei D ein DHO vom Rang n 4 über F 2. Sei T G = Aut(D) eine Translationsgruppe. Dann: (a) C G (T ) = T (T selbstzentralisierend). (b) Sei T T Translationsgruppe. Dann T T = 1 (TI-Eigenschaft). (c) Jede Sylow 2-Untergruppe von G enthält genau eine Translationsuntergruppe. MaW. Die Translationsuntergruppen bilden eine Konjugiertenklasse selbstzentalisierender TI-Untergruppen von G. 12

14 Satz. (Timmesfeld, 1975) Sei G eine endliche Gruppe, die von einer Konjugiertenklasse elementar-abelscher, selbstzentralisierender TI-Untergruppen von 2-Potenzordnung erzeugt ist. Sei G = G/O(G). Dann: (a) O 2 (G) ist elementar-abelsche 2-Gruppe. (b) Sei G T. Dann G/O 2 (G) L n (q), Sz(q), U 3 (q); q = 2 m, A 6, A 7, A 8, A 9, M 22, M 23, M 24, oder G = O 2,2 (G). 3 13

15 Kernthema des Vortrags (D., Y. Edel, 2013): DHOs MIT MEHR ALS EINER TRANSLATIONSGRUPPE VORAUSSETZUNGEN: -. D DHO vom Rang n 4 über F 2 in V (ambienter Raum), dim V = n + m, -. T Menge der Translationsgruppen, T > 1. Setze G = T. AUFGABE: Bestimme G. 14

16 Satz. G = N D. Dabei ist N eine elementar-abelsche Gruppe der Ordnung 2 2(n 1) und D D 2k, k > 1 ungerade. Ferner existiert eine Partition D = D 0 D 1 und eine Zerlegung N = N 0 N 1 derart, daß Fix D (N i ) = D i und N i operiert treu und regulär auf D j für {i, j} = {0, 1}. Beweisskizze: Schritt 1. O(G) = 1, d.h. G = G im Satz von Timmesfeld. 4 15

17 Schritt 2. Angenommen, N T γ(t ) = 1 für alle T γ T {T }. Nach Timmesfeld: G/Z(G) L 2 (q), Sz(q), oder U 3 (q), q = 2 m. Wider- Keine dieser Gruppen hat Untergruppe vom Index 2 n. spruch, denn wegen T G ist G transitiv auf D. 16

18 Also existiert ein T γ T {T } mit N T γ(t ) 1. Schritt 3. Setze H = T, T γ und N = O 2 (H). Timmesfeld zeigt: N = N T γ(t )N T (T γ ) ist elementar-abelsch und H/N L 2 (q), Sz(q), oder D 2k, k ungerade. Man kann die ersten beiden Fälle in unserer Situation ausscheiden. 17

19 Schritt 4. G = H: Unter- Sei M = O 2 (G) (elementar-abelsch nach Timmesfeld). scheide M regulär auf D oder M nichtregulär. Im zweiten Fall hat man M = N und zeigt dann G = H. Im ersten Fall ist M = 2 n und G/M ist bekannt. Struktureigenschaften von G zeigen, daß dieser Fall nicht auftritt. BEMERKUNG: T N = 2 n 1 und ist τ T (T N), so vertauscht τ die (T N)-Bahnen D 0 und D 1. 18

20 Die Aussagen des Satzes führen zu einer konkreten Beschreibung der linearen Darstellung (Matrixdarstellung) von G! Definiere: W i = X X X, X D i, i = 0, 1, V 0 = W 0 W 1, V 1 = W 0 + W 1. Man zeigt: dim V 0 = m n + 1 und dim V 1 = m + n 1. 19

21 V 1 V 1 W 0 n 1 n 1 W 1 m n+1 V

22 Da N i F n 1 2, schreibe N 0 = {ν e e F n 1 2 } bzw. N 1 = {ν e e F n 1 2 }. Man erhält Matrixdarstellungen der Form: ν e = 1 e 1 1 β(e) 1, ν e = 1 e 1 β(e) 1 1 wobei die Diagonalblöcke die Größen 1 1, (n 1) (n 1), (n 1) (n 1), und (m n + 1) (m n + 1) haben., 21

23 Ferner für ein τ T (N T ) τ =

24 Lemma. Die additive Abbildung β : F n 1 2 Hom(F n 1 2, F m n+1 definiert ein symmetrisches, bilineares DHO vom Rang n 1. β symmetrisch: xβ(e) = eβ(x), x, e F n ) Beispiele symmetrischer DHOs: von Yoshiara Huybrechts DHOs, die DHOs Das führt zu: Satz. Hat ein bilineares DHO D vom Rang n mehr als eine Translationsgruppe, so ist D die Erweiterung eines bilinearen, symmetrischen DHOs vom Rang n 1. 23

25 KONSTRUKTION: β : X Hom(X, Y ) definiere ein symmetrisches DHO auf V = X Y. Setze X = F 2 X und Y = X Y. Für e X definiere zwei Unterräume von X Y durch X(0, e) = {(b, be, be + x, (be + x)β(e)) (b, x) X}, X(1, e) = {(b, be + x, be, (be + x)β(e)) (b, x) X}. Setze D = {X(a, e) (a, e) X}. Satz. D ist ein bilineares DHO in X Y. Das DHO D ist die Erweiterung von D. 24

26 Nicht jede Erweiterung hat mehrere Translationsgruppen. BEISPIEL: Die Erweiterung des n-dimensionalen Huybrechts DHO ist das n + 1-dimensionale Huybrechts DHO. Die Huybrechts DHOs haben nur eine Translationsgruppe. FRAGE: Wann hat die Erweiterung eines symmetrischen DHOs mehr als eine Translationsgruppe? ANTWORT: Einfach zu kontrollierende algebraische Bedingung an β. DAHER: Es gibt viele bilineare DHOs mit mehr als einer Translationsgruppe. 25

27 VERALLGEMEINERUNG DER ERWEITERUNGSKONSTRUK- TION β : X Hom(X, Y ) definiere ein bilineares, symmetrisches DHO auf V = X Y. Definiere β o : X Hom(X, Y ) opposite zu β durch xβ o (e) = eβ(x). β o definiert auch bilineares DHO (opposite DHO). Isb. β symmetrisch β = β o 26

28 Wie zuvor X = F 2 X und Y = X Y. Für e X definiere zwei Unterräume von X Y durch X(0, e) = {(b, be, be + x, (be + x)β(e)) (b, x) X}, X(1, e) = {(b, be + x, be, (be + x)β o (e)) (b, x) X}. Dann ist D = {X(a, e) (a, e) X} ein DHO, die Erweiterung Erweiterung von D. I.A. ist D nicht bilinear. 27

29 Aber die Gruppe N überlebt! Für e X setze n 1,e = 1 e 1 1 β(e) 1, n 0,e = 1 e 1 β o (e) 1 1. Dann ist N = n 0,e, n 1,e e X eine elementar-abelsche, selbst-zentralisierende Gruppe der Ordnung 2 2n 2 : N ist nicht TI Gruppe ond operiert nicht quadratisch. 28

30 Sei N Menge der Konjugierten von N in Aut(D). VORAUSSETZUNG: -. D ist Erweiterung eines bilinearen DHOs D vom Rang n 4 über F 2, d.h. N = 2 2n, -. N > 1. Setze G = N. AUFGABE: Bestimme G. 29

31 Lemma 1. Angenommen N, M N, M N, und M N sei maximal. Dann: (a) M N = 2 n 1. (b) N/(M N) ist selbstzentralisierend in H/(M N), wo H = M, N. (c) P = O 2 (H) ist speziell der Ordnung 2 3n 1, H/P S 3. Definiere auf N die Relation durch: M N genau dann, wenn M N 2 n 1. Lemma 2. ist eine Äquivalenzrelation. 30

32 Proposition 3. Sei M eine Äquivalenzklasse und H = M. Dann existiert ein k > 0 mit: (a) P = O 2 (H) ist speziell der Ordnung, 2 (k+1)(n k)+n+1 und Z(P ) = 2 n k. (b) H/P GL(k + 1, 2). (c) Die Kompositionsfaktoren von P/Z(P ) sind natürliche GL(k + 1, 2)-Moduln. VERMUTUNG: Es gibt nur eine Äquivalenzklasse, d.h. G = H = N. 31

33 H P GL(k+1,2) Kontragredient zum nat. Modul Nat. GL(k+1,2) Modul Z(P) 2 n k 32