Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2015/16) 1. Abgabetermin: Donnerstag, 15. Januar.

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1 Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2015/16) 1 Abgabetermin: Donnerstag, 15. Januar Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen. Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per oder in der Vorlesung). Zum Grad einer Erweiterung K( d i ) Hier sind Konsequenzen der Überlegungen des letzten Blattes (siehe auch Vorlesung). Es sei K ein Körper mit chark 2. Ferner seien d 1,...,d n K und es sei H ein Oberkörper mit d i H. Wir betrachten den Körper L = K( d 1,..., d n ) H Wie bestimmt man den Grad von L/K? Es seien und damit Wir haben also einen Körperturm L k = K( d 1,..., d k ) L k = L k 1 [ d k ] L = L n /L n 1 / /L 0 = K von Erweiterungen vom Grad 1 oder 2, je nachdem ob L k = L k 1 (also d k L k 1 ) oder nicht. Nach der Gradformel ist [L : K] eine Potenz von 2, mit dem maximalen Wert 2 n. 1 Fassung vom 13. Januar (Korrektur von Aufgabe 2 (2), H 2 H 3 in Aufgabe 3 (3))

2 2 Zunächst eine Folgerung aus Blatt 9, Proposition 14: Korollar 1. Ein Element e K ist ein Quadrat in L genau dann wenn eines der Elemente n e mit r i = 0,1 ein Quadrat in K ist. Beweis. Die Rückrichtung ist klar, weil die d i in L alle Quadrate sind. i=1 Die andere Behauptung folgt induktiv aus Blatt 9, Proposition 14 (dem Fall n = 1). Es sei n 1 und e K sei in L ein Quadrat. Man betrachte die Erweiterung d r i i K := L n 1 L = K ( d n ) Als Element von K liegt e sicherlich in K. Nach Blatt 9, Proposition 14 ist e oder ed n ein Quadrat in K. Also ist e = ed rn n mit geeignetem r n = 0,1 ein Quadrat in L n 1. Nach Induktion gibt es r i = 0,1 so daß e n 1 i=1 ein Quadrat in K ist. Die Behauptung ist nun klar. Korollar 2. Es gilt [L:K] < 2 n genau dann wenn es eine nicht-leere Menge von Indices i j (j = 1,...,r, r > 0) gibt mit d i1 d ir = c 2 für ein c K. Beweis. Gibt es eine Relation d r i i d i1 d ir = c 2 mit r > 0, so folgt di1 d ir = ±c Man kann daher eine Quadratwurzel bei der Bildung von L weglassen, und somit gilt [L:K] 2 n 1. (Es gilt L k = L k 1 mit k = i r.) Umgekehrt, es gelte [L:K] < 2 n. Dann muß L k = L k 1 für ein k gelten, d.h. d k ist in L k 1 ein Quadrat. Nach Korollar 1 ist ein Produkt der Form d k k 1 i=1 d r i i

3 3 mit r i = 0,1 ein Quadrat in K. Die Behauptung ist nun klar. Hier ist eine andere Formulierung von Korollar 2: Korollar 3. Es sei K ein Körper mit chark 2. Ferner seien d 1,...,d n K und es sei H ein Oberkörper mit d i H. Wir betrachten den Körper Dann gilt L = K( d 1,..., d n ) H [L:K] = 2 n genau dann wenn die d i multiplikativ unabhängig modulo Quadraten sind, genauer, wenn gilt: Sind e i Z und gilt für ein c K, so folgt d e i i = c 2 e 1 e 2 e n 0 mod 2 Beweis. Dieswirdklar,nachdemmandiee i durchihrerestklassen mod 2ersetzt: Mit e i = r i +2f i wird zu d r i i = c 2, d e i i = c 2 c = c d f i i Diese multiplikative Unabhängigkeit modulo Quadraten erinnert an die Bedingung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Sie ist tatsächlich ein Spezialfall. Dazu eine allgemeine Bemerkung. Abelsche Gruppen vom Exponenten p sind F p -Vektorräume Zunächst eine Definition: Definition 4. Der Exponent einer (endlichen) Gruppe ist die kleinste natürliche Zahl n > 0 mit g n = 1 für alle g G. Equivalent: Der Exponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen der Elemente von G.

4 4 Der Exponent ist ein Teiler der Gruppenordnung G (Satz von Lagrange). Hat G den Exponenten n, so kann man in Produkten g e 1 1 ger r die Exponenten e i Z ohne weiteres als Elemente von Z/nZ betrachten. Ist G abelsch und ist die Gruppenverknüpfung additiv geschrieben, so kann man den Exponenten auch schreiben als das kleinste n > 0 mit n G = 0 Wie bereits in der Vorlesung bemerkt, sind die abelschen Gruppen genau die Z- Moduln. Dazu schreibe man die Gruppenverknüpfung besser additiv und definiert k g = g + +g, etc. Entsprechend sind die abelschen Gruppen mit Exponenten n genau die Z/nZ- Moduln. Ein netter Spezialfall tritt auf, falls der Exponent eine Primzahl p ist. Dann ist die Gruppe ein Z/pZ-Modul, also ein F p -Vektorraum. Man kann dann die bekannten Begriffe aus der Linearen Algebra anwenden. Der Klarheit sei bemerkt, daß die triviale Gruppe den Exponenten 1 hat. Mit Ausnahme der triviale Gruppe bzw. des 0-dimensionalen Vektorraumes sind die abelschen Gruppen vom Exponenten p genau die F p -Vektorräume. Ein Beispiel hierzu ist die Quadratklassengruppe: Q(K) = K /(K ) 2 Sie hat den Exponenten 2, ist also (additiv geschrieben) ein F 2 -Vektorraum. Die multiplikative Unabhängigkeit modulo Quadraten wird nach Übergang zu den Quadratklassen zur linearen Unabhängigkeit aus der Linearen Algebra.

5 5 Die Norm N L/K (für quadratische Erweiterungen) Es sei chark 2 und L/K eine quadratische Erweiterung. Lemma 5. Es gibt genau einen nicht-trivialen K-Automorphismus σ: L L Er heißt die kanonische Involution der quadratischen Erweiterung L/K. Ist L = K( d), so gilt σ(a+b d) = a b d Beweis. (Schon in der Vorlesung vor einiger Zeit besprochen.) Man hat L K[t]/(t 2 d) für ein d K. Mittels der universellen Eigenschaften des Polynomringes und von Quotienten-Gruppen sieht man, daß alle K-Automorphismen von K[t]/(t 2 d) gegeben sind durch t ±t. Dies ergibt die Identität und eben σ. Wie bei den komplexen Zahlen heißt σ(x) das Konjugierte von x L. Weil σ ein Ringhomomorphismus ist, gilt natürlich Man schreibt auch oft wie bei den komplexen Zahlen. Für x L ist die Norm definiert als σ(xy) = σ(x)σ(y) σ(x) = x N(x) = N L/K (x) = xσ(x) Wegen (a+b d)(a b d) = a 2 b 2 d liegt die Norm N(x) immer im Grundkörper K. Ferner gilt N(xy) = N(x)N(y) Sie kennen das alles von C/R und es gibt hier algebraisch wirklich keinen Unterschied. Festgehalten werden soll hier: Lemma 6. Die Norm definiert einen Homomorphismus N L/K : L K N L/K = xσ(x) = x x von der multiplikativen Gruppe von L in die multiplikative Gruppe von K.

6 6 Man beachte (N C/R (i) = +1) N K( d)/k ( d) = d Man definiert übrigens auch noch die Spur (trace): T L/K = Spur L/K : L K T L/K = x+σ(x) = x+ x Bei C/R ist der Realteil offensichtlich 1/2 die Spur. Die Norm und Spur kann man auch für endliche von beliebigen Grad definieren. Dazu an anderer Stelle mehr.

7 Aufgabe 1. Es sei chark 2 und es sei L = K( a, b) eine biquadratische Erweiterung, genauer: L/K ist eine Körpererweiterung vom Grad 4 und für gewisse a,b K gilt L = K(α,β) mit α 2 = a, β 2 = b. (1) Man bestimme alle Körper-Automorphismen η von L mit η(c) = c für c K. Hinweis. Wenn Sie das richtige Ergebnis haben, wird offensichtlich sein, daß die Gruppe Aut K (L) dieser Automorphismen eine abelsche Gruppe mit 4 Elementen und dem Exponenten 2 ist. Als F 2 -Vektorraum mit 4 Elementen ist sie somit isomorph zu (Z/2Z) 2. (2) Für jeden nicht-trivialen solchen Automorphismus η von L/K gebe man den Fixkörper L η = {z L η(z) = z} an. 7 Aufgabe 2. Es sei L/K eine quadratische Erweiterung (chark 2 und N, σ wie oben). Man zeige, daß für x L äquivalent ist: (1) N(x) = 1 (2) Es gibt ein y L mit x = y σ(y) Hinweis. Zu (1) (2): Probieren Sie erst mal selbst, dann versuchen Sie es mit y = x+1. Anmerkung. Die Aussage der Aufgabe ist der Spezialfall des sog. Hilbert Satz 90 für quadratische Erweiterungen.

8 8 Notationen: m-te Einheitswurzel: ζ m = e 2πi m C Die Potenzen ζ h m sind die Lösungen von tm = 1. Aufgabe 3. Man zeige (1) (2) (3) Es seien Q(ζ 4 ) = Q( 1) Q(ζ 8 ) = Q( 1, 2) L = Q(ζ 8 ), H 1 = Q( 1), H 2 = Q( 2), H 3 = Q( 2) Man bestimme für i = 1, 2, 3. N L/Hi (ζ 8 ) H i Hinweis. Für Teil (1) gibt es keine Punkte... Aufgabe 4. Es seien und Man zeige für alle k > 2: (1) (2) α k = ζ 2 k L k = Q(α k ) C [L k+1 :L k ] = 2 N Lk+1 /L k (α k+1 ) = α k Hinweis. Die Fälle k 2 sind in Aufgabe 3 behandelt. (2) ist als Hilfe für einen induktiven Beweis von 1 gedacht.