Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie

Transkript

1 Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie Kurz-Skript zur Vorlesung Sommersemester 2011 von Dr. Dominik Faas Institut für Mathematik Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Universität Koblenz-Landau

2 Literatur zur Vorlesung ˆ Friedhelm Padberg: Elementare Zahlentheorie Mathematik Primar- und Sekundarstufe (Spektrum Akadademischer Verlag, 2008) ˆ Harald Scheid: Einführung in die Zahlentheorie (Klett Studienbücher, 1972) ˆ Harald Scheid, Lutz Warlich: Mathematik für Lehramtskandidaten Band II: Algebraische Strukturen und Zahlbereiche (Akademische Verlagsgesellschaft, 1974) ˆ Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik (vieweg, 1999) ˆ Alan Bell: Algebraische Strukturen (Raeber Verlag, 1966) ˆ Jürg Krämer: Zahlen für Einsteiger: Elemente der Algebra und Aufbau der Zahlbereiche (vieweg, 2008) ˆ Jürgen Wolfard: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra (vieweg studium,1996) ˆ Stefan Müller-Stach, Jens-Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie Ein moderner Zugang zu klassischen Themen (vieweg, 2006)

3 Bezeichnungen Wir benutzen (manchmal) die folgenden Symbole: : für alle : es existiert (mindestens) ein : es existiert kein! : es existiert genau ein : und : oder : entweder oder Wichtig für uns sind (unter anderem) die folgenden Mengen: N = {1, 2, 3,...} Menge der natürlichen Zahlen N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3,...} Menge der natürlichen Zahlen und der 0 Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Q = { a ; a, b Z, b /= 0} b Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen 0 Die ganzen Zahlen Einleitung In weiten Teilen dieser Vorlesung widmen wir uns dem Studium der ganzen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} kann wie folgt eingeordnet werden: N Z Q R C Dabei sind N = {a Z; a > 0} = {1, 2, 3,...} (Menge der positiven ganzen Zahlen) Q = { a ; a, b Z, b /= 0} (Menge der Brüche (Quotienten) ganzer Zahlen) b Bemerkung 0.1. (Verknüfungen in Z) ˆ (Addition) Zwei ganze Zahlen a, b Z können addiert werden und man erhält als Ergebnis wieder eine ganze Zahl a + b Z. ˆ (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Addition) Für alle a, b, c Z gilt: a + b = b + a und (a + b) + c = a + (b + c). ˆ (Neutrales Element der Addition) Es existiert eine ganze Zahl 0 Z mit a + 0 = 0 + a = a für alle a Z. 3

4 0 Die ganzen Zahlen Einleitung ˆ (Inverse Elemente bzgl. der Addition) Zu eder ganzen Zahl a Z gibt es eine ganze Zahl a Z mit a + ( a) = ( a) + a = 0. ˆ (Subtraktion) Basierend auf der Addition und der Existenz der Inversen kann die Subtraktion definiert werden: a b def = a + ( b) Z für a, b Z ˆ (Äquivalenzumformungen mit der Addition) Für alle a, b, c Z gilt die Äquivalenz: a = b a + c = b + c ˆ (Multiplikation) Zwei ganze Zahlen a, b Z können multipliziert werden und man erhält als Ergebnis wieder eine ganze Zahl a b Z. ˆ (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Multiplikation) Für alle a, b, c Z gilt: a b = b a und (a b) c = a (b c) ˆ (Neutrales Element der Multiplikation) Es existiert eine ganze Zahl 1 Z mit a 1 = 1 a = x für alle a Z. ˆ Zu x Z nennt man ein Element y Z multiplikativ invers zu x, falls x y = 1 ist. Die einzigen ganzen Zahlen, die ein multiplikativ Inverses in Z haben sind 1 und 1. Eine Division ganzer Zahlen (mit Ergebnis in Z) ist im Allgemeinen nicht möglich. ˆ (Distributivgesetz) Für alle a, b, c Z gilt: a (b + c) = a b + a c ˆ (Nullprodukt) Für alle a, b Z gilt die Äquivalenz: a b = 0 a = 0 oder b = 0 ˆ (Kürzungsregel) Für alle a, b, c Z mit c /= 0 gilt die Äquivalenz: a = b a c = b c Bemerkung 0.2. (Größenrelation in Z) Es gibt eine Relation auf Z mit folgenden Eigenschaften: ˆ ist eine totale Ordnungsrelation, das heißt, für alle a, b, c Z gilt: (Reflexivität) a a (Transitivität) Aus a b und b c folgt a c. (Antisymmetrie) Aus a b und b a folgt a = b. (Totalität) Es gilt stets a b oder b a. Falls a b gilt, sagt man: a ist kleiner oder gleich b. ˆ (Abgeleitete Relationen) Mithilfe der Relation definiert man a < b (a ist kleiner als b), falls a b und a /= b gilt. Statt a b schreibt man auch b a (b ist größer oder gleich a) und statt a < b schreibt man auch b > a (b ist größer als a). ˆ (Anordnung auf der Zahlengeraden) Jede ganze Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden: 4

5 Dabei gilt a < b genau dann, wenn b einem Punkt entspricht, der weiter rechts auf der Zahlengerade liegt, als der a zugeordnete Punkt. ˆ (Verträglichkeit mit der Addition) Für a, b, c Z gilt: a b a + c b + c a < b a + c < b + c Insbesondere ist n + m N, falls n, m N sind. ˆ (Verträglichkeit mit der Multiplikation) Für a, b, c Z gilt: a b a c b c a < b a c < b c a b a c b c a < b a c > b c, falls c > 0, falls c < 0 Insbesondere ist n m N, falls n, m N sind. ˆ (Existenz eines Minimums für Teilmengen von N) Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element (Minimum). Bemerkung 0.3. (Potenzen) Für a Z und n N 0 definiert man a n Z durch a n def = a a... a n-mal (falls n > 0) und a 0 def = 1 Es gilt stets 1 n = 1 und 0 m = 0 (falls m > 0). Außerdem gelten die Potenzgesetze: Für alle a, b Z und alle n, m N 0 ist: Bemerkung 0.4. (Betrag) (a b) n = a n b n, a n a m = a n+m, (a n ) m = a n m Für a Z definiert man den Betrag von a als a def = a, falls a 0 a, falls a < 0 Duch a b wird der Abstand zweier ganzer Zahlen a, b Z auf der Zahlengeraden angegeben. Für alle a, b Z und alle n N gelten: a 0, a b = a b, a n = a n, a + b a + b, a = 0 a = 0 5

6 1 Teilbarkeit 1 Teilbarkeit Definition 1.1. (Teilbarkeit) Für a, b Z defniert man a b, falls eine Zahl x Z existiert mit x a = b. Man sagt dann: a ist ein Teiler von b (kurz: a teilt b), oder umgekehrt: b ist ein Vielfaches von a. Falls a kein Teiler von b ist, so schreibt man a b. Satz 1.2. (Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation) (a) Für alle a, b, c Z gilt: ˆ a a (Reflexivität) ˆ Aus a b und b c folgt a c. (Transitivität) ˆ Aus a b und b a folgt a = b oder a = b. (Antisymmterie liegt nur bis aufs Vorzeichen vor.) Die Teilbarkeitsrelation ist also eine Quasiordnung aber keine Halbordnung auf Z. Auf N ist die Teilbarkeitsrelation hingegen eine Halbordnung, d.h. sie ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch. (b) Weder auf Z noch auf N ist die Teilbarkeitsrelation total, d.h. es gibt Zahlen a, b N mit a b und b a. (c) Weitere Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation sind (für a, b, ã, b Z beliebig): ˆ Es gilt die Äquivalenz: a b ( a) b a ( b) ( a) ( b) (Teilbarkeit ist also unabhängig vom Vorzeichen.) ˆ Es gilt a 0 und 1 a. ˆ Aus a b und b /= 0 folgt a b. ˆ Aus a b und ã b folgt (a ã) (b b). ˆ Falls a b gilt (und a /= 0 ist), so ist b a Z und es gilt ( b ) b. Man nennt a den Komplementärteiler zu a (von b). b a (d) Für a, b, c Z gilt: (a b) c a c und b c Die umgekehrte Implikation ist im allgemeinen falsch. (e) Es gilt der Satz über die Vielfachensumme, d.h. für alle a, b, c, u, v Z gilt: a b und a c a (ub + vc) Insbesondere: a b und a c a (b + c) und a (b c) Definition 1.3. (Teiler- und Vielfachenmenge) 6

7 (a) Für a Z definiert man die Teilermenge von a als die Menge aller positiven Teiler von a, also: Für a 1, a 2,..., a k Z heißt weiterhin T (a) def = {x N; x a} N T (a 1, a 2,..., a k ) def = T (a 1 ) T (a 2 )... T (a k ) = {x N; x a für alle = 1,..., k} N gemeinsame Teilermenge von a 1, a 2,..., a k. (b) Für a Z definiert man die Vielfachenmenge von a als die Menge aller positiven Vielfachen von a, also: Für a 1, a 2,..., a k Z heißt weiterhin V (a) def = {x N; a x} N V (a 1, a 2,..., a k ) def = V (a 1 ) V (a 2 )... V (a k ) = {x N; a x für alle = 1,..., k} N gemeinsame Vielfachenmenge von a 1, a 2,..., a k. Bemerkung 1.4. (Eigenschaften von Teiler- und Vielfachenmenge) (a) Elemente von Teiler- bzw. Vielfachenmenge einer Zahl a Z sind definitionsgemäß nur die positiven Teiler bzw. Vielfache von a, also gilt stets T (a), V (a) N. (b) Offenbar gilt T (a) = T ( a) und V (a) = V ( a) für alle a Z. (c) Zur Anzahl der positiven Teiler einer Zahl a Z beachte man: ˆ Es gilt T (0) = N. ˆ Es gilt T (1) = T ( 1) = {1}. ˆ Für alle a Z { 1, 0, 1} gilt 2 T (a) a. (Man beachte dabei, dass stets 1, a T (a) gilt.) Teilermengen sind (mit Ausnahme der Teilermenge der 0) also insbesondere immer endlich. (d) Man nennt zwei Zahlen a, b Z {0} teilerfremd, falls T (a, b) = {1} gilt. Die Zahlen 1 und 1 sind zu eder weiteren Zahl teilerfremd. (e) Es gilt V (0) = und V (1) = N. Für a Z {0} gilt V (a) = {n a ; n N} und folglich V (a) =. (f) Für a, b Z gilt die Äquivalenz: a b T (a) T (b) T (a, b) = T (a) V (b) V (a) V (a, b) = V (b) Bemerkung 1.5. (Hassediagramme bzw. Teilerdiagramme) (a) Eine gegebene endliche Teilmenge M N kann mit einem Hassediadramm bezüglich der Teilbarkeitsrelation (strukturiert) dargestellt werden. Dabei sind folgende Regeln einzuhalten: 7

8 1 Teilbarkeit ˆ Alle Elemente von M kommen vor (Knoten). ˆ Sind x, y M mit x /= y und x y, so muss y höher als x stehen. ˆ Sind x, y M mit x /= y, so werden x und y mit einem Strich (Kante) verbunden, falls x y gilt, aber kein z M {x, y} mit x z und z y existiert. In einem solchen Hassediagramm gilt dann stets: Sind x, y M mit x /= y, so gilt x y genau dann, wenn y höher als x steht und x und y (über eine oder mehrere Kanten) miteinander verbunden sind. (b) Insbesondere für M = T (a) (mit einer Zahl a Z {0}) erhält man dabei ein Teilerdiagramm von a. Es stellt alle Teiler von a und ihre Teilbarkeitsbeziehungen untereinander dar. (c) Ein Hassediagramm kann auch für eine beliebige Halbordnung auf einer endlichen Menge M erstellt werden: Zwei Elemente von M (Knoten) werden mit einem Strich (Kante) verbunden, falls x y gilt, aber kein z M {x, y} mit x z und z y existiert. (In diesem Fall muss y höher als x stehen.) Satz 1.6. (Division mit Rest) Gegeben sei eine beliebige Zahl m N. Dann existieren zu eder Zahl a Z eindeutige Zahlen q Z und r {0,..., m 1} mit a = q m + r (im Fall a > 0 schreibt man auch a m = q Rest r) Die Zahl r wird als Rest bei Division von a durch m bezeichnet und ist die eindeutig bestimmte Zahl r {0,..., m 1} mit m (a r). Es gilt genau dann m a, wenn r = 0 ist. 8

9 2 Primzahlen und Primzahlzerlegung Definition 2.1. (Primzahlen) Eine Zahl p N heißt Primzahl, falls T (p) = 2. (Man sagt dann auch: p ist prim.) Wir schreiben P def = {p N; p ist Primzahl} N. Eine Zahl n N mit n 2, die keine Primzahl ist, heißt zusammengesetzte Zahl. Bemerkung 2.2. (Eigenschaften von Primzahlen) (a) Die Zahl 1 ist keine Primzahl, denn es ist T (1) = {1} = 1. (b) Für n N mit n 2 sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) n ist eine Primzahl. (ii) Es gilt T (n) = {1, n}. (iii) Aus x n mit x N folgt x = 1 oder x = n. (iv) Aus n = x y mit x, y N folgt x = 1 oder y = 1 (und entsprechend y = n oder x = n). (c) Ist n N eine zusammengesetzte Zahl, so existieren also Zahlen x, y N mit x 2 und y 2, so dass n = x y ist. Mindestens eine dieser beiden Zahlen x, y muss n sein. Folglich hat ede zusammengesetzte Zahl n einen Teiler a mit 2 a n. Für n N gilt also: n ist prim es gibt kein a T (n) mit 2 a n Satz 2.3. (Existenz eines Primfaktors) Jede Zahl n N mit n 2 hat einen kleinsten Teiler, der > 1 ist. Dieser ist stets eine Primzahl. (Man nennt einen Teiler p T (n) mit p P Primfaktor von n.) Folgerung 2.4. (Existenz eines kleinen Primfaktors) Aus 2.3 und 2.2 (c) folgt: Jede zusammengesetzte Zahl n N hat einen Primfaktor p T (n) mit 2 p n. Folgerung 2.5. (Sieb des Eratosthenes) Ein Algorithmus, mit dem man herausfinden kann, welche der Zahlen 2, 3,..., N (für eine feste obere Grenze N N) Primzahlen sind, ist das sogenannte Sieb des Eratosthenes. Man gehe dabei folgendermaßen vor: 1. Schreibe die Zahlen 2, 3,..., N aufsteigend in eine Liste. 2. Markiere die kleinste Zahl in der Liste (also die 2) und streiche alle Vielfachen von 2, die größer oder gleich 2 2 sind. 3. Markiere die kleinste noch vorhandene, bisher noch nicht markierte Zahl p in der Liste und streiche alle Vielfachen von p, die größer oder gleich p 2 sind. 9

10 2 Primzahlen und Primzahlzerlegung 4. Wiederhole Schritt 3 solange bis die kleinste noch vorhandene, bisher noch nicht markierte Zahl in der Liste größer als N ist. 5. Markiere alle noch vorhandenen Zahlen in der Liste. Nach Durchführung dieses Verfahrens gilt: Die Primzahlen zwischen 2,..., N sind genau die markierten Zahlen und die zusammengesetzten Zahlen zwischen 2,..., N sind genau die gestrichenen Zahlen. Bemerkung 2.6. (Häufigkeit von Primzahlen) Man definiert die Funktion π N N, π(n) = {p P; p n} die zu einer Zahl n N angibt, wieviele Primzahlen sich unter den Zahlen 2, 3,..., n befinden. Satz 2.7. (Satz von Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Bemerkung 2.8. (Verteilung der Primzahlen) Die Verteilung der Primzahlen in den natürlichen Zahlen weist nur wenige erkennbare Regelmäßigkeiten auf. Wir wollen dennoch einige Beobachtungen diesbezüglich hier festhalten: (a) Bei Division durch 6 haben alle Primzahlen p P {2, 3} als Rest 5 oder 1. (b) (Primzahlzwillige) Falls p, p + 2 P ist, nennt man das Paar (p, p + 2) einen Primzahlzwilling. Es ist bisher nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. (c) (Primzahllücken) Zu eder Zahl l N gibt es Zahlen n + 1,..., n + l, die alle keine Primzahlen sind. π(n) (d) (Häufigkeit von Primzahlen) Man kann beweisen, dass lim ln(n) = 1 gilt. n n π(n) Insbesondere ist lim n n = 0. Definition 2.9. (Primfaktorzerlegung) Sei n N mit n 2. Sind p 1, p 2,..., p m P mit m n = p = p 1 p 2... p m so nennt man dieses Produkt eine Primfaktorzerlegung (PFZ) von n. (Dabei besteht die PFZ einer Primzahl p P nur aus einem Faktor p 1 = p.) Satz (Hauptsatz der Elementaren Zahlentheorie) Zu eder natürlichen Zahl n 2 existiert eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige PFZ. 10

11 Folgerung (Kanonische und normierte PFZ) Sei n N mit n 2. (a) Es existieren eindeutige Primzahlen p 1,..., p k P mit p 1 < p 2 <... < p k und eindeutige e 1,..., e k N mit n = k e p = p 1 e 1 p 2 e 2... p k e k Diese Darstellung von n heißt kanonische PFZ von n. (b) Ist P = {p 1, p 2, p 3,...} mit p 1 < p 2 < p 3 <..., so existieren eindeutige Zahlen e 1, e 2, e 3,... N 0, von denen nur endlich viele e /= 0 sind, mit: e n = p e = p 1 e 1 p 2 e 2 p Diese Darstellung von n heißt normierte PFZ von n. (Für unendlich viele ist der zur Primzahl p gehörende Exponent e = 0, so dass sich in diesen e Fällen p = 1 ergibt. Das Produkt besteht also nur formal aus unendlich vielen Faktoren.) Bemerkung (PFZ der Zahl 1) Der Vollständigkeit halber bezeichnet man das sogenannte leere Produkt als PFZ der Zahl 1 N. In der normierten PFZ von 1 sind alle Exponenten e = 0, also: 0 p 1 = Satz (Zusammenhang zwischen PFZ und Produktbildung bzw. Teilbarkeit) Gegeben seien natürliche Zahlen n, m N mit den normierten PFZ en e n = p und m = (a) Die normierte PFZ des Produkts ist: n m = e p +f f p (b) m ist genau dann ein Teiler von n, wenn alle f e sind. In diesem Fall gilt n m = e p f Folgerung (Primzahlkriterium) Für eine natürliche Zahl p N mit p 2 sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) p ist eine Primzahl. (ii) Für alle a, b Z mit p (a b) gilt p a oder p b. (iii) Für alle a 1,..., a k Z mit p (a 1... a k ) gilt p a für (mindestens) ein. N 11

12 2 Primzahlen und Primzahlzerlegung Folgerung (Teilbarkeitskriterium) Zwei beliebige Zahlen a, b Z {0} sind genau dann teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Primfaktor haben. Damit gilt für teilerfremde a, b (vergleiche 1.2): (a b) x a x und b x Definition (Teileranzahlfunktion) Wir nennen die Funktion τ N N, τ(n) = T (n) die eder natürlichen Zahl die Anzahl ihrer (positiven) Teiler zuordnet, Teileranzahlfunktion. (Offenbar gilt τ(1) = 1, τ(p) = 2 für alle p P und τ(n) > 2 für alle zusammengesetzten Zahlen n N.) Folgerung (Zusammenhang zwischen PFZ, Teilermenge und Teileranzahl) (a) Gegeben sei eine Zahl n N mit (kanonischer) PFZ n = k e p. Dann gilt: k f T (n) = p ; 0 f e für alle = 1,..., k Daraus kann man folgern, dass τ(n) = k (e + 1) gilt. (b) Ist die normierte PFZ n = e p von n gegeben, so gilt entsprechend f T (n) = p ; 0 f e für alle = 1, 2,... und τ(n) = (e + 1) Bemerkung (PFZ und Teilerdiagramme) Sind im Teilerdiagramm einer natürlichen Zahl n 2 zwei Teiler x, y T (n) mit einer Kante verbunden (so dass y höher als x steht), so ist der Quotient y x stets ein Primfaktor von n. Achtet man darauf, alle Kanten, die demselben Primfaktor zugeordnet werden können, mit gleicher Richtung und gleicher Länge einzutragen, so wird das Teilerdiagramm sehr übersichtlich (zumindest wenn n nicht mehr als drei verschiedene Primfaktoren hat). Die Zahl der Primfaktoren von n bestimmt dabei Aussehen und Struktur des Diagramms: ˆ Hat n nur einen Primfaktor (kanonische PFZ n = p e ), so ist das Teilerdiagramm eine Strecke, die in e Teilstrecken gleicher Länge aufgeteilt ist. (In diesem Fall ist die Teilbarkeitsrelation auf T (n) total.) e ˆ Hat n zwei Primfaktoren (kanonische PFZ n = p 1 e 1 p 2 2 ), so ist das Teilerdiagramm ein Parallelogramm (bzw. Rechteck), dass in e 1 e 2 zueinander kongruente Parallelogramme (bzw. Rechtecke) aufgeteilt ist. 12

13 e ˆ Hat n drei Primfaktoren (kanonische PFZ n = p 1 e 1 p 2 e 2 p 3 3 ), so erscheint das Teilerdiagramm als Quader, der in e 1 e 2 e 3 zueinander kongruente Quader aufgeteilt ist. ˆ Hat n mehr als 3 Primfaktoren, so wird das Teilerdigramm leicht unübersichtlich, da mehr als 3 Dimensionen nicht gut dargestellt bzw. erfasst werden können. (Die kleinste Zahl mit mehr als 3 Primfaktoren ist 210 = ) Beginnt man im Teilerdigramm bei der 1 und geht entlang der Kanten einen Weg nach oben, so erhält man die PFZ der Teiler von n, indem man immer den der eweiligen Kante zugeordneten Primfaktor zur PFZ hinzufügt. Entsprechend kann man auch entlang Kanten nach unten gehen und dabei immer den entsprechenden Primfaktor streichen. 13

14 3 Größter gemeinsamer Teiler 3 Größter gemeinsamer Teiler Definition und erste Eigenschaften Definition 3.1. (Größter gemeinsamer Teiler) Für a 1,..., a k Z definiert man den größten gemeinsamen Teiler als ggt(a 1,..., a k ) def = max T (a 1,..., a k ) falls mindestens ein a /= 0 ist. (Sind alle a = 0, so sei ggt(a 1,..., a k ) def = 0.) Bemerkung 3.2. (Elementare Eigenschaften des ggt) Gegeben seien beliebige Zahlen a 1,..., a k, b 1,..., b l Z. (a) Falls mindestens eine der Zahlen a /= 0 ist, ist die Teilermenge T (a 1,..., a k ) eine endliche und nichtleere Teilmenge von N. Sie hat damit also ein maximales Element und somit ist Definition 3.1 sinnvoll. (b) Es gilt T (a 1,..., a k ) = T ( a 1,..., a k ) und folglich ggt(a 1,..., a k ) = ggt ( a 1,..., a k ). (c) Gilt {a 1,..., a k } = {b 1,..., b l } Z, so ist T (a 1,..., a k ) = T (b 1,..., b l ) und folglich ggt(a 1,..., a k ) = ggt(b 1,..., b l ). (d) Es gilt T (a 1,..., a k, 0) = T (a 1,..., a k ) und folglich ggt(a 1,..., a k, 0) = ggt(a 1,..., a k ). (e) Es gilt T (a 1,..., a k, 1) = {1} und folglich ggt(a 1,..., a k, 1) = 1. (f) Es gilt ggt(a 1 ) = a 1. (g) Gilt a 1 a 2, so ist T (a 1, a 2 ) = T (a 1 ) und folglich ggt(a 1, a 2 ) = a 1. (h) Zwei Zahlen a, b Z {0} sind genau dann teilerfremd, wenn ggt(a, b) = 1 gilt. Satz 3.3. (Zusammenhang zwischen ggt und PFZ) Gegeben seien a 1, a 2,..., a k N mit den normierten PFZ en: a 1 = e p (1), a 2 = e p (2),..., a k = e p (k) Dann sind die gemeinsamen Teiler x T (a 1,..., a k ) genau die Zahlen mit einer normierten PFZ f x = p wobei f min {e (1), e (2),..., e (k) } für alle N gilt Folglich hat der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen die normierte PFZ: ggt(a 1,..., a k ) = (min{e p (1),e (2) Folgerung 3.4. (Weitere Eigenschaften des ggt) Gegeben seien beliebige Zahlen a 1,..., a k Z.,...,e (k) }) 14

15 (a) Für eine beliebige Zahl x Z gilt die Äquivalenz: x a für alle = 1,..., k x ggt(a 1,..., a k ) Also ist T (a 1,..., a k ) = T (ggt(a 1,..., a k )) (b) Es gilt ggt(a 1,..., a k ) = ggt(ggt(a 1,..., a k 1 ), a k ). (c) Für ede Zahl b Z gilt ggt(b a 1,..., b a k ) = b ggt(a 1,..., a k ). (d) Für a, b Z {0} sind die Zahlen a ggt(a,b), Satz 3.5. (Zusammenhang zwischen ggt und Division mit Rest) (a) Für alle a, b, s Z gilt b Z stets teilerfremd. ggt(a,b) T (a, b) = T (a + s b, b) und folglich ggt(a, b) = ggt(a + s b, b) (b) Seien n, m N. Bestimmt man die (nach 1.6 eindeutig existierenden) Zahlen q, r N mit 0 r < m und n = q m + r, so gilt T (n, m) = T (r, m) und ggt(n, m) = ggt(r, m) Folgerung 3.6. (Euklidischer Algorithmus) Gegeben seien n, m N. Dann lässen sich T (n, m) und ggt(n, m) bestimmen, indem man (unter fortlaufender Anwendung von 3.5 (b)) immer wieder die Größere der beiden Zahlen durch den Rest bei Division der Größeren durch die Kleinere ersetzt. Dies tut man solange bis eine der beiden Zahlen 0 ist, die andere Zahl entspricht dann dem ggt von n und m. (Da die auftretenden Reste immer kleiner werden, kommt dieses Verfahren garantiert immer zum Ende.) Linearkombinationen ganzer Zahlen Definition 3.7. (Linearkombination) Für gegebene Zahlen a, b Z nennt man eine Zahl c Z (ganzzahlige) Linearkombination von a und b, falls x, y Z mit c = x a + y b existieren. Wir schreiben L(a, b) def = {c Z; c ist Linearkombination von a und b} = {x a + y b; x, y Z} Z für die Menge der Linearkombinationen von a und b. Satz 3.8. (Linearkombinationen sind genau die Vielfachen des ggt) Für gegebene Zahlen a, b Z ist c Z genau dann eine Linearkombination von a und b, falls c ein Vielfaches von ggt(a, b) ist. Es gilt also: L(a, b) = V (ggt(a, b)) Folgerung 3.9. (Spezialfälle) 15

16 3 Größter gemeinsamer Teiler (a) Für a, b Z gilt L(a, 0) = V (a) und L(0, b) = V (b). Außerdem ist L(0, 0) = {0}. (b) Sind a, b Z {0} teilerfremd, so gilt L(a, b) = Z. Bemerkung (Erweiterter Euklidischer Algorithmus) Seien a, b Z {0} gegeben. (a) Nach 3.8 ist ggt(a, b) eine Linearkombination von a und b. Es existieren also Zahlen x, y Z mit ggt(a, b) = x a + y b. Mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus lassen sich solche Zahlen x, y bestimmen. Man beachte dabei zunächst: Sind zwei Linearkombinationen c 1 = x 1 a + y 1 b, c 2 = x 2 a + y 2 b L(a, b) gegeben und dividiert man diese mit Rest (also z.b. c 1 = q c 2 +r mit 0 r < c 2 ), so ist der Rest r ebenfalls eine Linearkombination von a und b. Genauer gilt: r = c 1 q c 2 = x 1 a + y 1 b q (x 2 a + y 2 b) = (x 1 qx 2 ) a + (y 1 qy 2 ) b Beginnend mit a = (±1) a + 0 b und b = 0 a + (±1) b kann man daher durch fortlaufende Division mit Rest immer kleinere natürliche Zahlen als Linearkombination von a und b darstellen. Geht man dabei wie in 3.6 vor, so erhält man (nach endlich vielen Schritten) ggt( a, b ) = ggt(a, b) als auftretenden Rest und findet damit auch die gesuchte Linearkombination ggt(a, b) = x a + y b. (b) Ist c ein Vielfaches von ggt(a, b), so existiert eine Zahl z Z mit c = z ggt(a, b). Bestimmt man zunächst x, ỹ Z mit ggt(a, b) = x a+ỹ b (wie in (a)), so erhält man daraus: c = ( z x ) a + ( z ỹ ) b def = x def = y Damit hat man c als Linearkombination von a und b dargestellt. Diophantische Gleichungen Definition (Lineare Diophantische Gleichungen) Sind a, b, c Z gegeben, so heißt die Gleichung ( ) a x + b y = c mit den beiden Unbekannten x, y Z lineare Diophantische Gleichung. Die Lösungsmenge der Gleichung ( ) ist definiert durch L ( ) def = {(x, y) Z Z; a x + b y = c} Z Z, ihre Elemente heißen Lösungen von ( ). Falls L ( ) /= ist, heißt ( ) lösbar. 16

17 Bemerkung (Spezialfälle) ˆ Wir betrachten ( ) a x + 0 y = c mit a, c Z und a /= 0. Dann gilt: Falls a c gilt, ist ( ) nicht lösbar, also L ( ) =. Falls a c gilt, ist c Z. Damit folgt: a (x, y) löst ( ) a x = c x = c a und y Z beliebig Folglich ist dann L ( ) = {( c a, y) ; y Z} = { c a } Z. ˆ Analog hat ( ) 0 x + b y = c mit b, c Z und b /= 0 die Lösungsmenge: L ( ) =, falls b c {(x, c ) ; x Z}, falls b c b ˆ Schließlich ist ( ) 0 x + 0 y = c unlösbar (also L ( ) = ), falls c /= 0 ist. allgemeingültig (also L ( ) = Z Z), falls c = 0 ist. Bemerkung (Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung) Eine Diophantische Gleichung a x + b y = c mit gegebenen a, b, c Z ist genau dann lösbar, wenn c eine Linearkombination von a und b ist, also nach 3.8 genau dann, wenn ggt(a, b) c gilt. In diesem Fall können wir mit dem in 3.10 beschriebenen Vorgehen stets eine Lösung (x 0, y 0 ) der Gleichung bestimmen. Bemerkung (Zeichnerische Lösung einer Diophantischen Gleichung) Gegeben sei eine Diophantische Gleichung ( ) a x + b y = c mit a, b, c Z. ˆ Wir betrachten zunächst den Fall b /= 0. Für (x, y) Q Q gilt die Äquivalenz: (x, y) löst ( ) a x + b y = c y = a b x + c b (x, y) g ( ) wobei g ( ) die Gerade mit Steigung a b und y-achsenabschnitt c ist. Die b rationalen Lösungen von ( ) entsprechen also genau den Punkten auf der Geraden, das heißt: L (Q) def = {(x, y) Q Q; a x + b y = c} = g ( ) ( ) Die Punkte aus Z Z bilden ein Gitter in der Ebene. Die ganzzahligen Lösungen von ( ) sind genau die Punkte, in denen die Gerade g ( ) dieses Gitter schneidet: L ( ) = g ( ) (Z Z) ˆ Im Fall b = 0 und a /= 0 gilt für (x, y) Q Q: (x, y) löst ( ) a x = c x = c a (x, y) g ( ) wobei g ( ) die zur y-achse parallele Gerade durch die Punkte ( c, y) (y Q) a ist. Wie im Fall b /= 0 entsprechen die ganzzahligen Lösungen von ( ) den Schnittpunkten von g ( ) mit dem Gitter Z Z. 17

18 3 Größter gemeinsamer Teiler Satz (Allgemeine Lösung einer Diophantischen Gleichung) Gegeben sei eine beliebige Diophantische Gleichung ( ) a x + b y = c mit a, b, c Z. Wir betrachten hier nur noch den Fall, dass a /= 0 und b /= 0 ist (für a = 0 oder b = 0 siehe man 3.12). Es gilt: (a) Falls ggt(a, b) c gilt, so ist L ( ) =. (b) Falls a und b teilerfremd sind, ist ( ) auf eden Fall lösbar und es gilt: Ist eine Lösung (x 0, y 0 ) Z Z von ( ) bereits bestimmt, so ist ein beliebiges Zahlenpaar (x, y) Z Z genau dann eine Lösung von ( ), falls eine Zahl t Z mit x = x 0 + t b und y = y 0 t a existiert. Folglich ist dann L ( ) = {(x 0 + t b, y 0 t a) ; t Z}. (c) Falls ggt(a, b) c gilt, so ist ( ) lösbar. Mittels Division durch ggt(a, b) erhält man die Äquivalenzumformung: a ( ) ( ggt(a, b) ) x + ( b ggt(a, b) ) y = ( c ggt(a, b) ) Ist eine Lösung (x 0, y 0 ) Z Z von ( ) bereits bestimmt, so ergibt sich: L ( ) = {(x 0 + t b ggt(a, b), y a 0 t ggt(a, b) ) ; t Z} Kleinstes gemeinsames Vielfaches Definition (Kleinstes gemeinsames Vielfaches) Für a 1,..., a k Z definiert man das kleinste gemeinsame Vielfache als kgv(a 1,..., a k ) = min V (a 1,..., a k ) falls alle a /= 0 sind. (Ist mindestens ein a = 0, so sei kgv(a 1,..., a k ) def = 0.) Bemerkung (Elementare Eigenschaften des kgv) Gegeben seien beliebige Zahlen a 1,..., a k Z. (a) Falls alle Zahlen a /= 0 sind, ist die Teilermenge V (a 1,..., a k ) eine nichtleere Teilmenge von N. Sie hat damit also ein minimales Element und somit ist Definition 3.16 sinnvoll. Falls (mindestens) ein a = 0 ist, so ist 0 das einzige gemeinsame Vielfache von a 1,..., a k in Z. Da (nach unserer Definition) 0 N ist, folgt V (a 1,..., a k ) =. Die Definiton für diesen Fall kgv(a 1,..., a k ) def = 0 erscheint sinnvoll. (b) Es gilt V (a 1,..., a k ) = V ( a 1,..., a k ) und folglich kgv(a 1,..., a k ) = kgv ( a 1,..., a k ). (c) Gilt {a 1,..., a k } = {b 1,..., b l } Z, so ist V (a 1,..., a k ) = V (b 1,..., b l ) und folglich kgv(a 1,..., a k ) = kgv(b 1,..., b l ). 18

19 (d) Es gilt V (a 1,..., a k, 1) = V (a 1,..., a k ) und folglich kgv(a 1,..., a k, 1) = kgv(a 1,..., a k ). (e) Es gilt kgv(a 1 ) = a 1. (f) Gilt a 1 a 2, so ist V (a 1, a 2 ) = V (a 2 ) und folglich kgv(a 1, a 2 ) = a 2. Satz (Zusammenhang zwischen kgv und PFZ) Gegeben seien n 1, n 2,..., n k N mit den normierten PFZ en: n 1 = e p (1), n 2 = e p (2),..., n k = e p (k) Dann hat das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen die normierte PFZ: kgv(n 1,..., n k ) = (max{e p (1),e (2) Folgerung (Weitere Eigenschaften des kgv) Gegeben seien beliebige Zahlen a 1,..., a k Z. (a) Für eine beliebige Zahl x Z gilt die Äquivalenz:,...,e (k) }) a x für alle = 1,..., k kgv(a 1,..., a k ) x Also ist V (a 1,..., a k ) = V (kgv(a 1,..., a k )). (b) Es gilt kgv(a 1,..., a k ) = kgv(kgv(a 1,..., a k 1 ), a k ) (c) Für ede Zahl b Z gilt kgv(b a 1,..., b a k ) = b kgv(a 1,..., a k ) (d) Für zwei Zahlen a, b Z gilt stets: ggt(a, b) kgv(a, b) = a b (Damit hat man eine weitere Möglichkeit, kgv(a, b) zu berechnen. Für mehr als zwei Zahlen funktioniert dies allerdings nicht.) Folglich sind a, b genau dann teilerfremd, wenn kgv(a, b) = a b ist. 19

20 4 Kongruenzrelation und Restklassen 4 Kongruenzrelation und Restklassen Kongruenzen Definition 4.1. (Kongruenzen) Gegeben sei eine natürliche Zahl m N. Für a, b Z definiert man a b mod m (a ist kongruent zu b modulo m) falls m (a b). (Ist a nicht kongruent zu b modulo m, so schreibt man a b mod m.) Man nennt die Beziehung a b mod m eine Kongruenz zum Modul m. Bemerkung 4.2. (Eigenschaften der Kongruenzrelation) Sei m N gegeben. (a) Die Kongruenzrelation modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf Z, das heißt für alle a, b, c Z gilt: ˆ (Reflexivität) ˆ (Symmetrie) ˆ (Transitivität) a a mod m a b mod m b a mod m (a b mod m b c mod m) a c mod m Für a, b Z mit a b mod m gilt daher: x a mod m x b mod m (x Z) (b) Für a Z gilt: a 0 mod m m a. (c) Wir betrachten eine Zahl a Z und dividieren sie (mit Rest) durch m: a = q m + r (mit q Z, r {0,..., m 1}) Dann gilt a r mod m. (d) Wir betrachten zwei Zahlen a, b Z und dividieren beide (mit Rest) durch m: a = q a m + r a und b = q b m + r b (mit q a, q b Z, r a, r b {0,..., m 1}) Dann gilt: a b mod m r a = r b Satz 4.3. (Rechnen mit Kongruenzen) Für k, m N und a, b, c Z gelten die folgenden Implikationen: (a) a b mod m a + c b + c mod m (b) a b mod m a c b c mod m (die umgekehrte Implikation ist falsch) (c) Falls ggt(c, m) = 1 ist, gilt: a b mod m a c b c mod m (d) a b mod m ggt(c,m) a c b c mod m (e) Im Fall k m gilt: a b mod m a b mod k a b mod k es existiert ein u {0, 1,..., m k 1} mit a b + u k mod m 20

21 Definition 4.4. (Lineare Kongruenzen) Sind m N und a, b Z gegeben, so nennt man ( ) a x b mod m mit der Unbekannten x Z eine lineare Kongruenz modulo m. Ihre Lösungsmenge ist gegeben durch L ( ) = {x Z; a x b mod m} Z Man nennt ( ) lösbar, falls L ( ) /= ist. Bemerkung 4.5. (Lösung mit Hilfe einer Diophantischen Gleichung) Die Lösungen einer linearen Kongruenz ( ) a x c mod m (mit gegebenen m N und a, c Z) sind genau die Zahlen x Z, die (mit einer geeigneten Zahl y Z) zu einer Lösung (x, y) L ( ) der zugehörigen Diophantischen Gleichung ( ) a x + m y = c ergänzt werden können. Aus 3.15 ergibt sich damit: ˆ Im Fall ggt(a, m) c ist ( ) nicht lösbar. ˆ Im Fall ggt(a, m) c ist ( ) lösbar. Hat man eine Lösung x 0 L ( ) gefunden, so folgt L ( ) = {x 0 + t m ggt(a, m) ; t Z} = {x Z; x x 0 mod m ggt(a, m) } Man kann also eine lineare Kongruenz stets über eine zugehörige Diophantische Gleichung lösen. Bemerkung 4.6. (Lösung mit Äquivalenzumformungen) Gegeben sei eine lineare Kongruenz ( ) a x c mod m (mit gegebenen m N und a, c Z) (a) Wir betrachten zunächst den Fall, dass a und m teilerfremd sind. (Dann gilt auf eden Fall ggt(a, m) c, folglich ist ( ) lösbar.) Man kann ( ) nun wie folgt lösen: 1.) Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus (siehe 3.10) bestimmt man Zahlen u, v Z mit u a+v m = 1. Die Zahl u erfüllt nun u a 1 mod m und folglich auch: ˆ ggt(u, m) = 1 ˆ u a x x mod m (unabhängig von x) 2.) Man kann nun die lineare Kongruenz ( ), indem man sie zunächst mit u multipliziert (siehe 4.3 (c)) und dann u a x durch x ersetzt (siehe 4.2 (a)): ( ) a x c mod m 4.3 (c) u a x u c mod m 4.2 (a) x u c mod m 21

22 4 Kongruenzrelation und Restklassen Folglich: L ( ) = {x Z; x u c mod m} (b) Nun betrachten wir den Fall, dass a und m nicht teilerfremd sind. Falls nun ggt(a, m) c gilt, so ist L ( ) =. Wir untersuchen also nur noch den Fall, dass ggt(a, m) c gilt. Man kann ( ) dann wie folgt lösen: 1.) Gemäß 4.3 (d) kann man ( ) äquivalent umformen, indem man durch ggt(a, m) teilt: ( ) a x c mod m a ggt(a, m) x c ggt(a, m) mod m ggt(m, ggt(a, m)) = m ggt(a,m) 2.) In der dabei enstandenen linearen Kongruenz a x c mod m (mit a = a ggt(a, m), c = c ggt(a, m), m = m ggt(a, m) ) sind a und m stets teilerfremd. Man kann sie also wie in (a) lösen und hat damit natürlich auch ( ) gelöst. 3.) (wahlweise) Die Lösungen der ursprünglichen Kongruenz modulo m sind nun in der Form einer (vollständig aufgelösten) Kongruenz modulo m ggt(a,m) gegeben. Mit Hilfe von 4.3 (e) kann man diese nun (falls gewünscht) wieder in mehrere Kongruenzen modulo m überführen. Restklassen und Verknüpfungen von Restklassen Bemerkung 4.7. (Einführung von Restklassen) Sei m N gegeben. (a) Wie wir schon gesehen haben, ist die Kongruenzrelation modulo m eine Äquivalenzrelation auf Z. Die Äquivalenzklasse zu einer Zahl a Z bezeichnen wir mit a def = [a] m def = {x Z; x a mod m} (b) Offenbar gilt stets a a. Wie bei eder Äquivalenzrelation gilt für beliebige Zahlen a, b Z: a = b, falls a b mod m a b =, falls a b mod m Jede Äquivalenzklasse kann daher auf unendlich viele Arten dargestellt werden. Es gilt: a = x für edes x a 22

23 (c) Bei Äquivalenzrelationen ist es üblich, edes Element x a einer Äquivalenzklasse als Repräsentant von a zu bezeichnen. Ein Repräsentant der Äquivalanzklasse von a ist der Rest bei Division von a durch m: a = q m+r (q Z, r {0,..., m 1}) a r mod m r a a = r Man bezeichnet die Äquivalenzklasse von a daher auch als Restklasse von a (modulo m). (d) Es gibt genau m Restklassen modulo m, nämlich die Restklassen 0, 1,..., m 1. Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnen wir mit Satz 4.8. (Addition von Restklassen) Sei m N gegeben. R m def = {a; a Z} = {0, 1,..., m 1} (a) Für a 1, a 2, b 1, b 2 Z mit a 1 a 2 mod m und b 1 b 2 mod m gilt stets auch a 1 + b 1 a 2 + b 2 mod m. (b) Zwei Restklassen a, b R m können durch a b def = a + b R m addiert werden. Durch diese Definition entsteht kein Widerspruch, denn falls a 1 = a 2 und b 1 = b 2 gilt, ist stets auch a 1 b 1 = a 2 b 2. (c) Die in (b) definierte Addition ist eine Verknüpfung auf R m, das heißt e zwei Elementen von R m wird durch wiederum ein Element aus R m zugeordnet. Dabei gilt: ˆ (Kommutativgesetz) Für alle a, b R m gilt a b = b a. ˆ (Assoziativgesetz) Für alle a, b, c R m gilt (a b) c = a (b c). ˆ (Existenz eines neutralen Elements) Es gilt a 0 = 0 a = a für alle a R m. Man nennt daher auch 0 Neutrales Element bezüglich. ˆ (Existenz inverser Elemente) Für alle a R m gilt a a = a a = 0. Man nennt daher auch a Inverses Element zu a bezüglich. Satz 4.9. (Multiplikation von Restklassen) Sei m N gegeben. (a) Für a 1, a 2, b 1, b 2 Z mit a 1 a 2 mod m und b 1 b 2 mod m gilt stets auch a 1 b 1 a 2 b 2 mod m. (b) Zwei Restklassen a, b R m können durch a b def = a b R m multipliziert werden. Durch diese Definition entsteht kein Widerspruch, denn falls a 1 = a 2 und b 1 = b 2 gilt, ist stets auch a 1 b 1 = a 2 b 2. 23

24 4 Kongruenzrelation und Restklassen (c) Die in (b) definierte Multiplikation ist eine Verknüpfung auf R m, das heißt e zwei Elementen von R m wird durch wiederum ein Element aus R m zugeordnet. Dabei gilt: ˆ (Kommutativgesetz) Für alle a, b R m gilt a b = b a. ˆ (Assoziativgesetz) Für alle a, b, c R m gilt (a b) c = a (b c). ˆ (Distributivgesetz) Für alle a, b, c R m gilt (a b) c = (a c) (b c). ˆ (Existenz eines neutralen Elements) Es gilt a 1 = 1 a = a für alle a R m. Man nennt daher auch 1 Neutrales Element bezüglich. ˆ Bezüglich existieren nicht immer inverse Elemente. ˆ Für a, b R m gilt stets die Implikation: a = 0 oder b = 0 a b = 0 Die umgekehrte Implikation ist für manche m N edoch falsch. Man nennt Elemente a, b R m {0} mit a b = 0 Nullteiler. (d) Für a R m und n N definiert man (a) n def = a a... a n-mal Es ist sinnvoll zusätzlich (a) 0 def = 1 zu definieren. Es gilt stets (a) n = a n. In R m gelten die Potenzgesetze in Verbindung mit : (a b) n = a n b n, a n a m = a n+m, (a n ) m = a n m (für a, b R m, n, m N 0 ) Anwendungen Bemerkung (Bestimmung von Resten) Für a Z und m N gilt: Die Division a m hat den Rest r, falls r {0,..., m 1} die Zahl ist, für die a = r R m gilt. Der Rest der Division a m kann also bestimmt werden, indem man die Restklasse a in R m vereinfacht. Dabei lassen sich Addition und Multiplikation in R m sinnvoll einsetzen. Folgerung (Teilbarkeitsregeln) Wir betrachten eine natürliche Zahl a N und ihre Darstellung im Dezimalsystem: n a = a 0 +a 1 10+a a n 10 n = a k 10 k mit geeigneten Ziffern a 0,..., a n {0,..., 9} k=0 (i) In R 2 gilt 10 = 0. Daraus folgt a = a 0. Insbesondere ist a genau dann durch 2 teilbar, wenn a 0 durch 2 teilbar ist. (ii) In R 5 gilt 10 = 0. Daraus folgt a = a 0. Insbesondere ist a genau dann durch 5 teilbar, wenn a 0 durch 5 teilbar ist. 24

25 (iii) In R 4 gilt 100 = 0. Daraus folgt a = a 0 + a Insbesondere ist a genau dann durch 4 teilbar, wenn a 0 + a 1 10 durch 4 teilbar ist. (iv) In R 8 gilt 1000 = 0. Daraus folgt a = a 0 + a a Insbesondere ist a genau dann durch 8 teilbar, wenn a 0 + a a durch 8 teilbar ist. Im Folgenden betrachten wir die Quersumme Q(a) und die alternierende Quersumme Q alt (a), definiert durch: n Q(a) def = a 0 +a a n = a k und Q alt (a) def = a 0 a 1 +a 2 a ( 1) n a n = ( 1) k a k k=0 k=0 (v) In R 3 gilt 10 = 1. Daraus folgt a = Q(a). Insbesondere ist a genau dann durch 3 teilbar ist, wenn Q(a) durch 3 teilbar ist. (vi) In R 9 gilt 10 = 1. Daraus folgt a = Q(a). Insbesondere ist a genau dann durch 9 teilbar ist, wenn Q(a) durch 9 teilbar ist. (vii) In R 11 gilt 10 = 1. Daraus folgt a = Q alt (a). Insbesondere ist a genau dann durch 11 teilbar ist, wenn Q alt (a) durch 11 teilbar ist. n Invertierbarkeit bezüglich Definition (Invertierbare Restklassen) Sei m N gegeben. Eine Restklasse a R m heißt (bezüglich ) invertierbar, falls eine weitere Restklasse b R m mit a b = 1 existiert. In diesem Fall nennt man b das Inverse von a (bezüglich ) und schreibt auch a 1 für b. Die Menge der invertierbaren Restklassen bezeichnet man mit R m def = {a R m ; a ist bzgl. invertierbar} R m Bemerkung (Eigenschaften invertierbarer Restklassen) Sei m N mit m 2 gegeben. (a) Bzgl. invertierbare Elemente von R m sind niemals Nullteiler. (Anders formuliert: Nullteiler sind nicht invertierbar.) (b) 0 ist nicht invertierbar. (c) Inverse Elemente zu a Rm sind stets eindeutig bestimmt. (Ein Element aus R m hat also entweder kein oder genau ein Inverses.) (d) 1 und m 1 sind stets invertierbar mit 1 1 = 1 und m 1 1 = m 1. (e) Falls a Rm ist auch a 1 Rm und es gilt (a 1 ) 1 = a. (f) Für a, b Rm ist auch a b Rm mit (a b) 1 = a 1 b 1 25

26 4 Kongruenzrelation und Restklassen Satz (Charakterisierung invertierbarer Restklassen und Bestimmung von Inversen) Sei m N gegeben und a Z. Dann ist a R m genau dann bezüglich invertierbar, wenn a und m teilerfremd sind. In diesem Fall kann man Zahlen u, v Z mit 1 = u a + v m bestimmen (vergleiche 3.10). Es gilt dann stets a 1 = u. (Insbesondere ist u modulo m eindeutig bestimmt.) Folgerung (Invertierbarkeit in R p) Ist p P, so sind alle Elemente a R p {0} bezüglich invertierbar. Also: R p = {1, 2,..., p 1} Definition (Eulersche ϕ-funktion) Die Eulersche ϕ-funktion ist definiert duch ϕ N N, ϕ(m) def = R m (= Anzahl der invertierbaren Elemente in R m ) Bemerkung (Berechnung von ϕ(m)) Nach 4.14 gilt ϕ(m) = {a {1,..., m}; ggt(a, m) = 1} für alle m N. Es folgt: ˆ Für p P ist ϕ(p) = p 1. ˆ Für p P und e N ist ϕ(p e ) = p e p e 1 = p e 1 (p 1). Weiterhin gilt für m 1, m 2 N stets: m 1, m 2 teilerfremd ϕ(m 1 m 2 ) = ϕ(m 1 ) ϕ(m 2 ) Damit kann man ϕ(m) stets aus der (kanonischen) PFZ m = k e p von m berechnen. Es gilt: k e ϕ(m) = p 1 (p 1) = m (1 1 ) p k Trägt man die Punkte (m, ϕ(m)) für m = 1,..., 1000 in ein Koordinatensystem ein, so erhält man: 26

27 Eulersche Phi Funktion m Phi(m) 27

28 5 Gruppen 5 Gruppen Definition, Beispiele und erste Eigenschaften Definition 5.1. (Gruppen) (a) Ist G /= eine beliebige Menge, so nennt man eine Abbildung G G G, (x, y) x y eine Verknüpfung auf G. (Einfacher gesagt: Für beliebige Elemente x, y von G ist x y ebenfalls ein Element von G.) (b) Ist G /= eine beliebige Menge und eine Verknüpfung auf G, so nennt man (G, ) eine Gruppe, wenn die folgenden Bedingungen gelten: (i) Assoziativgesetz: Für alle x, y, z G gilt (x y) z = x (y z). (ii) Existenz eines Neutralen Elements: Es existiert ein Element e G mit x e = e x = x für alle x G. (Falls eine Addition + ist, schreibt man meist 0 statt e. Falls eine Multiplikation ist, schreibt man meist 1 statt e.) (iii) Existenz Inverser Elemente: Zu edem Element x G existiert ein weiteres Element Inv (x) G mit x Inv (x) = Inv (x) x = e. (Falls eine Addition + ist, schreibt man meist x statt Inv (x). Falls eine Multiplikation ist, schreibt man meist x 1 oder 1 x statt Inv (x).) Eine Gruppe (G, ) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn zusätzlich gilt: (iv) Kommutativgesetz: Für alle x, y G gilt x y = y x Bemerkung 5.2. (Eigenschaften von Gruppen) Sei nun (G, ) eine beliebige Gruppe. Dann gilt: (a) Es gibt genau ein Neutrales Element in G. (b) Es gilt die Kürzungsregel: Für alle x, y, z G gilt die Äquivalenz x z = y z x = y z x = z y (c) Jedes Element von G hat genau ein Inverses Element. (d) Für alle x, y G gilt Inv (Inv (x)) = x und Inv (x y) = Inv (y) Inv (x) Bemerkung 5.3. (Iterierte Anwendung der Veknüpfung in der Gruppe) Ist (G, ) eine Gruppe und x G, so definiert man x 0 def = e und x (n) def = x x... x n-mal und x ( n) def = Inv (x) Inv (x)... Inv (x) n-mal (für n N) 28

29 Für alle x, y G und alle n, m Z gelten nun die als Potenzgesetze bekannten Rechenregeln: x (1) = x, x ( 1) = Inv (x), e (n) = e, x (n) x (m) = x (n+m), (x (n) ) (m) = x (n m) und falls (G, ) kommutativ ist, auch: x (n) y (n) = (x y) (n) Definition 5.4. (Gruppenordnung und Elementordnung) (a) Für eine Gruppe (G, ) nennt man G N {} die Ordnung der Gruppe G. Man nennt die Gruppe (G, ) endlich, falls G N ist. (b) Ist (G, ) eine endliche Gruppe, so existiert zu edem x G ein n N mit x (m) = e. Das kleinstmögliche solche m bezeichnet man als Ordnung von x: ord (x) def = min {m N; x (m) = e} N Satz 5.5. (Zusammenhang zwischen Elementordnung und Gruppenordnung) Gegeben sei eine endliche Gruppe G. Dann gilt ord (x) G für alle x G. Daraus folgt, dass für alle x G stets x ( G ) = e gilt. Folgerung 5.6. (Satz von Euler und Kleiner Satz von Fermat) (a) Für alle m N und alle a Z {0} mit ggt(a, m) = 1 gilt: a ϕ(m) 1 mod m (b) Für alle p P und alle a Z gilt: Ist a V (p), so gilt auch: a p a mod p a p 1 1 mod p 29