Algebra, Kryptologie und Kodierungstheorie

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1 Algebra, Kryptologie und Kodierungstheorie Mathematische Methoden der Datensicherheit von Roland Matthes 1. Auflage Hanser München 2003 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 CARL HANSER VERLAG Roland Matthes Algebra, Kryptologie und Kodierungstheorie Mathematische Methoden der Datensicherheit

3 Inhaltsverzeichnis 1 Das Denken in algebraischen Strukturen 13 2 Gruppen Die Gruppenaxiome Einige spezielle Gruppen Die allgemeine lineare Gruppe GL(n, R) Gruppen mit zwei, drei und vier Elementen Permutationsgruppen Symmetriegruppen, Diedergruppen Die Wortgruppe F n Untergruppen Definition, Untergruppenkriterium Nebenklassen Normalteiler Beispiele für Faktorgruppen Die Gruppenordnung Satz von Lagrange ZyklischeGruppen Homomorphismen von Gruppen Definition und elementare Eigenschaften Kern eines Homomorphismus DerHomomorphiesatz Kommutatorgruppe Aufgaben Körper, Ringe, Integritätsbereiche Körper Die Körperaxiome

4 Inhaltsverzeichnis Körperisomorphismen, Unterkörper Beispiele für Körper Ringe und Integritätsbereiche Axiome und einfache Eigenschaften Beispiele Kongruenzen und die Ringe Z m Ideale in einem Ring Ideale in Z Ideale in K[x] Quotientenringe Aufgaben Elementare Zahlentheorie Teilbarkeit in Integritätsbereichen Teilbarkeitseigenschaften Einheiten Irreduzible Elemente und Primelemente Primfaktorzerlegung in Z und K[x] Euklidischer Algorithmus in Z Primelemente in Z Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie Euklidischer Algorithmus für den Polynomring K[x] Primelemente und Fundamentalsatz in K[x] LineareKongruenzen Lösung von ax = b in Z p Der chinesische Restsatz für Kongruenzen Die eulersche ϕ-funktion Struktur der primen Restklassengruppen Quadratische Kongruenzen Lösungsanzahl quadratischer Kongruenzen Quadratische Reste Berechnung der Lösungen von x 2 a (mod p) Aufgaben Endliche Körper Erweiterungen endlicher Körper Endliche Körpererweiterungen Körpererweiterung durch Adjunktion Minimalpolynom

5 8 Inhaltsverzeichnis 5.2 Charakterisierung endlicher Körper Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers Charakteristik eines Körpers Endliche Körper als Erweiterungskörper eines F p Isomorphismen endlicher Körper Existenz von Körpern mit p f Elementen Weitere Eigenschaften endlicher Körper Die Automorphismengruppe Erweiterungen von F p f Einheitswurzeln Aufgaben Grundbegriffe der Kryptologie Kryptographie Chiffrieralgorithmen Symmetrische Verschlüsselung Asymmetrische Verschlüsselung Hashfunktionen Authentifizierung, digitale Signatur Kryptanalyse Klassische Chiffren Transpositionschiffre, Skytale Substitutionschiffren Monoalphabetische Substitution Monoalphabetische Substitutionen und lineare Kongruenzen Kryptanalyse monoalphabetischer Chiffren Homophone Chiffren Konfusion und Koinzidenzindex Polyalphabetische Chiffren, Vigenère Kryptanalyse der Vigenère-Chiffre Aufgaben Exkurs: Komplexitätstheorie Laufzeit von Algorithmen Komplexität von Problemen DieKlassenPundNP Aufgaben

6 Inhaltsverzeichnis 9 9 Symmetrische Verfahren Typen symmetrischer Chiffren Gütekriterien: Konfusion und Diffusion Der Aspekt der Linearität DES AES Zur Geschichte Beschreibung des Algorithmus Die Rundenfunktion Der Schlüsselalgorithmus Chiffriermodi ECB CBC CFB, OFB One-Time-Pad, Schieberegister Kryptanalyse symmetrischer Chiffren Differenzielle Kryptanalyse Die Idee Charakteristik Eine Beispielchiffre Wahrscheinlichkeit einer Charakteristik Deterministische Ermittlung von Schlüsselbits Statistische Ermittlung von Schlüsselbits Lineare Kryptanalyse Lineare Approximationen Lineare Approximationen der S-Boxen Einige Eigenschaften der Häufigkeitstabellen Lineare Approximationen über mehrere Runden Eine Beispielapproximation Angriff auf den letzten Rundenschlüssel Komplexität Lineare Kryptanalyse von DES und AES Aufgaben Asymmetrische Verfahren Potenzfunktion in endlichen Gruppen Faktorisierung ganzer Zahlen

7 10 Inhaltsverzeichnis 12.3 Exponentialfunktion in endlichen Gruppen Das diskrete-logarithmus-problem RSA Verschlüsseln Entschlüsseln RSA am Beispiel RSA in der Praxis Diffie-Hellman-Schlüsseltausch ElGamal Authentifizierung Digitale Signatur mit RSA Fiat-Shamir-Algorithmus Das Fiat-Shamir-Protokoll in der Praxis (dramatische Fassung) Fiat-Shamir in der Theorie (Prosa-Fassung) Digitale Signatur mit ElGamal DSA Münzwurf per Telefon Primzahlen StatistischeVerteilungderPrimzahlen Wie findet man Primzahlen? Fermatsche und mersennesche Primzahlen Primzahltests Die Sätze von Wilson und Fermat Der Fermat-Test Erzeugung von Pseudoprimzahlen Struktur und Erzeugung von Carmichael-Zahlen Lucas-Test Rabin-Miller-Test AKS-Primzahltest Aufgaben Grundbegriffe der Kodierungstheorie Einige Grundbegriffe aus der Nachrichtentechnik Fehler entdecken Fehler korrigieren Das Prinzip des minimalen Abstands

8 Inhaltsverzeichnis Kodierung und Verschlüsselung Informationsgehalt und Kodierungsaufwand Binäre Präfixkodes und die kraftsche Ungleichung Entropie Huffman-Kodierung Fehlerkorrektur und Informationsrate Perfekte Kodes Optimale Kodes Informationsrate optimaler Kodes Aufgaben Lineare Codes Definition und Darstellung linearer Kodes Abstand und Gewicht Inneres Produkt, Lotraum Ein [7, 4, 3]-Kode Duale Kodes Hamming-Kodes MDS-Kodes Erweitern und Punktieren von Kodes Dekodieren und Fehlerkorrektur Syndrome Die Syndromabbildung Die Mac-Williams-Gleichung Anwendungen der Mac-Williams-Gleichung Ein dualer Hamming-Kode Ein selbstdualer Kode Tensorprodukt, Produktkode Reed-Muller-Kodes Aufgaben Zyklische Codes Zyklische Kodes und Ideale Generatormatrix eines zyklischen Kodes Kontrollmatrix und Kontrollpolynom Nullstellen des Generatorpolynoms BCH-Kodes

9 12 Inhaltsverzeichnis 18.6 Reed-Solomon-Kodes Aufgaben Literaturverzeichnis 254 Abkürzungsvereichnis 258 Sachwortvereichnis 259