VORLESUNGEN ÜBER ZAHLENTHEORIE

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1 VORLESUNGEN ÜBER ZAHLENTHEORIE VON HELMUT HASSE O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT IN HAMBURG ZWEITE NEUBEARBEITETE AUFLAGE MIT 28 ABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN GÖTTINGEN HEIDELBERG NEW YORK 1964

2 Inhaltsverzeichnis Erster Grundlagen l. Primzerlegung Seite 1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen 1 2. Elementare Teilbarkeitslehre 2 3. Die Primzahlen 4 4. Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie 6 5. Ausbau des Fundamentalsatzes 7 6. Irrationalität der n-ten Wurzeln ganzer Zahlen Größter gemeinsamer Teiler 1. Kriterium für Teilbarkeit und Primteiler Definition des größten gemeinsamen Teilers Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen Rechenregeln für größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache Teilerfremdheit und paarweise Teilerfremdheit Reduzierte Bruchdarstellung, Hauptnennerdarstellung Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler Beweis des Hauptsatzes als Hauptsatz über Ideale aus ganzen Zahlen Der Euklidische Algorithmus Anderer Beweis des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie Vollkommene Zahlen, Mersennesche und Fermatsche Primzahlen 1. Definition der vollkommenen Zahlen Produktformel für die Teilersumme Hinreichende Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euklid Notwendige Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euler Die Mersenneschen Primzahlen Ungerade vollkommene Zahlen Die Fermatschen Primzahlen Zusammenstellung der noch offenen Fragen Kongruenz, Restklassen 1. Definition der Kongruenz und der Restklassen Der Restklassenring Division im Restklassenring 42

3 XII I nhalts verz eichnis Seite 4. Die prime Restklassengruppe Der kleine Fermatsche Satz Summenformel für die Eulersche Funktion Die Möbiusschen Umkehrformeln Produktformel für die Eulersche Funktion Simultane Kongruenzen, direkte Summenzerlegung des Restklassenrings Kongruenz für gebrochene Zahlen Der Restklassenkörper nach einer Primzahl Additive Darstellung der Restklassen nach einer Primzahlpotenz Periodizität der m-adischen Bruchentwicklung für rationale Zahlen Die Struktur der primen Restklassengruppen 1. Zurückführung auf Primzahlpotenzen Der Fall einer Primzahl Zur Bestimmung primitiver Wurzeln, Artinsche Vermutung Zyklische Verschiebung der Periode in der m-adischen Bruchentwicklung Hilfssätze über Kongruenzen nach einer Primzahlpotenz Der Fall einer ungeraden Primzahlpotenz Der Fall einer Potenz der Primzahl 2 83 Zweiter Quadratische Reste 6. Definition, Reduktion, Kriterien 1. Definition der quadratischen Reste Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln Reduktion auf ungerade Primzahlmoduln Erstes Kriterium: Legendresches Symbol Zweites Kriterium: Eulersches Kriterium Drittes Kriterium: Gaußsches Lemma Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Elementarer Beweis 1. Grundfrage, Reduktion auf Primzahlen Die beiden Ergänzungssätze Das allgemeine Reziprozitätsgesetz Das Legendresche Symbol als Funktion seines Nenners Der Führer des Legendreschen Symbols als Funktion seines Nenners Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Beweis mit Gaußschen Summen 1. Einheitswurzeln von Primzahlordnung Gaußsche Summen Beweis des Reziprozitätsgesetzes Unterbauung des Beweises durch Kongruenztheorie im Einheitswurzelbereich Beweis des zweiten Ergänzungssatzes 120

4 Inhaltsverzeichnis XIII 9. Die Jacobische Verallgemeinerung Se; te 1. Definition des Jacobischen Symbols Das Jacobische Symbol als Funktion seines Zählers Ergänzungssätze und allgemeines Reziprozitätsgesetz Rekursionsverfahren zur Bestimmung des Jacobischen Symbols Das Jacobische Symbol als Funktion seines Nenners Das Kroneckersche Symbol 141 do. Verteilungsfragen über quadratische Reste nach einer Primzahl 1. Lösungsanzahl quadratischer Kongruenzen Sequenzen mit vorgeschriebenen Restcharakteren Wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung. Überblick über die Ergebnisse Fall der Polynome zweiten Grades Anwendung auf zweigliedrige Sequenzen Fall eines speziellen Polynoms dritten Grades Anwendung auf dreigliedrige Sequenzen Zerlegung der Primzahlen p ES 1 mod. 4 in zwei Quadrate Analogon für die Primzahlen p = 1 mod Dritter Der Dirichletsche Primzahlsatz 11. Elementare Sonderfälle 1. Folgerungen aus der Theorie der quadratischen Reste Das Kreisteilungspolynom Der Fall der Einsklasse Der Fall der negativen Einsklasse Die Methode von Dirichlet 1. Der Eulersche Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge Der Dirichletsche Beweisansatz für die Moduln 3 und Der Dirichletsche Beweisansatz für den allgemeinen Fall Die Zetareihe und die Dirichletsche Wendung des Eulerschen Beweises Einiges über den Primzahlsatz Die Charaktere endlicher abelscher Gruppen, Restklassencharaktere 1. Definition und Existenz der Charaktere Charakterrelationen Das Dualitätsprinzip Charaktere und Untergruppen Restklassencharaktere Führer, eigentliche Charaktere Gerade und ungerade Charaktere Der Beweis von Dirichlet 1. Die L-Reihen Isolierung der Primzahlmengen in den einzelnen primen Restklassen 229

5 XIV Inhaltsver zeichnis Seite 3. Grenzverhalten der L-Reihen Dirichletsche Dichte und natürliche Dichte Das Nichtverschwinden der L-Reihen 1. Produkte aus L-Reihen Elementar-analytischer Beweis für nicht-quadratische Charaktere Elementar-analytischer Beweis für quadratische Charaktere Die funktionentheoretische Beweismethode Die algebraisch-zahlentheoretische Beweismethode 266 A. Additive Arithmetik 274 B. Multiplikative Arithmetik 275 a) Einheiten 275 b) Primzerlegung Elementar-arithmetische Beweise des Dirichletschen Primzahlsatzes 282 Vierter Quadratische Zahlkörper 16. Elementare Teilbarkeitslehre 1. Algebraische Grundlagen Geometrische Veranschaulichung Ganze Zahlen, Diskriminante Einheiten Berechnung der Grundeinheit 304 A. Algebraische Grundlagen der Kettenbruchentwicklung 305 B. Kettenbruchentwicklung reell-quadratischer Irrationalzahlen 307 C. Anwendung auf die Berechnung der Grundeinheit 311 D. Kettenbruchentwicklung reiner Quadratwurzeln Quadratische Zahlkörper mit eindeutiger Primzahlzerlegung Divisorentheorie 1. Struktur des Restklassenrings nach einer Primzahl Teilbarkeit und Kongruenz für Primdivisorpotenzen Die Hauptsätze der Arithmetik Kongruenz, Restklassen, Ideale Endlichkeit der Klassenzahl Bestimmung der Klassenzahl 1. Die Grenzformel Summation der L-Reihen Die allgemeine Klassenzahlformel 400 a) K. reell b) K komplex Die quadratische Klassenzahlformel 405 A. Positivität 407 B. Ganzrationalität 408 a) Imaginär-quadratische Zahlkörper 408 b) Reell-quadratische Zahlkörper 411 v

6 Inhaltsverzeichnis XV Seite 5. Rationale Gestalt der Klassenzahlformel für positive Primzahldiskriminanten Quadratische Zahlkörper und quadratisches Reziprozitätsgesetz 1. Quadratische Zahlkörper als Klassenkörper Ausblick auf die allgemeine Klassenkörpertheorie Beweis des Reziprozitätsgesetzes durch Einbettung in Emheitswurzelkörper Rein-quadratischer Beweis des Reziprozitätsgesetzes Systematische Theorie der Gaußschen Summen 1. Allgemeine Definition, Reduktionen Komponentenzerlegung, Betragformel Begriffliche Bedeutung der eigentlichen Gaußschen Summen Gaußsche Summen und Charaktersummen für einen ungeraden Primzahlmodul Vorzeichenbestimmung für quadratische Charaktere Die Kummersche Vermutung für kubische Charaktere nach einem Primzahlmodul Analoga für bikubische und biquadratische Charaktere 489 Namenverzeichnis 495 Sachverzeichnis 497