Die Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes

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1 Abschnitt 12 Die Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes Wir werden nun die Homologiegruppen H i (S), i 0 eines Simplizialkomplexes S definieren. Es lohnt sich, einen Moment einen Vergleich mit der Fundamentalgruppe anzustellen. Diese hatten wir für einen Raum (mit Basispunkt) definiert, ohne Bezug auf eine Triangulierung zu nehmen oder auch nur Triangulierbarkeit vorauszusetzen. Im letzten Abschnitt haben wir dann gezeigt, dass sich die Fundamentalgruppe mit Hilfe einer Triangulierung des Raumes bestimmen lässt. Ähnlich kann man Homologiegruppen eines beliebigen Raumes definieren, beispielsweise die singulären Homologiegruppen und dann später zeigen, wie sie sich für einen triangulierten Raum aus der Triangulierung berechnen lassen. Wir werden hier stattdessen den klassischen Weg beschreiten und die simplizialen Homologiegruppen eines abstrakten Simplizialkomplexes definieren. Ihre Nützlichkeit entfaltet diese Theorie dann, nachdem man gezeigt hat, dass Simplizialkomplexe mit homöomorphen Realisierungen (in der Tat genügt Homotopieäquivalenz) isomorphe Homologiegruppen haben. Bevor wir dieses Resultat zumindest für endliche Simplizialkomplexe beweisen, werden wir die Spezialfälle H 0 (S) und H 1 (S) behandeln. Für diese Gruppen werden wir Beschreibungen mit Hilfe der Zusammenhangskomponenten von S beziehungsweise der Fundamentalgruppe von S erhalten. Definition der Homologiegruppen Im folgenden sei R ein kommutativer Ring mit 1. Viele der zu definierenden Objekte werden R-Moduln sein. Dabei werden wir hauptsächlich an den Fällen R = Z und R = k, wobei k ein Körper ist, interessiert sein. Z-Moduln sind nichts weiter als abelsche Gruppen, k-moduln sind k-vektorräume. An Körpern werden uns hauptsächlich die Fälle k = Q und k = Z 2 interessieren Definition. Sei S ein abstrakter Simplizialkomplex und k Z. Wir betrachten zunächst den freien R-Modul mit Basis Σ k (S) := {(v 0,..., v k ): {v 0,..., v k } S, {v 0,..., v k } = k + 1}, 1

2 2 12. Die Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes das heißt den Modul (v 0,...,v k ) Σ k (S) R, wobei wir 1 R aus dem zu (v 0,..., v k ) gehörigen Summanden mit (v 0,..., v k ) identifizieren. Wir nehmen nun den Quotienten nach dem von allen Elementen der Form (v 0,..., v k ) sgn π (v π(0),..., v π(k) ), wobei π S({0,..., k}) eine Permutation ist, erzeugten Untermodul: C k (S) := (v 0,...,v k ) Σ k (S) R / (v 0,...,v k ) sgn π (v π(0),...,v π(k) ). Wir nennen C k (S) den k-ten reduzierten orientierten Kettenmodul von S. Und Elemente daraus k-ketten (mit Koeffizienten in R). Wir bezeichnen die Klasse von (v 0,..., v k ) in C k (S) mit v 0,..., v k. Wir setzen außerdem C k (S) := C k (S) für k 1 und C 1 (S) := 0. Dies sind die unreduzierten Kettenmoduln Bemerkung. Es ist also v 0,..., v k = sgn π v π(0),..., v π(k) Lemma. Für k { 1, 0} ist Ck (S) ein freier R-Modul mit Basis Σ k (S). Für k > 0 und σ S ein k-simplex ist { v 0,..., v k : {v 0,..., v k } = σ} eine 2-elementige Menge. Die Wahl eines Elementes nennen wir eine Orientierung von σ. Haben wir für jeden k-simplex eine solche Orientierung gewählt, so bilden diese eine Basis von C k (S) Definition und Proposition. Für einen abstrakten Simplizialkomplex S und k 0 ist durch d k : Ck (S) C k 1 (S) k v 0,..., v k ( 1) i v 0,..., ˆv i,..., v k eine R-lineare Abbildung definiert. Dabei stehe v 0,..., ˆv i,..., v k für v 0,..., v i 1, v i+i,..., v k, der Hut also für das Weglassen eines Eintrages. Außerdem definieren wir d k = 0 für k < 0. Ebenso definieren wir Abbildungen d k : C k (S) C k 1 (S), nur dass hier auch d 0 = 0. Beweis. Setzen wir d(v 0,..., v k ) := k ( 1) i v 0,..., ˆv i,..., v k. Wir haben zu zeigen, dass d(v π(0),..., v π(k) ) = sign π d( v 0,..., v k ) für eine beliebige Permutation π. Da die symmetrische Gruppe von Transpositionen benachbarter Elemente erzeugt wird, genügt es, dies für eine solche nachzurechnen.

3 Definition der Homologiegruppen 3 Nun ist für 0 r < k d(v 0,..., v r 1, v r+1, v r, v r+2,... v k ) = r 1 = ( 1) i v 0,..., ˆv i,..., v r 1, v r+1, v r, v r+2,..., v k + ( 1) r v 0,..., ˆv r+1,..., v k + ( 1) r+1 v 0,..., ˆv r,..., v k k + ( 1) i v 0,..., v r 1, v r+1, v r, v r+2,..., ˆv i,..., v k r 1 i=r+2 = ( 1) i+1 v 0,..., ˆv i,... v k + ( 1) r v 0,..., ˆv r+1,..., v k + ( 1) r+1 v 0,..., ˆv r,..., v k k + ( 1) i+1 v 0,..., ˆv i,... v k = i=r+2 k v 0,..., ˆv i,... v k = d(v 0,..., v k ) wie gewünscht Proposition. Für die soeben definierten Abbildungen gilt d k d k+1 = 0. Beweis. Die trivialen Fälle beiseite lassend berechnen wir ( k+1 ) d k (d k+1 v 0,..., v k+1 ) = d k ( 1) i v 0,..., ˆv i,..., v k+1 = k+1 ( i 1 = ( 1) i ( 1) j v 0,..., ˆv j,..., ˆv i,..., v k+1 + = = 0 j=0 0 j<i k k+1 j=i+1 ( 1) j 1 v 0,..., ˆv i,..., ˆv j,..., v k+1 ( 1) i+j v 0,..., ˆv j,..., ˆv i,..., v k i<j k+1 ( 1) i+j 1 v 0,..., ˆv i,..., ˆv j,..., v k+1 ) wie behauptet Definition. Es sei R ein Ring. Ein R-Kettenkomplex D = (D, d ) ist eine Familie (D k ) k Z von R-Moduln zusammen mit R-linearen Abbildungen

4 4 12. Die Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes d k : D k D k 1, so dass d k d k+1 = 0 für alle k Z. Die Abbildungen d k nennen wir Randabbildungen Definition. Es sei D ein R-Kettenkomplex. Wir definieren den Modul der k-zykel und Z k (D) = ker(d k : D k D k 1 ), B k (D) = im(d k+1 : D k+1 D k ), den Modul der k-ränder. Da d k d k+1 = 0, ist B k (D) Z k (D), und wir definieren H k (D) = Z k (D)/B k (D), den k-ten Homologiemodul von D Definition. Für einen abstrakten Simplizialkomplex S setzen wir H k (S) := H k (C (S)) und H k (S) := H k ( C (S)). Wollen wir betonen, über welchem Ring R wir arbeiten, so schreiben wir H k (S; R) beziehungsweise H k (S; R). Wir halten schon einmal folgendes fest, auf das wir später zurückkommen Proposition. Es sei S ein abstrakter Simplizialkomplex. Es ist H k (S) = H k (S) für k > 0, und ist V (S) Ø, so ist H 1 (S) = 0 und H 0 (S) = R H 0 (S). Beweis. Zur Übung. Die Homologie eines Simplexes Wir wollen für n 1 mit n auch den abstrakten Simplizialkomplex P({0,..., n}) bezeichnen und setzen d n := n \ {{0,..., n}}. Wie bereits bemerkt ist n n D n und d n d n S n 1. Da n für n 0 zusammenziehbar ist und die H r ({Ø, {0}}) = H r ( 0 ) = 0 für alle r (Nachrechnen!), erwarten wir H r ( n ) = 0 für alle r. Dies ist unser erstes Resultat Proposition. Sei S ein Simplizialkomplex und sei v V (S), so dass σ {v} S für alle σ S. (Wir sagen, S sei ein Kegel mit Spitze v.) Dann ist H r (S) = 0 für alle r.

5 Die Homologie eines Simplexes 5 Beweis. Wir müssen zeigen, dass jeder r-zykel Rand einer (r + 1)-Kette ist. Dazu definieren wir für alle r 1 eine lineare Abbildung K r : Cr (S) C r+1, { v, u0,..., u r, v / {u 0,..., u r }, u 0,..., u r 0, v {u 0,..., u r }. Diese ist wohldefiniert, da die Definition mit Permutationen verträglich ist. Wir setzen außerdem K r = 0 für r < 1. Dann gilt für alle r Z, dass d r+1 K r + K r 1 d r = id Cr(S). In der Tat haben wir für r 0 und v / {u 0,..., u r } dk u 0,..., u r = d v, u 0,..., u r r = u 0,..., u r + ( 1) i+1 v, u 0,..., û i,..., u r und für v = u j = u 0,..., u r Kd u 0,..., u r. Kd u 0,..., u r = Kd u 0,..., u j 1, v, u j+1,..., u r und schließlich für r = 1 = ( 1) j K u 0,..., û j,..., u r = ( 1) j v, u 0,..., û j,..., u r = u 0,..., u j 1, v, u j+1,..., u r = u 0,..., u r dk u 0,..., u r dk = d v = = Kd. Man mache sich klar, dass obige Rechnung auch für r = 0 korrekt war, und wo sie für C(S) an Stelle von C(S) falsch gewesen wäre, beziehungsweise, was dort das Ergebnis gewesen wäre. Ist also [c] H r (S), das heißt c C r (S) und dc = 0, so ist c = d r+1 (K r (c)) + K r 1 (d r (c)) = d r+1 (K r (c)) ein Rand, also [c] = Korollar. Hr ( n ) = 0 für n 0, r Z Proposition. Für n 0 ist { H k (d n ) 0, k n 1, = R, k = n 1, wobei Hn 1 (d n ) von [d n 0,..., n ] erzeugt wird.

6 6 12. Die Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes Beweis. Für k < n 1 ist H k (d n ) = H k ( n ) = 0, für k > n 1 ist C k (d n ) = 0, also H k (d n ) = 0. Da C n+1 ( n ) = 0, ist H n ( n ) = ker d C( n ) n. Da H n ( n ) = 0, ist also d C( n ) n injektiv. Da H n 1 ( n ) = 0, ist ker d C( n ) n 1 = im d C( n ) n. Da C n (d n ) = 0, ist H n 1 (d n ) = ker d C(d n ) n 1. Nun ist ker d C(d n ) n 1 = ker d C( n ) n 1, also nach dem vorhergehenden d n : Cn ( n ) Z n 1 (d n ) = H n 1 (d n ) ein Isomorphismus.