Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 23. Juni.

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1 Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 23. Juni Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Das Tensorprodukt Siehe auch den Text auf Präsenzblatt P6. Das Tensorprodukt zweier Vektorräume V, W über einem Körper K wird bezeichnet mit V K W oder einfach mit V W Zunächst einige allgemeine Anmerkungen dazu. Für Vektoren v V, w W bezeichnet man mit v w V W das Tensorprodukt von v und w. Dies ist ein Element des Vektorraumes V W. Elemente der Form v w heißen elementare Tensoren. Summen davon heißen Tensoren. Diese haben folgende Eigenschaften: (1) Die elementaren Tensoren v w erzeugen V W als Vektorraum. Dies bedeutet, daß jedes Element von V W geschrieben werden kann als Summe N a l (v l w l ) l=1 mit N > 0, a l K, v l V, w l W. Eine solche Darstellung ist keineswegs eindeutig.

2 2 (2) Es gelten folgende Rechenregeln (a, a K, v, v V, w, w W): Die erste wichtige Regel ist die Tensor-Regel : a(v w) = (av) w = v (aw) Es macht man also keinen Unterschied welchen der Vektoren v, w, v w man mit einem Skalar multipliziert. Dementsprechend braucht man hier keine Klammern setzen. Ferner versteht man wie üblich Punkt vor Strich, oder vor + : v w +v w = (v w)+(v w ) Die zweite wichtige Regel ist die Bilinearität: (av +a v ) w = av w+av w v (aw +a w ) = av w+av w Wie definiert man nun das Tensorprodukt? Kurz gesagt: V W ist der Vektorraum erzeugt von Symbolen v w mit v V, w W für die die Regeln in (2) gelten. Ferner sollen keine weiteren Regeln erlaubt sein. Dies zu präzisieren, ist die Hauptschwierigkeit bei der Definition. Ein Spaßvogel könnte ja einfach die Regel v w = 0 betrachten. Dann wäre das Tensorprodukt trivial, V W = 0 und die Regeln (2) wären sicherlich erfüllt. Es gibt verschiedene Methoden zur Definition die weiter unten besprochen werden. Egal welchen Weg man wählt, schließlich erhält man das Tensorprodukt V W. Es ist nicht trivial, denn es gilt Lemma. Hat V die Basis und W die Basis so hat V W die Basis v i w j (i = 1,...,n) (j = 1,...,m) v i w j ( i = 1,...,n, j = 1,...,m) Korollar. Es gilt dim(v W) = dimv dimw

3 Schließlich seien noch folgende Regeln erwähnt: (V V ) W = V W V W V (W W ) = V W V W Das Gleichheitszeichen = steht hier für kanonische Isomorphie. Dies kann man mit der universellen Eigenschaft präzisieren, nach Basiswahlen wird die Isomorphie aber offensichtlich: Es sei v i eine Basis von V, v i eine Basis von V und w j eine Basis von W. Dann bilden die v i, v i eine Basis von V V und daher ist v i w j, v i w j eine Basis von (V V ) W. Ferner bilden die v i w j eine Basis von V W und die v i w j eine Basis V W. Daraus ergibt sich die Identifikation in Analog für die andere Behauptung. (V V ) W = V W V W 3 Der Rest des Textes behandelt die Definition des Tensorproduktes. Dieser Teil ist etwa für Aufgaben nicht relevant. Es sei aber nochmal auf Präsenzblatt P6 verwiesen.

4 4 Definition des Tensorproduktes als Quotient Wie präzisiert man die Definition? Wie in der Vorlesung angesprochen, gibt es dazu eine allgemeine Konstruktion. Man betrachtet zunächst den Vektorraum T = e v,w K v V, w W Dabei nimmt für jedes Paar (v,w) ein Symbol e v,w und defniert T als den Vektorraum mit diesen Symbolen als Basis. Dies ist im allgemeinen ein riesiger Raum, schon für V = W = K = Q. Aus T soll nun V W gebildet werden, wobei die Elemente e v,w die Tensoren v w ergeben sollen. Dazu betrachtet man einen Unterraum R T der die gewünschten Regeln beschreibt: R ist der Untervektorraum von T der erzeugt wird von den Elementen der Form e av,w ae v,w e v,aw ae v,w e av+a v,w ae v,w a e v,w e v,aw+a w ae v,w a e v,w Man definiert nun V W als den Quotientenraum von T nach R: V W := T/R Quotientenräume wurden in LA1 nur im Ansatz besprochen, daher sei hier Folgendes bemerkt: Es ist T/R = T/ wobei die Äquivalenzrelation (im Sinne des Vorkurses) ist gegeben durch x y x y R Man rechnet nun nach, daß T/ wieder ein Vektorraum ist, der seine Addition und Skalarmultiplikation von T erbt: Man hat [ax+by] = a[x]+b[y] für a, b K und x, y T, wobei [x] die Äquivalenzklasse von x bezeichnet. Die Äquivalenzklassen [e v,w ] der Elemente e v,w nach dieser Äquivalenzrelation sind dann die Elementartensoren: v w := [e v,w ] Für diese Elemente gelten die Regeln aus (2), wie man schnell nachrechnet. Z.B. weil e av+a v,w e av,w e a v,w R folgt e av+a v,w e av,w e a v,w 0

5 5 Daher in T/R. Es folgt bzw. [e av+a v,w e av,w e a v,w] = 0 [e av+a v,w] [e av,w ] [e a v,w] = 0 (av +a v ) w av w a v w = 0 Diese Definition des Tensorproduktes mag anfangs als komplizert und aufwendig erscheinen. Schließlich hat man für V = W = K = R einfach R R = R und hier wird der 1-dimensionale Vektorraum R R als Quotient des Vektorraumes T mit überabzählbarer Dimension nach dem Vektorraum R mit ebenfalls überabzählbarer Dimension definiert. Andererseits drückt diese Konstruktion auf präzise Weise genau das aus, was man unter dem Tensorprodukt versteht: V W wird erzeugt von den v w zusammen mit den Regeln (2) (und keinen weiteren Regeln). Charakterisierung durch eine universelle Eigenschaft Dies wurde in der Vorlesung ausführlich besprochen. Details findet man auf Präsenzblatt P6. Wichtig dabei war, daß je zwei Paare (T, t), die die universelle Eigenschaft haben, kanonisch isomorph sind. Man kann also von dem Tensorprodukt sprechen. Was die oben erwähnte Definition als Quotienten angeht, so stellt man fest, das auch diese Definition die universelle Eigenschaft erfüllt. Genauer: Die Abbildung t: V W V W := T/R (v,w) v w := [e v,w ] ist bilinear und das Paar (T/R, t) hat die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes. Damit ist T/R kanonisch isomorph zu jeder anderen Konstruktion von V W. Definition nach Basiswahlen Wir nehmen an, daß V und W endlich-dimensional sind. Man wähle in V eine Basis und in W eine Basis v i w j (i = 1,...,n) (j = 1,...,m)

6 6 Man kann dann V W definieren als den Vektorraum mit der Basis ( v i w j i = 1,...,n, j = 1,...,m) In der Vorlesung wurde hierfür die universelle Eigenschaft nachgewiesen, man erhält also auf diese Weise das Tensorprodukt.

7 7 Wieder einmal nur 3 Aufgaben. Aufgabe 1. Man betrachte in V = K 2 die Basis f 1 = e 1 und in W = K 3 die Basis f 2 = e 1 +e 2 g 1 = e 1 g 2 = e 1 e 2 g 3 = e 1 +e 2 +e 3 Man drücke die Basis f i g j von V W durch die Basis e ij := e i e j aus. Aufgabe 2. Wir betrachten C als Vektorraum über R. Man gebe eine Basis des R-Vektorraumes C R C an. Es seien V, W Vektorräume über C mit dim C V = n und dim C W = m. V und W werden ggf. wie üblich auch als Vektorräume über R aufgefaßt. Man bestimme dim C (V C W), dim R (V C W), dim R (V R W) Aufgabe 3. Man präziere folgende Aussage über Polynomringe: C[x] = C R R[x] Hinweis. Gemeint ist hier, daß Sie einen natürlichen Isomorphismus herstellen, mit der universellen Eigenschaft und/oder Basen. Anmerkung. Die Aussage hat gar nichts mit R und C zu tun. Allgemein gilt für beliebige Körper K L: L[x] = L K K[x]