3.5 Faktorzerlegung von Polynomen

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1 Algebra I c Rudolf Scharlau, Faktorzerlegung von Polynomen In diesem Abschnittes geht es um eine Verfeinerung der Methoden, mit denen man Polynome, z.b. mit Koeffizienten in Z oder Q, auf Irreduziblität untersuchen kann. Dies war bei der Einführung von Polynomen in Abschnitt 3.2 noch nicht möglich, da die eindeutige Primfaktorzerlegung aus Abschnitt 3.3 benötigt wird (und zwar sowohl für die Polynome selbst als auch für ihre Koeffizienten). Diese Irreduzibilitäts-Kriterien werden in Kapitel 4 für die genauere Untersuchung von Körperweiterungen der rationalen Zahlen benötigt. Vorher wird in diesem Abschnitt noch eine andere Konstruktion nachgetragen, nämlich die Erweiterung eines Integritätsbereiches R zu einem Körper, dem sogenannten Quotientenkörper von R. DiesesgeschiehtdurchEinführung von formalen Brüchen, wie bei der vielleicht schon bekannten Konstruktion von Q aus Z. DieseKonstruktionhatmitPolynomeneigentlichnichtszutun,wir benötigen sie als Grundlage für eine präzise Theorie von gekürzten Brüchen. Die entsprechenden Sätze gelten im Quotientenkörper eines beliebigen Hauptidealrings und können als der Kern des Beweises eines dann folgenden wichtigen Satzes von Gauß über die Zerlegung von Polynomen mit rationalen Koeffizienten angesehen werden. Gegeben sei also ein kommutativer Ring R mit 1. Wir möchten R möglichst sparsam (siehe unten für eine präzise Formulierung) zu einem Körper erweitern. Wenn R schon Teilring eines Körpers K wäre, so müsste man mindestens noch alle Elemente b 1,b R {0} hinzunehmen, weiter dann alle ab 1,a R, b R {0}. DieseElementebildendannabertatsächlich schon einen Teilring von K, derselbsteinkörperist: die Abgeschlossenheit unter Addition ergibt sich aus a 1 b a 2 b 1 2 =(a 1 b 2 + a 2 b 1 )b 1 1 b 1 2, (*) die weiteren Eigenschaften sind klar. Wenn man nur R hat und weit und breit noch kein Körper zu sehen ist, definiert man in geeigneter Weise Brüche a/b von Elementen aus R, dienach Konstruktion die gewünschte Eigenschaft haben, dass nämlich b/a invers zu a/b sind. Die Details sehen wir folgt aus: Satz und Definition (Quotientenkörper) Es sei R ein Integritätsbereich. Auf R R {0} wird durch (a, b) (a,b ) ab = a b eine Äquivalenzrelation definiert. Die Äquivalenzklasse von (a, b) bzgl. dieserre- lation heißt Bruch und wird mit a bezeichnet. Die folgenden Veknüpfungen + b

2 Algebra I c Rudolf Scharlau, und auf der Menge Quot(R) allerbrüche a 1 b 1 + a 2 b 2 := a 1b 2 + a 2 b 1 b 1 b 2 a 1 b 1 a2 b 2 := a 1 a 2 b 1 b 2 sind wohldefiniert und machen Quot(R) zueinemkörper, dem sogenannten Quotientenkörper von R. Die Abbildung ist eine Einbettung von R in Quot(R). i R : R Q(R), r r 1 R Beweisskizze: Die Wohldefiniertheit, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz rechnet man mit etwas Schreibarbeit anhand der Definitionen einfach nach. Das Nullelement ist 0,dasEinselementist 1, das Negative (additive Inverse) zu a a 1 1 ist. Somit haben wir einen Ring (wie gewünscht kommutativ mit b b Eins). Für a = 0= b ist b ein multipikatives Inverses zum Element a. Also ist a b Quot(R) einkörper. Wir schließen nun an die dem Satz vorangegangene Diskussion an und klären, dass in dem Fall, dass R bereits Teilring eines Körpers ist, der Quotientenkörper wirklich das ist, was wir uns unter ihm vorstellen. Bemerkung Ist j : R K eine Einbettung von R in einen Körper K, so ist der Durchschnitt aller Teilkörper K mit j(r) K K wiederum ein Körper und nach Defintion der kleinste Teilkörper von K, derdenringi(r) = R enthält. In dieser Situation gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus j : Quot K mit j = j i R,d.h.dasDiagramm R j K i R Quot R j ist kommutativ. Dieser Homomorphsimus induziert einen Isomorphismus Quot R = K. Zusammengefasst: Der Quotientenkörper eines Intergritätsbereiches R ist der im wesentlichen eindeutig bestimmte kleinste Körper, der R als Teilring enthält.

3 Algebra I c Rudolf Scharlau, Falls R ein Hauptidealring ist, hat man im Quotientenkörper Quot(R) gekürzte Brüche. Jedes a Quot(R) läßt sich schreiben als a = a 0 b b b 0 mit ggt(a 0,b 0 )=1. In einer solchen Darstellung sind a 0,b 0 bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt. Genauer gilt a b = a 0 b 0 mit ggt(a, b) =1=ggT(a 0,b 0 ) = u R : a = ua 0,b= ub 0. Anders ausgedrückt: Auch in in Quot(R) existierteineeindeutige Primfaktorzerlegung, nämlich mit positiven oder negativen Exponenten. Zunächst wählt man wie am Schluss von Abschnitt 3.3 auf Seite 145 ein Vertretersystem P R aller Primelemente in R bezüglich Assoziiertheit. Dann läßt sich jedes x Quot(R) eindeutig als x = u p P R p νp mit u R sowie ν p =: ν p (a) Z, ν p =0für fast alle p, schreiben. Im folgenden Satz benutzen wir die offensichtliche Verallgemeinerung des größten gemeinsamen Teilers in Hauptidealringen auf mehr als zwei Elemente: g = ggt(a 1,...,a r )isteinerzeugerdesidealsra Ra r und hat die Eigenschaft, dass es alle a i teilt und jeder Teiler von allen a i ein Teiler von g ist (für R = Z siehe ). Bemerkung (Gekürzte Brüche und Hauptnenner) Es sei R ein Hauptidealring und K =Quot(R) seinquotientenkörper. Dann gibt es für je r Elemente x 1,...,x r K, dienichtallegleich0sind,elemente a 1,...,a r,b R, b = 0mitggT(a 1,...,a r,b)=1undx i = a i /b für i =1,...,r. Eine solche Darstellung ist bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt; genauer gibt es zu jeder weiteren solchen Darstellung a 1,...,a r,b R eine Einheit u R mit a i = ua i für i 1,...,r und b = ub. Das Element b heißt auch der Hauptnenner von x 1,...,x r. Für r =1,x 1 = x heißt das Paar (a, b) einegekürzte Bruchdarstellung, kurz gekürzter Bruch für x. Den Beweis überlassen wir als Übungsaufgabe. Es sollte dabei weder Schwierigkeiten noch Überraschungen geben. Wir weisen darauf hin, dass die Sprechweise gekürzter Bruch zwar üblich und praktisch ist, aber eigentlich nicht korrekt: ein Bruch ist bereits eine Äquivalenzklasse, bzw. das zugehörige Körperelement. Kürzen kann man nur das Paar (a, b), in dem Zähler und Nenner einzeln vorhanden sind. Weiter beachte man, dass in einer Darstellung von zwei oder mehr Elementen mit einem gemeinsamen (Haupt-)Nenner b keine der einzelnen Darstellungen (a i,b)derx i gekürzt sein muss. Beispiel x 1 = 5/2, x 2 = 5/3 inq. Hier ist (a 1,a 2,b)=(15, 10, 6).

4 Algebra I c Rudolf Scharlau, Wir kehren nun zu Polynomen zurück und interessieren uns für die Zerlegung von Polynomen über einem Hauptidealring. Für den Beweis des nächsten Satzes benötigen wir folgende Aussage über Polynomringe, die wir der Deutlichkeit halber als eigenständige Bemerkung formulieren. Bemerkung Es sei ϕ : R S ein Ringhomomorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung ϕ X : R[X] S[X], ϕ X ri X i = ϕ(r i )X i der zugehörigen Polyonomringe ebenfalls ein Ringhomomorphismus. Man benutzt dieses oft für den Speziallfall des kanonischen Homomorphismus π : R R/I, r r auf einen Faktorring, wobei I R ein Ideal ist. Der induzierte Ringhomomorphismus π X : R[X] (R/I)[X], r 0 + r 1 X + r 2 X r 0 + r 1 X + r 2 X reduziert die Koeffizienten eines Polynoms modulo dem Ideal I. Der folgende Satz ist ein grundlegendes Hilfsmittel für die Überprüfung der Irreduzibiltät von Polynomen. Satz (Lemma von Gauß) Es sei R ein Hauptidealring, K =Quot(R) sein Quotientenkörper, f R[X] ein normiertes Polynom und f = g h eine Zerlegung in K[X], wobei g, h K[X] normierte Polynome seien. Dann gilt sogar g, h R[X]. Beweis: Esseif = g h wie im Satz und grad g = m, grad h = n. Wir stellen die Koeffiziententupel (g 0,...,g m )und(h 0,...,h n )vong und h, alsog i,h j K jeweils als Brüche mit Hauptnenner von Elementen aus R dar, sagen wir (a 0,...,a m ; a)und(b 0,...,b n ; b). Es ist also g = 1g, h = 1 h mit g = a a b i X i, h = bj X j R[X]. Zu zeigen ist, dass a =1undb = 1 (bzw. eine Einheit von R) ist. Wegen g m = h n = 1 ist a m = a und b n = b, also ggt(a 0,...,a m ) = ggt(a 0,...,a m,a)=1,ebensoggt(b 0,...,b n ) = 1. Wir haben nun die Polynomgleichung g h =(ab)f im Polynomring R[X]. Wir nehmen jetzt an, dass a oder b keine Einheit ist und führen diese Annahme zum Widerspruch. Sei p R ein Primelement, das ab teilt. Wir benutzen nun den Reduktionshomomorphismus R R/pR und die letzte Bemerkung Wir reduzieren also in der Gleichung g h =(ab)f die Koeffizienten aller drei beteiligten Polynome modulo p, d.h.ersetzensiedurchihrerestklassena i = a i + pr R/pR für g, entsprechend für h. Auf der rechten Seite ergibt sich das Nullpolynom, links ergibt sich ḡ h, wobeiḡ, h R/pR[X] diepolynomemitdenreduziertenkoeffizientenvon g, h sind. Da R/pR nullteilerfrei ist (siehe und , R/pR ist sogar ein

5 Algebra I c Rudolf Scharlau, Körper), ist der Polynomring (R/pR)[X] nach b) wieder nullteilerfrei. Also ist ḡ = 0 oder h = 0. Das heißt aber, dass alle Koeffizienten von g bzw. h durch p teilbar sind, im Widerspruch zu ggt(a 0,...,a m )=ggt(b 0,...,b n )=1. Korollar Es sei R ein Hauptidealring, f R[X] normiert mit grad(f) > 0 und c Quot(R) eine Nullstelle von f.danngiltc R,undc teilt den konstanten Term von f. Beweis: Wir wenden Satz auf den Teiler X c von f im Polynomring Quot(R)[X] an. Beispiel zu Das Polynom f = X 3 +3X + 2 hat keine rationale Nullstelle. Dies überprüft man durch Einsetzen der Teiler von 2 in f, diesesind{±1, ±2}. Beispiel zu Das Polynom g = X 4 + X 2 X +1istüber Q irreduzibel. Beweis: Wie im vorigen Beispiel zeigt man zunächst, dass g keine Nullstelle hat, also keinen Linearfaktor abspaltet. Wir müssen nun noch die Möglichkeit ausschließen, dass g in zwei Faktoren vom Grad 2 zerfällt. Hierzu können wir nach einen Ansatz g =(X 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) mita, b, c, d Z machen. Es muss b = d = ±1 sein. Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert einen Widerspruch für a und c. Wichtig für Beispiele irreduzibler Polynome ist neben Satz und Korollar noch folgendes Kriterium: Satz (Eisenstein sches Irreduzibilitätskriterium) Es sei R ein Hauptidealring und f = X n + r n 1 X n r 1 X + r 0 R[X] normiert. Ferner existiere ein Primelement p R derart, dass alle r j mit j = 0,...,n 1 durch p teilbar sind, aber r 0 nicht durch p 2 teilbar ist. Dann ist f irreduzibel in Quot(R)[X]. Beweis: Angenommen, f ist reduzibel. Dann existieren nach normierte Polynome g, h R[X] mitf = g h und grad(f) 1 grad(g). Wir benutzen nun den Reduktionshomomorphismus ϕ : R[X] (R/I)[X] nachdemideal I := pr aus Bemerkung und erhalten X n = ϕ(f) =ϕ(g) ϕ(h). Weil R/I ein Körper ist, ist R/I[X] ein Hauptidealring und X n besitzt in R/I[X] eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Nun ist X aber prim in R/I[X] undsomitgilt ϕ(g) =X grad(g) =: X k sowie ϕ(h) =X grad(h) = X l. Zurückschauend auf die Polynome g, h R[X] ergibtdiesinsbesondere,dassdiekonstantentermeg(0) und h(0) durch p teilbar sind. Damit ist aber f(0) = g(0) h(0) durch p 2 teilbar. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Korollar Für eine Primzahl p N ist Φ p (X) :=X p 1 + X p X +1= Xp 1 X 1 irreduzibel über Q. MannenntΦ p (X) dasp-te Kreisteilungspolynom.

6 Algebra I c Rudolf Scharlau, Beweis: Die Abbildung X X +1 induziert mittels des Einsetzungs-Homomorphismus einen (Ring-)Automorphismus von Q[X]. Damit ist f(x) :=Φ p (X +1) genau dann irreduzibel, wenn Φ p (X) irreduzibel ist. Wir rechnen nach f(x) = Φ p (X +1)= (X+1)p 1 = p p X+1 1 i=1 i X i 1 = X p 1 + px p 2 + p p 2 X p p 2 X + p. Nun läßt sich Satz anwenden, weil p alle Koeffizienten p i = p(p 1)... (p i+1) i mit i =1,...p 1teiltundp 2 nicht den konstanten Term f(0) = p teilt. Damit ist f, alsoauchφirreduzibelüber Q.