1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016

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1 1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Sei n IN eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) (n 1)+n = n(n+1), 2 (b) (n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1), 6 ( n(n+1) ) 2, (c) (n 1) 3 +n 3 = 2 (d) n+(n+1)+(n+2)+...+(2n 1)+2n = 3 ( (n 1)+n). 2. Sei n IN. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) n 1 +2 n = 2 n+1 1, (b) n 1 +5 n = 5n (c) ( 1 3, ( ) n 1 ( 1 n 1 + = 3) ) n+1 (d) Stellen Sie eine Formel auf, die die drei vorigen Beziehungen zusammenfasst. 3. Bei dem Spiel Turm von Hanoi sitzen auf einem von drei Stäben n verschieden große kreisförmige Scheiben, und zwar die kleinste oben, die größte unten. Alle Scheiben sollen nun auf einen anderen Stab transportiert werden, wobei bei jedem Schritt nur eine Scheibe bewegt werden darf, nie eine größere Scheibe über einer kleineren Scheibe liegen darf. Zeigen Sie: Die Aufgabe läßt sich in 2 n 1 Schritten lösen. 4. Eine Mathematikstudentin benötigt für BAFöG ein Gutachten. Der zuständige Professor sagt ihr: Sie erhalten das Gutachten, wenn Sie die folgende Aufgabe lösen: Ich habe drei Söhne, deren Alter (in ganzen Jahren) Sie erraten sollen. Das Produkt der drei Alter ist gleich der Hörerzahl, die ich am Semesterbeginn hatte und die Summe der Alter ist gleich der Hörerzahl am Semesterende. Die Studentin weiß, dass zum Semesteranfang 36 Hörer anwesend waren, und sie kennt auch die Hörerzahl am Semesterende. Obwohl sie sehr begabt ist, antwortet sie: Ich kann das Problem nicht lösen. Gut, sagt der Professor, dann gebe ich Ihnen einen Tip : Mein ältester Sohn heißt Alexander. Aha, antwortet die Studentin. Dann sind Ihre Söhne a, b und c Jahre alt. Wie groß sind a, b und c und wie erhält man die Lösung?.

2 ( a+b ) 2 ( a b ) Zeigen Sie: Für alle a,b IN gilt a b = 2 2 Was hat das mit Aufgabe 6 zu tun? 6. (a) Zeigen Sie, dass sich jede ungerade natürliche Zahl k mit k > 1 als Differenz von zwei Quadratzahlen schreiben lässt. Überlegen Sie sich, dass es mehrere Lösungen geben kann, und für welche k das zutrifft. (b) Zeigen Sie: Addiert man alle ungeraden natürlichen Zahlen von 1 bis k, dann ergibt sich eine Quadratzahl. (c) Zeigen Sie, dass sich 2 nicht als Differenz zweier Quadratzahlen schreiben lässt. (d) Gibt es überhaupt gerade Zahlen, die sich als Differenz zweier Quadratzahlen schreiben lassen? 7. Sei n IN eine natürliche Zahl. Dann ist genau eine der (a) zwei Zahlen n, n+1 Vielfaches von 2, (b) drei Zahlen n, n+1,n+2 Vielfaches von 3, (c) vier Zahlen n, n+1, n+2, n+3 Vielfaches von 4. Abgabe der Aufgaben 4, 6, 7 bis 25.4., vor der Vorlesung

3 2. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Aus den Ziffern 1,2,3,4,5,6,7,8,9sind drei dreistellige Zahlen a = (a 1 a 2 a 3 ), b = (b 1 b 2 b 3 ), c = (c 1 c 2 c 3 ) zu bilden, so dass die Summe a+b+c gleich (a) 900, (b) 999, (c) 1000 (d) 1001 ist. Jede der Ziffern darf insgesamt genau einmal vorkommen. Geben Sie a,b,c an und begründen Sie Ihre Antwort. Beispiel: Die Zahlen a = 123, b = 456, c = 789 haben die Summe 1368, die Zahlen a = 125, b = 374, c = 689 die Summe (a) Geben Sie eine natürliche Zahl n IN an, so dass gilt (3 2 ) n und (4 2 ) (n+1) und (5 2 ) (n+2). (b) Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt natürliche Zahlen n IN mit (2 2 ) n und (3 2 ) (n+1) und (4 2 ) (n+2)? 10. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen: Für alle ganze Zahlen a, b, c Z gilt (a) a b und a c = (a 2 ) (b c). (b) a (b c) = a b oder a c. (c) a b und a c = a (3b+5c). (d) a b und a c = a (b+c). (e) a b und a c = a (b+c). (f) 7 (10a+b) 7 (a+5b). 11. Zeigen Sie: Für m,n IN gilt: (a) m n 1 ist ganzzahliges Vielfaches von m 1. (b) m n +1 ist ganzzahliges Vielfaches von m+1 genau dann, wenn n ungerade. Abgabe der Aufgaben 8a,d, 10c, f, 11b bis 2.5., vor der Vorlesung

4 3. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Bestimmen Sie mit Hilfe des Siebs von Eratosthenes alle Primzahlen kleiner als Geben Sie alle Primzahlen p an, die gemeinsamer Teiler zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen n und n+1 sind. 14. (a) Untersuchen Sie, welche der Zahlen 2 n 1, 1 n 10, Primzahlen sind. Schreiben Sie die zusammengesetzten dieser Zahlen als Produkt ausschließlich von Primzahlen. (b) Schreiben Sie 27! als Produkt ausschließlich von Primzahlen. 15. Sei n IN eine zusammengesetzte natürliche Zahl, p ihr kleinster Primfaktor, und es gelte p > 3 n. Beweisen Sie: n p ist eine Primzahl. 16. Bestimmen Sie 18 verschiedene natürliche Teiler der Zahl , die kleiner als 100 sind. Hinweis: Seien m,n IN, a Z. Aus m n folgt (a m 1) (a n 1). 17. (a) Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen n, die genau 7 natürliche Teiler haben. Wie groß ist dann σ(n)? (b) Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen n mit τ(n) = 12 und σ(n) < 400. (c) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen, in deren kanonischen Primfaktorzerlegung genau 3 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau 6 natürliche Teiler haben. 18. Gegeben seien die natürlichen Zahlen m,n IN mit τ(m 2 ) = 26, τ(n 2 ) = 27. Berechnen Sie alle möglichen Werte von τ(m), τ(n), τ(m 3 ) und τ(n 3 ). Abgabe der Aufgaben 14, 16, 17, 18 bis 9.5., vor der Vorlesung

5 4. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Sei n IN. Zeigen Sie: (a) Sind p 1,p 2,...,p n Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 ergeben, dann teilt keine dieser Primzahlen die Zahl m = 4 p 1 p 2... p n 1. (b) Sind p 1,p 2,...,p n Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 ergeben, dann ergibt ihr Produkt p 1 p 2... p n ebenfalls den Rest 1 bei Division durch 4. (c) Es gibt unendlich viele Primzahlen, diesich inder Form4k 1 mit geeignetem k IN darstellen lassen. 20. Eine Zahl der Form F k := 2 2k +1, k IN 0, heißt Fermatsche Zahl. Zeigen Sie: (a) Es gilt F 0 F 1... F k = F k+1 2. (b) Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen F k und F l sind teilerfremd. 21. (a) Schreiben Sie jede der geraden Zahlenzwischen 75 und 95 alssumme von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen. (b) Beweisen Sie: Jede gerade Zahl größer 2 läßt sich als Summe von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen schreiben. (c) Zeigen Sie: 75, 81, 85 und 91 sind die einzigen ungeraden Zahlen zwischen 75 und 95, die sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen lassen. (d) Zeigen Sie: Gilt Aussage (b), dann läßt sich jede natürliche Zahl größer 5 als Summe von drei Primzahlen darstellen läßt. 22. Auf einem Brett befinden sich 1000 Lämpchen, die von 1 bis 1000 durchnummeriert sind. Zunächst sind alle Lämpchen aus. Dann werden alle, deren Nummer durch 1 teilbar ist (also überhaupt alle) eingeschaltet. Beim 2. Schritt werden alle, deren Nummer durch 2 teilbar ist, ausgeschaltet. Allgemein: Beim k-ten Schritt wird jedes Lämpchen, dessen Nummer durch k teilbar ist, umgeschaltet von an nach aus oder von aus nach an, je nachdem, ob es gerade brennt oder nicht. Frage: Welche Lämpchen brennen nach 1000 solchen Schritten? Abgabe der Aufgaben 19, 21, 22 bis 23.5., vor der Vorlesung

6 5. Übung Elemente der Zahlentheorie SS (a) Geben Sie drei verschiedene Zahlen a IN an mit ggt(a,24) = 6. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ggt(5390, 1365, 2499). (c) Bestimmen Sie alle ganzzahligen Linearkombinationen von 9 und Zeigen Sie: Für alle n IN gilt ggt(n 4 +3n 2 +1,n 3 +2n) = (a) Beweisen Sie: Sind a,b,c IN paarweise teilerfremd, dann gilt ggt(a,b,c) kgv(a,b,c) = a b c. (b) Zeigen Sie an einem Gegenbeispiel, dass die Aussage (a) im allgemeinen für teilerfremde, aber nicht paarweise teilerfremde a, b, c nicht gilt. 26. Zeigen Sie: Ist x 0 IQ Nullstelle des Polynoms p(x) = x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 mit ganzzahligen Koeffizienten a 0,a 1,...,a n, dann ist x 0 ganzzahlig und Teiler von a Bestimmen Sie alle a,b,n IN mit a!+b! = 2 n. 28. Zeigen Sie: Jedes Produkt von 6 beliebigen unmittelbar aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist durch 720 teilbar. 29. Sei a = , b = Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von a und b (a) mit Hilfe der Primfaktorzerlegung von a und b, (b) mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. Stellen Sie 792 als ganzzahlige Linearkombination von a und b dar. 30. Geben Sie alle Möglichkeiten an, die Zahlen (a) 105, (b) 107, (c) 108 als Differenz von zwei Quadratzahlen natürlicher Zahlen, also in der Form n = a 2 b 2, a,b IN zu schreiben. Abgabe der Aufgaben 25, 26, 28, 29 bis 30.5., vor der Vorlesung

7 6. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Sei a = Berechnen Sie die (a) Anzahl der natürlichen Zahlen, die Teiler von a sind, (b) Anzahl der geraden natürlichen Zahlen, die Teiler von a sind, (c) Anzahl der natürlichen Zahlen, die Vielfaches von 12 und Teiler von a sind, (d) Anzahl der natürlichen Quadratzahlen, die Teiler von a sind. 32. Seien m,n,d IN\{1}, a,b Z. Beweisen Sie: (a) Gilt a b mod m und d m, dann auch a b mod d. (b) Gilt ggt(m,n) = 1, a b mod m und a b mod n, dann auch a b mod m n. 33. Stellen Sie die Verknüpfungstafeln auf für die Addition und die Multiplikation der Restklassen (a) modulo 7 (b) modulo 8. Welche Elemente sind Nullteiler? 34. Sei n IN eine beliebige natürliche Zahl. (a) Welcher Rest kann bei Division von n 2 durch 3 auftreten? Begründung? (b) Welcher Rest kann bei Division von n 2 durch 4 auftreten? Begründung? (c) Zeigen Sie: In der Folge 1,5,9,13,17,21,25,... kommen unendlich viele Quadratzahlen vor, und in der Folge 7,23,39,55,71,87,103,... kommt keine Quadratzahl vor. (d) Zeigen Sie ohne Benutzung eines Taschenrechners oder ähnlichem: Keine der Zahlen a = , b = , c = ist Quadrat einer natürlichen Zahl. Abgabe der Aufgaben bis 6.6., vor der Vorlesung

8 7. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Ein Zahnrad mit 12 Zähnen treibt ein anderes Zahnrad mit 40 Zähnen an. Bei Stillstand werden die sich gerade berührenden Zähne gekennzeichnet. (a) Wie viele Umdrehungen muss jedes der Zahnräder mindestens machen, damit sich die gekennzeichneten Zähne wieder berühren? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) Geben Sie eine Formel an, wenn das 1. Zahnrad k Zähne und das 2. l Zähne hat. 36. (a) Welcher Rest ergibt sich bei Division von durch 7? (b) Bestimmen Sie die letzten beiden Ziffern von Beweisen Sie: (a) Für alle ungeraden ganzen Zahlen n Z gilt: 8 (n 2 1). (b) Es gibt keine Quadratzahl mit Einerziffer 2,3,7 oder Bestimmen Sie den Rest bei Division von (a) 4! durch 5 (b) 5! durch 6 (c) 6! durch 7 (d) 7! durch Der Geburtstag von Carl F. Gauß ist der 30. April Auf welchen Wochentag fiel das? Begründen Sie Ihre Antwort! 40. Für die Zahl heißt a = (a n a n 1...a 1 a 0 ) 10 = a 0 +a 1 10+a a n 1 10 n 1 +a n 10 n Quersumme 2. Ordnung. Z.B. ist Q 2 (12345) = = 69. Q 2 (a) := a 0 +a 1 10+a 2 +a Beweisen Sie: a ist durch 3 bzw. 9 bzw. 11 genau dann teilbar, wenn es die Quersumme 2. Ordnung ist. 41. Die folgenden Rechnungen sind richtig, allerdings sind einige Ziffern unleserlich und hier mit x, y oder z bezeichnet. Bestimmen Sie die fehlenden Ziffern: (a) 15! = x368y00. (b) = x Eine Filmvorstellung wird von 20 Personen besucht, die insgesamt 20 Euro bezahlen. Kinder zahlen je 50 Cent, Studenten je 2 Euro und erwachsene Nichtstudenten je 3 Euro. Wieviele Personen jeder Gruppe waren in der Vorstellung? Abgabe der Aufgaben 36, 38, 39 bis 13.6., vor der Vorlesung

9 8. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Zeigen Sie, dass durch 50 teilbar ist. 44. Die folgenden Rechnung ist richtig, allerdings sind einige Ziffern unleserlich und hier mit x, y oder z bezeichnet. Bestimmen Sie die fehlenden Ziffern: = x yz. 45. Zeigen Sie: In jedem Jahr gibt es mindestens einen Freitag, den Lösen Sie die lineare Kongruenz jeweils für a {2,3,5,10,15}. a x 2 mod p > 3 und q = p+2 seien Primzahlzwillinge. Zeigen Sie p q 1 mod Gegeben seien eine Balkenwaage und genügend viele Gewichte von 45g und 84g. Es ist erlaubt, in beide Waagschalen Gewichte zu legen. (a) Zeigen Sie, dass man mit diesen Gewichten 2000g nicht auswiegen kann. (b) Zeigen Sie, dass man sowohl 3000g als auch 18g auswiegen kann. Geben Sie jeweils alle Möglichkeiten an. (c) Geben Sie alle Möglichkeiten an, wenn man die Gewichte nur in eine Waagschale legen darf. 49. EinBauerkauftaufdemMarktPferdeundKühe.EinPferdkostet 290Euro,eineKuh150 Euro. Er gibt für die Kühe insgesamt 40 Euro mehr aus als für die Pferde, aber höchstens für alle Tiere zusammen Euro. Wie viele Pferde und Kühe hat er gekauft? Abgabe der Aufgaben 43, 44, 46, 48 bis 20.6., vor der Vorlesung

10 9. Übung Elemente der Zahlentheorie SS (a) Sei w IN {0}. Bestimmen Sie alle Lösungen und alle nichtnegativen Lösungen von 2x+3y = w. (b) Bestimmen Sie alle positiven Lösungen (x, y, z) der diophantischen Gleichung Hilfe: Setzen Sie w := 2x+3y. 2x+3y +7z = Bestimmen Sie alle Lösungen der simultanen Kongruenz 10x 4 mod 6 8x 7 mod 9 15x 25 mod Geben Sie alle ganzen Zahlen c an, für die folgendes System von linearen Kongruenzen lösbar ist: 5x 2 mod 12 7x c mod Eine zahlentheoretische Funktion f : IN IR heißt additiv, wenn für beliebige teilerfremde m,n IN gilt f(m n) = f(m)+f(n). (a) Zeigen Sie: Ist f additiv, dann gilt f(1) = 0. (b) Zeigen Sie: Sei ω(n) die Anzahl der verschiedenen Primteiler von n, dann ist ω additiv. (c) Berechnen Sie ω(p α ) für eine beliebige Primzahlpotenz. 54. Für k IN 0, n IN, sei σ k (n) := d IN,d n Beweisen Sie: σ k ist multiplikativ, aber nicht streng multiplikativ. 55. (a) Bestimmen Sie 4 natürliche Zahlen n mit ϕ(n) = 16. (b) Zeigen Sie: Es gibt keine natürliche Zahl n IN mit ϕ(n) = (a) Beweisen Sie: Ist n IN zusammengesetzt, dann gilt ϕ(n) n 2. (b) Beweisen Sie: Ist n IN, n 3, dann ist ϕ(n) gerade. (c) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n IN mit ϕ(2n) = ϕ(n). Abgabe der Aufgaben 51, 52, 55, 56 bis 27.6., vor der Vorlesung d k.

11 10. Übung Elemente der Zahlentheorie SS Zeigen Sie: Ist p eine Primzahl mit p > 5, dann gilt 240 (p 4 1). 58. Bestimmen Sie alle nichtnegativen Lösungen der folgenden diophantischen Gleichungen (a) 134x 12y = 54. (b) 12x 9y = Aus einem chinesischen Rechenbuch: Eine Bande von 17 Räubern stahl einen Sack mit Goldstücken. Als sie versuchten, die Beute zu gleichen Teilen aufzuteilen, blieben 3 Goldstücke übrig. Beim Streit darüber, wer ein Goldstück mehr erhalten sollte, verlor ein Räuber sein Leben. Bei dem Versuch, die Beute auf die verbliebenen Räuber gleichmäßig aufzuteilen, blieben 10 Goldstücke übrig. Erneut kam es zum Streit, und wieder verlor ein Räuber sein Leben. Anschließend konnte die Beute vollständig zu gleichen Teilen aufgeteilt werden. Wie viele Goldstücke waren mindestens im Sack? 60. Bestimmen Sie die Lösung folgender simultanen Kongruenz: x 56 mod 135 x 11 mod Sei p 3 eine Primzahl. Beweisen Sie: (a) 1 p 1 +2 p 1 +3 p (p 1) p 1 1 mod p. (b) 1 p +2 p +3 p +...+(p 1) p 0 mod p. 62. Bestimmen Sie (a) die letzte Ziffer von 3 80, (b) den Rest von bei Division durch 5, (c) die letzten beiden Ziffern von Abgabe der Aufgaben bis 4.7., vor der Vorlesung

12 1. Querschnittsübung zu Elem. d. Zahlentheorie 1. Geben Sie an, ob folgende Aussagen wahr oder unwahr sind. Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, für jede falsche wird 1 Punkt abgezogen, nicht beantwortete Fragen werden mit 0 Punkten bewertet. Ist die Gesamtpunktzahl dieser Aufgabe negativ, wird sie mit 0 Punkten bewertet. (a) Für k,m,n IN mit k m, k n gilt immer k (m+n). un (b) Ist a eine natürliche Zahl mit Quersumme 15, dann ist a keine Quadratzahl. un (c) Die simultane Kongruenz x 33 mod 40 x 12 mod 28 hat genau eine Lösung modulo 280. (d) ϕ(280000) = un un (e) Sei n IN. Ist keine der ganzen Zahlen a mit 1 a n Teiler von n, dann ist n eine Primzahl. un (f) Seien a,b,d IN mit d a, d b und ggt( a d, b ) = 1. Dann ist ggt(a,b) = d. d un 2. Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n mit genau 4 verschiedenen Primfaktoren und genau 20 natürlichen Teilern. 3. Sei τ : IN IN mit τ(n) := d n 1 die Teileranzahlfunktion. (a) Berechnen Sie τ( ). (b) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n < 1000 mit τ(n) = 30. (c) Beweisen Sie: Ist n IN eine natürliche Zahl mit 5 n, dann gilt τ(5n) = 2 τ(n). 4. Sei σ : IN IN mit σ(n) := d n d die Teilersummenfunktion. (a) Berechnen Sie σ(14520). (b) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n mit σ(n) = Bestimmen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d von a = 1001 und b = 781 und stellen Sie d als Linearkombination von a und b dar.

13 6. Beweisen Sie: Für alle a,b,n IN gilt ggt(n a,n b) = n ggt(a,b). 7. Man bestimme alle Möglichkeiten von Ziffern x,y,z, so dass die Zahl Vielfaches von 1584 ist. A := x.6y9.z76 8. Ein Betrieb kauft in unterschiedlicher Stückzahl drei verschiedene Einzelteile, die 52 Euro, 29 Euro bzw. 3 Euro kosten. Es wurden insgesamt 100 Einzelteile gekauft, die Gesamtkosten betrugen 2500 Euro. Wieviel Stücke wurden von jedem Teil gekauft. 9. Bestimmen Sie alle ungeraden natürlichen Zahlen x mit 3 x, 5 (x+2) und 7 (x+4). 10. Bestimmen Sie die Lösung folgender simultanen Kongruenz: 9x 6 mod x 26 mod Zeigen Sie: Für alle m Z gilt m 11 m mod 66.

14 2. Querschnittsübung zu Elem. d. Zahlentheorie 1. Geben Sie an, ob folgende Aussagen wahr oder unwahr sind. Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, für jede falsche wird 1 Punkt abgezogen, nicht beantwortete Fragen werden mit 0 Punkten bewertet. Ist die Gesamtpunktzahl dieser Aufgabe negativ, wird sie mit 0 Punkten bewertet. (a) n ist genau dann prim, wenn ϕ(n) = n 1. un (b) Sind f und g multiplikative zahlentheoretische Funktionen, dann auch f + g, f g und f g. un (c) Sei α IR\IQ und p i q i die zugehörigen Näherungsbrüche. Dann gilt α p i q i 1 2q 2 i für alle i IN. un (d) π 2 hat die Kettenbruchentwicklung [9;1,6,1,2,47]. un 2. Zeigen Sie: Für alle x IN, x > 1, gilt σ(p) p x,p prim p x,p prim ϕ(p) = p x,p prim τ(p). 3. Zeigen Sie: Für alle n IN ist σ(n 2 ) Teiler von d n 2 d Sei ϕ : IN IN die Eulersche Φ-Funktion, σ die Teilersummenfunktion. (a) Berechnen Sie ϕ(5400). (b) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n mit ϕ(n) = 4. (c) Zeigen Sie: Für alle n IN, n > 1, gilt n 2 < 2ϕ(n)σ(n) < 2n Bestimmen Sie die letzten 3 Dezimalstellen von Sei µ : IN IN die Möbius-Funktion, n IN. Zeigen Sie: µ(d) = µ(n). d 2 n 7. Bestimmen Sie f(n) := d n µ 2 (d) für alle n IN.

15 8. Für n IN sei lnp falls n = p a mit p prim und a IN Λ(n) := 0 sonst (a) Ist die Funktion Λ(n) multiplikativ? (b) Zeigen Sie: Für alle n IN gilt Λ(d) = lnn. 9. (a) Bestimmen Sie die Kettenbrüche von a := , b := 80. d n (b) Geben Sie für folgende Kettenbrüche die Darstellung in der Form p q + r q s mit p,q,r,s Z an: c := [1;2,3], d := [0;1,2,3,4], e := [0;1,4], f n := [0;n,1,2n] für n IN.