Inhaltsverzeichnis Vier spannende Problem e... Teiler, Vielfache, R e ste P rim zah len

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Vier spannende Probleme Natürliche Zahlen als Summe zweier Primzahlen Primzahlen als Differenz zweier Quadratzahlen Freitag, der ein U nglückstag? Welche Fehler erkennt die IB A N? Teiler, Vielfache, R este Definition Teilbarkeits- und Vielfachenrelation als Ordnungsrelationen Veranschaulichung durch Pfeildiagramme Ordnungsrelation Summen- und Produktregel Summenregel Differenzregel Produktregeln Division mit Rest Kongruenzrelation/Restgleichheitsrelation Seitenweise Addition von Kongruenzen Seitenweise Multiplikation von Kongruenzen Einsatzgebiete der Kongruenzrelation A ufgaben Prim zahlen Primzahlen - unterschiedliche G esichter Bestimmung von Primzahlen - Sieb des Eratosthenes Verteilung der Primzahlen Primzahlzwillinge Primzahldrillinge/Primzahlvierlinge Primzahllücken Wie viele Primzahlen gibt e s? Primzahlformeln

2 3.6 Prim zahlsatz Jagd nach Primzahlrekorden Vollkommene Z ahlen Einige offene Primzahlprobleme A ufgaben Primzahlen - Bausteine der natürlichen Z a h le n Problematisierung Existenz der Primfaktorzerlegungen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegungen Folgerungen Primzahlkriterium Lemma von E uklid Teilermengen Weiterer Ausblick A ufgaben Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches ggt und Teilermengen ggt und Primfaktorzerlegung Ein B eisp iel Allgemeine Vorgehensweise ggt und Euklidischer Algorithmus Ein B eisp iel Verallgemeinerung der zentralen Beweisidee Euklidischer Algorithmus kgv und Vielfachenmengen kgv und Primfaktorzerlegung Zusammenhang zwischen ggt und k g V Linearkombinationen natürlicher Z ah len Lineare diophantische G leichungen Die Fermat sche Vermutung - eine abenteuerliche Geschichte A ufgaben Kongruenzen, Restklassenmengen und klassische S ä tz e Die Kongruenzrelation modulo m Rechnen mit R e s te n Alternative Definition der Kongruenzrelation Rechnen mit Kongruenzen Die Kongruenzrelation als Äquivalenzrelation Restklassenmengen modulo m Restklassen als Äquivalenzklassen

3 6.2.2 Rechnen mit R estklassen Restklassengleichungen Sprachebenen der Zahlentheorie Restklassenmengen als Beispiele für algebraische Strukturen Klassische Sätze der Elementaren Zahlentheorie Sätze von Euler und Fermat Chinesischer R estsatz Satz von W ilson A ufgaben Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln Stellenwertsysteme - einige Bemerkungen Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Notation einer Zahl in verschiedenen Basen Anforderungen an eine B asis Mögliche Basen von Stellenwertsystemen Ausgewählte Eigenschaften der Kongruenzrelation Endstellenregeln Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Quersummenregeln Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Alternierende Quersummenregeln Dezimales Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme Vorteile des Zugangsweges über die Kongruenzrelation A ufgaben Dezimalbrüche/Systembrüche Darstellungsformen von rationalen Z ahlen Größenvergleich von gemeinen Brüchen als Herausforderung Vorteile der unterschiedlichen Darstellungsformen Erste einfache Darstellungswechsel Dezimalbruchentwicklungen als Erweiterung des Dezimalsystems Erweiterung des Dezimalsystems und des Divisionsalgorithmus Erste Erkundungen Erste Systematisierungen Endliche Dezimalbruchentwicklungen Periodische Dezimalbruchentwicklungen Reinperiodische Dezimalbruchentwicklungen

4 8.4.2 Gemischtperiodische Dezimalbruchentwicklungen Andere Stellenwertsysteme - andere Systembruchentwicklungen Erste Beispiele Divisionsalgorithmus in anderen Stellenwertsystemen Verallgemeinerung der Resultate aus dem Dezimalsystem A ufgaben Fehler erkennen, Fehler korrigieren - Prüfziffern & Co GTIN und E A N Aufbau und Zielsetzung Die P rüfziffer Sicherheit des Prüfziffernsystems Zusammenfassung Die Internationale Standardbuchnummer ISBN Einige Bemerkungen zur Einführung Aufbau der ISBN Sicherheit des ISBN-13-Prüfziffernsystems Zusammenhang von ISBN-10 und ISBN Die Internationale Standardbuchnummer ISBN Berechnung der ISBN-10-Prüfziffer Sicherheit des ISBN-10-Prüfziffernverfahrens Zusammenfassung Die Pharmazentralnummer P Z N Aufbau der PZN und Berechnung der Prüfziffer Sicherheit der P Z N Die Internationale Bankkontonummer IBAN Sicherheit des IBAN-Prüfziffernverfahrens Zusammenfassung Quick-Response-Code & Co. - eine S k iz z e Entwicklung, Zielsetzung und Aufbau des QR-Codes Grundidee der Fehlerkorrektur Verwandte C o d es A ufgaben Verschlüsselung und digitale Signaturen - RSA & Co Grundsituationen der K ryptologie Symmetrische und asymmetrische Verschlüsselung Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren Vor- und Nachteile der beiden Verfahren & hybride Verfahren Beispiele für symmetrische Verfahren - Cäsar-Chiffren & Co Monoalphabetische Substitution...243

5 Polyalphabetische Substitution Ein Beispiel für asymmetrische Verschlüsselung - das RSA-Verfahren Grundidee des RSA-Verfahrens Wahl des Moduls und Generierung der Schlüssel Effektivität und Effizenz des Verfahrens A ufgaben Ausblick: Quadratische R e ste Erste Begriffe und Erkundungen Erste Aussagen über quadratische R e s te Das Legendre-Symbol und weitere A ussagen Das Quadratische Reziprozitätsgesetz Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben Liste der wichtigsten Symbole und Bezeichnungen Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + I I L iteratur Sachverzeichnis