2-1 Elementare Zahlentheorie
|
|
|
- Dörte Koch
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 2-1 Elementare Zahlentheorie 2 Zahlentheoretische Funktionen Sei Φ die Menge der Abbildungen N R, derartige Abbildungen nennt man zahlentheoretische Funktionen (oft betrachtet man allgemeiner Abbildungen mit Werten in C Zahlentheoretische Funktionen, an denen wir interessiert sind: I(n = 0 für n > 1 und I(1 = 1 U(n = 1 für n 1 E(n = n für n 1 τ(n = (Anzahl der Teiler von n σ(n = (Summe der Teiler von n Ganz wichtig ist die Eulersche φ-funktion, die in 26 eingeführt wird, aber auch die Möbius-Funktion µ, siehe Die Faltung Wir definieren auf Φ ein Produkt (Dirichlet-Produkt, Faltung auf folgende Weise: Seien f, g Φ Setze (f g(n = d n f(dg( n d = d 1 d 2 =n f(d 1 g(d 2 (dabei bedeutet die letzte Summenbildung, dass über alle Paare (d 1, d 2 N 2 summiert werden soll, für die d 1 d 2 = n gilt Beispielsweise gilt: τ = U U, σ = E U Ist f eine beliebige zahlentheoretische Funktion, so betrachtet man oft f U und nennt dies die zugehörige summatorische Funktion: beachte, dass (f U(n = f(d, es wird hier also die Summe der Werte f(d für alle Teiler d von n gebildet d n 211 Die Menge Φ ist bezüglich eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element I Beweis: Übungsaufgabe! Zum Assoziativgesetz sollte man anmerken: Seien f, g, h zahlentheoretische Funktionen Dann ist (f g h(n = d 1,d 2,d 3 f(d 1 g(d 2 h(d 3, wobei man über alle Tripel (d 1, d 2, d 3 mit d 1 d 2 d 3 = n summiert Zusatz (Übungsaufgabe 41: Nehmen wir zusätzlich noch auf Φ die punktweise Addition als Addition, so erhalten wir einen kommutativen Ring
2 Leitfaden Bielefeld WS 2006/ Eine Funktion f Φ ist genau dann bezüglich invertierbar, wenn f(1 0 gilt Beweis: Sei f g = I Dann ist 1 = I(1 = f(1g(1, da n = 1 nur den einzigen Teiler d = 1 hat Aus f(1g(1 = 1 folgt, dass f(1 nicht Null sein kann Umgekehrt sei nun f eine zahlentheoretische Funktion mit f(1 0 Wir definieren eine zahlentheoretische Funktion g induktiv wie folgt: sei g(1 = f(1 1 Sei nun n 2 und seien schon die Werte g(1,, g(n 1 definiert Wir setzen g(n = f(1 1 d n,d<n g(df(n d (die Summierung erfolgt also über alle Teiler d von n mit d < n; für derartige Zahlen d ist ja g(d schon definiert Auf diese Weise erhalten wir eine Funktion g mit g(1f(1 = 1 = I(1 und I(n = 0 = g(nf(1 + d n,d<n g(df(n = (g f(n d für n 2 Es ist also g = f 1 22 Multiplikative Funktionen Wir interessieren uns vor allem für multiplikative Funktionen: Eine Funktion f Φ heißt multiplikativ, falls f nicht die Nullfunktion ist und falls gilt: Sind n, n teilerfremd, so ist f(nn = f(nf(n (Insbesondere gilt dann f(1 = 1; denn wäre f(1 = 0, so wäre f wegen f(1 n = f(1f(n die Nullfunktion, dies ist ausgeschlossen; aus f(1 = f(1 1 = f(1f(1 und f(1 0 folgt aber f(1 = 1 Warnung: In der Algebra würde man eine Funktion nur dann multiplikativ nennen, wenn die Regel f(nn = f(nf(n für alle n, n gilt, nicht nur für teilerfremde Paare In der Zahlentheorie heißen derartige Funktionen vollständig multiplikativ, diese Klasse von Funktionen spielt aber keine große Rolle! Beachte: Sind die Funktionen f, g vollständig multiplikativ, so ist f g multiplikativ, meist aber nicht vollständig multiplikativ Beispiel: die Funktion U ist vollständig multiplikativ Aber τ := U U ist nicht vollständig multiplikativ (τ(n ist die Anzahl der Teiler von n, und es ist τ(2 = 2, und τ(4 = = τ(2 2 Offensichtlich gilt für f multiplikativ: Kennt man die Werte f(p e, für alle Primzahlen p und alle natürlichen Zahlen e, so kennt man f, denn für n = p e 1 t mit paarweise verschiedenen Primzahlen p 1,, p t gilt f(p e 1 t = f(pe 1 1 f(pe t t Umgekehrt kann man eine multiplikative Funktion g dadurch definieren, dass man beliebige Werte g(p e (für p Primzahl, e N wählt, und diese Abbildung multiplikativ fortsetzt : g(p e 1 t = g(pe 1 1 g(pe t t
3 2-3 Elementare Zahlentheorie (für paarweise verschiedene Primzahlen p 1,, p t und alle e i N 221 Sind f, g muliplikativ, ist ist auch f g multiplikativ Beweis: Seien n 1, n 2 teilerfremde natürliche Zahlen Ist d ein Teiler von n 1 n 2, so lässt sich d eindeutig in der Form d = d 1 d 2 mit d 1 n 1 und d 2 n 2 schreiben (es ist d 1 = (d, n 1 und d 2 = (d, n 2 Da n 1, n 2 teilerfremde Zahlen sind, sind auch die Zahlen d 1, d 2 teilerfremd Entsprechend sind auch die Zahlen n 1 /d 1 und n 2 /d 2 teilerfremd (f g(n 1 n 2 = (n 1 n 2 f(dg d d n 1 n 2 = f(d 1 d 2 g ( n 1 n 2 d 1 d 2 d 1,d 2 = ( f(d 1 f(d 2 g d 1,d 2 ( = f(d 1 g d 1 (n 1 d 1 g (n 2 d 2 (n 1 d 1 ( = (f g(n 1 (f g(n 2, (n 2 f(d 2 g d 2 d 2 dabei gilt das Gleichheitszeichen mit (, weil f und g multiplikativ sind 222 Ist f multiplikativ und f(1 0, so ist auch f 1 multiplikativ Beweis Definiere g wie folgt: Es sei g(p j = f 1 (p j für jede Primzahl p und j N (nach Voraussetzung ist f invertierbar, und wir setzen diese Abbildung multiplikativ fort Auf diese Weise erhalten wir eine multiplikative Funktion g Da f, g multiplikativ sind, ist nach 221 auch f g multiplikativ Wir zeigen: f g = I Da die beiden Funktionen f g und I multiplikativ sind, brauchen wir nur (f g(p e = I(p e für Primzahlpotenzen p e zu zeigen Es ist (f g(p e = g(p 0 e e f(pe e e f 1 (p 0 e e f(pe e e = ( = (f f 1 (p e = I(p e, dabei gilt (, da p e e eine p-potenz ist, und die Abbildungen g und f 1 nach der Definition von g auf p-potenzen übereinstimmen Die Funktionen I, U, E sind offensichtlich multiplikativ, also sind auch τ und σ multiplikativ 23 Die Funktion τ Es ist τ(p e = e + 1, also gilt t τ(p e 1 t = (e i + 1 i=1
4 Leitfaden Bielefeld WS 2006/ (falls p 1,, p t paarweise verschiedene Primzahlen sind Beispiel 1 τ(200 = τ( = 4 3 = 12 Zugehöriges Schokoladen-Bild: Die Teiler bilden ein Rechtecksraster, beschriftet wurden nur die beiden unteren Kanten (hier findet man alle Primpotenzteiler die weitere Beschriftung erhält man durch die jeweiligen Produkt-Bildungen Ganz allgemein gilt: Ist n = p e 1 1 pe 2 2 mit Primzahlen p 1 p 2, so bilden die Teiler ein derartiges Rechteck Beispiel 2 τ(2 3 5 = = 8 Zugehöriges Würfelbild: Die Funktion σ Es ist 1 σ(p e = pe+1 1 p 1, Beweis: Die Zahl p e hat die Teiler p e mit 0 e e und deren Summe ist 0 e e pe = 1 + p + + p e = pe+1 1 p 1
5 2-5 Elementare Zahlentheorie 25 Die Möbius-Funktion µ Die Funktion U ist nach 212 invertierbar Setze µ = U 1, man nennt dies die Möbius sche Umkehrfunktion Die Funktion µ wird vor allem wegen der trivialerweise geltenden Formel f = (f U µ gebraucht diese Formel besagt: Kennt man die summatorische Funktion f U, so kann man durch Faltung mit µ die Funktion f zurück gewinnen Andere Formulierung: Ist F(n = d n f(d, so ist f(n = d n F(dµ(n d 251 Die Funktion µ = U 1 ist multiplikativ (wegen Wir berechnen die Werte µ(p e Es ist µ(p = 1 und µ(p e = 0 für e > 1 Beweis: Es ist µ(1 = 1 Für e 1 gilt 0 = I(p e = (U µ(p e = 0 i e µ(pi Für e = 1 liefert dies 0 = µ(1 + µ(p = 1 + µ(p, also µ(p = 1 Für e 2 sehen wir: also ist µ(p e = 0 0 = 0 i e µ(pi und auch 0 = 0 i<e µ(pi, Also erhalten wir die Formel: µ(n = { 0 falls n nicht quadratfrei, ( 1 t falls n = p 1 p t mit paarweise verschiedenen Primzahlen p i dabei schließt die zweite Zeile auch den Fall n = 1, also t = 0 ein: Es ist µ(1 = Die Mertens sche Vermutung Betrachtet wird die Funktion n x µ(n Offensichtlich ist n x µ(n x und Mertens vermutete 1897, dass sogar gelten sollte: n x µ(n x (er bestätigte dies für x Odlyzko und te Riele zeigten 1983, dass die Behauptung falsch ist: sie zeigten, dass es Gegenbeispiele geben muss Pintz zeigte 1987, dass es ein Gegenbeispiel x exp(3, geben muss Genaueres weiß man aber nicht!
6 Leitfaden Bielefeld WS 2006/ Die Eulersche φ-funktion Definition: φ(n = (Anzahl der Zahlen 1 m n mit (m, n = Es ist φ U = E Beweis: Sei F(d die Menge der natürlichen Zahlen a d mit (a, d = 1 Es ist also φ(d = F(d Ist m eine natürliche Zahl, so liefert die Multiplikation mit m eine injektive Abbildung F(d {1, 2,, md} und zwar erhält man genau die Zahlen b mit 1 b md und (b, md = m Fangen wir umgekehrt mit [1, n] = {1, 2,, n} an, und bezeichnen wir mit T(n die Menge der Teiler von n, so können wir die Abbildung f = (, n: [1, d] T(n betrachten sie ordnet jedem b mit 1 b n den größten gemeinsamen Teiler (b, n zu Für n = d 1 d 2 ist f 1 (d 1 = d 1 F(d 2 (dies ist die Menge der Zahlen 1 b n mit größtem gemeinsamen Teiler (b, n = d Folgerung: φ ist multiplikativ Denn φ = E µ, und E und µ sind multiplikativ 263 Es ist φ(p e = p e p e 1 für e 1 Beweis: Es gibt genau p e 1 Zahlen, die kleiner oder gleich p e sind, und die durch p teilbar sind Umformulierung: φ(p e = p e (1 1 p Demnach gilt φ(n = n ( 1 1 p p n
5. Zahlentheoretische Funktionen
5. Zahlentheoretische Funktionen 5.1. Definition. Unter einer zahlentheoretischen (oder arithmetischen Funktion versteht man eine Abbildung f : N 1 C. Die Funktion f : N 1 C heißt multiplikativ, wenn f(1
7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel
O. Forster: Einführung in ie Zahlentheorie 7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel 7.1. Definition. Unter einer arithmetischen Funktion versteht man eine Abbilung α : N 1 C. Die arithmetische
Kapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion)
Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 3 Multiplikative Funktionen Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) (a) Eine Funktion α : Z >0 C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch).
7-1 Elementare Zahlentheorie
7-1 Elementare Zahlentheorie 7 Die ganzen Gauß schen Zahlen Wir betrachten den Körper C der komplexen Zahlen Es ist C = R 2 mit komponentenweiser Addition und mit Multiplikation [a 1, a 2 ][b 1, b 2 ]
Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n
Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9
χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n).
September 007, Zahlentheorie 1 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole. b) Für a Z \ {0} definieren wir durch χ a (n) =
6-1 Elementare Zahlentheorie Zahlen, die sich als Summe zweier Quadrate schreiben lassen.
6-1 Elementare Zahlentheorie 6 Summen von Quadraten Wir interessieren uns hier für die Frage, ob sich eine Zahl n als Summe von sagen wir t Quadraten ganzer Zahlen schreiben lässt, oder auch, genauer,
3-1 Elementare Zahlentheorie
3-1 Elementare Zahlentheorie 3. Der Restklassenring Z/n und seine Einheitengruppe 3.0. Erinnerung: Teilen mit Rest, euklidscher Algorithmus, Bézoutsche Gleichung. Sei n eine feste natürliche Zahl. Sei
Halbgruppen, Gruppen, Ringe
Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die
3-1 Elementare Zahlentheorie
3-1 Elemetare Zahletheorie 3 Zahletheoretische Fuktioe Sei Φ die Mege der Abbilduge N C, derartige Abbilduge et ma zahletheoretische Fuktioe Zahletheoretische Fuktioe, a dee wir iteressiert sid: I() =
29 Lineare Algebra 2 (SS 2009) 4.9. Das charakteristische Polynom sei Produkt von linearen Polynomen.
9 Lineare Algebra (SS 009) 49 Das charakteristische Polynom sei Produkt von linearen Polynomen 49 Das charakteristische Polynom sei Potenz eines linearen Polynoms Wir betrachten nun eine Matrix A, sodass
5-1 Elementare Zahlentheorie
5-1 Elementare Zahlentheorie 5 Summen von Quadraten Wir interessieren uns hier für die Frage, ob sich eine (natürlich positive) Zahl n als Summe von sagen wir t Quadraten ganzer Zahlen schreiben lässt,
3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.
3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es
1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016
1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016 1. Sei n IN eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) 1+2+3+...+(n 1)+n = n(n+1), 2 (b) 1+4+9+...+(n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1), 6
4 Vollkommene Zahlen
Sei a > 0 4 Vollkommene Zahlen T (a) bezeichnet die Anzahl der positiven Teiler von a. S(a) bezeichnet die Summe der positiven Teiler von a. Es ist also T (1) = S(1) = 1. Jede Zahl a > 1 hat eine eindeutige
2 Arithmetische Funktionen
2 Arithmetische Funktionen 2.1 Einführung Erklärung: Eine zahlentheoretische Funktion ist eine Abbildung α : N C, also nichts anderes als eine Folge α n = αn komplexer Zahlen n N. Beispiel p n : n p n
Endliche Körper und Codierung SS Übungsblatt. 9. Bestimmen Sie alle primitiven Elemente (Erzeuger der multiplikativen Gruppe) von
Endliche Körper und Codierung SS 2007 1. Übungsblatt 1. Sei p eine Primzahl und 0 j p 1. Zeigen Sie, dass ( ) p 1 j ( 1) j (mod p). 2. Sei R ein kommutativer Ring der Charakteristik p > 0 (prim). Zeigen
3-9 Elementare Zahlentheorie
3-9 Elementare Zahlentheorie 332 Satz (Charakterisierung zyklischer Gruppen) Sei G eine Gruppe der Ordnung n Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (1) G ist zyklisch (2) Die Anzahl der Elemente der Ordnung
9 Lineare Algebra 2 (SS 2009)
9 Lineare Algebra 2 (SS 2009) Vorbemerkung: Das Einsetzen von quadratischen Matrizen in Polynome. Im folgenden sei R ein kommutativer Ring und R[T] der Polynomring mit Koeffizienten in R (dies ist wieder
Elementare Zahlentheorie
Euklid-1 Euklid sche Ringe (Das Rechnen in Z und in K[T]). Ist K ein Körper und f K[T] ein Polynom, so nennt man f normiert, falls f 0 gilt und der höchste Koeffizient von f gleich 1 ist. (Natürlich gilt:
Seminar zum Thema Kryptographie
Seminar zum Thema Kryptographie Michael Hampton 11. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Konventionen.................................. 3 1.2 Wiederholung.................................. 3
Thema: Die Einheitengruppe des Restklassenrings /n
RWTH Aachen Lehrstuhl D für Mathematik Betreuer: Prof. U. Schoenwaelder Hausaufsatz zur Vorlesung Algebra I im WS 99/00 Thema: Die Einheitengruppe des Restklassenrings /n Vorgelegt von Sascha Haarkötter
9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie
9. Primitivwurzeln 9.1. Satz. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung m und g G ein erzeugendes Element. Das Element a := g k, k Z, ist genau dann ein erzeugendes Element von G, wenn k zu m teilerfremd
PROSEMINAR LINEARE ALGEBRA
PROSEMINAR LINEARE ALGEBRA von Daniel Cagara Zunächst benötigen wir einige Elemente der Gruppentheorie. Definition 1. Eine Gruppe ist ein Tupel, bestehend aus einer nicht leeren Menge G und einer Verknüpfung,
Analytische Zahlentheorie
4. April 005. Übungsblatt Aufgabe (4 Punkte Sei k N. Beweisen Sie, dass f : N C mit f(n := n k streng multiplikativ ist. Sei τ die Funktion, die der natürlichen Zahl n die Anzahl der Teiler von n zuordnet
1 Halbgruppen. 1.1 Definitionen. Übersicht Ein Beispiel einer Halbgruppe
1 Halbgruppen Übersicht 11 Definitionen 5 12 Unterhalbgruppen 8 13 InvertierbareElemente 9 14 AllgemeinesAssoziativ-undKommutativgesetz 11 15 PotenzenundVielfache 11 16 Homomorphismen,Isomorphismen 12
1 Halbgruppen. 1.1 Definitionen. Übersicht Ein Beispiel einer Halbgruppe
1 Halbgruppen Übersicht 11 Definitionen 5 12 Unterhalbgruppen 8 13 InvertierbareElemente 9 14 AllgemeinesAssoziativ-undKommutativgesetz 11 15 PotenzenundVielfache 11 16 Homomorphismen,Isomorphismen 12
Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
Einführung in die Zahlentheorie. Prof. J. Sander Universität Hannover WS 2000/01 L A TEX 2ε-Umsetzung von Miriam Westerfrölke und Marco Pries
Einführung in die Zahlentheorie Prof. J. Sander Universität Hannover WS 2000/01 L A TEX 2ε-Umsetzung von Miriam Westerfrölke und Marco Pries INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 0 Grundlagen 2 1 Teilbarkeit
7 Der kleine Satz von Fermat
7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X +... + c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle
Kongruenz ist Äquivalenzrelation
Kongruenz ist Äquivalenzrelation Lemma Kongruenz ist Äquivalenzrelation Die Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation auf Z. D.h. für alle a, b, c Z gilt 1 Reflexivität: a a mod n 2 Symmetrie: a b
Lineare Algebra I, Musterlösung zu Blatt 9
Lineare Algebra I, Musterlösung zu Blatt 9 Wintersemester 2007/08 1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse. 8 1 3 1 a) A = 3 3 1 1 11
Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen 168/558 c Ernst W. Mayr
Bemerkung: Der folgende Abschnitt Boolesche Algebren ist (im WS 2010/11) nicht Teil des Prüfungsstoffs, soweit nicht Teile daraus in der Übung behandelt werden! Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen
Algebraische Strukturen. Idee. Gruppen, Ringe, Körper... (Teschl/Teschl Abschnitt 3.2, siehe auch Kap. 4)
Algebraische Strukturen Gruppen, Ringe, Körper... (Teschl/Teschl Abschnitt 3.2, siehe auch Kap. 4) Idee Formalisierung von Strukturen, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen
Kanonische Primfaktorzerlegung
Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n kann auf eindeutige Weise in der Form n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k geschrieben werden, wobei k N 0, α i N
Vorlesung Algebra I. Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 2. Gruppen Einleitung
Vorlesung Algebra I Christian Lehn Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 2. Gruppen 5 1.1. Vorkenntnisse Gruppen 1. Einleitung Definition. Es sei G eine Menge. Eine Verknüpfung auf G ist eine Abbildung :
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 10 Musterlösung Aufgabe 1 4
Algebra II, SS 2009 Montag $Id: endlich.tex,v /04/27 13:49:37 hk Exp $ GF(q) := {x A p x q = x}
$Id: endlich.tex,v 1.4 2009/04/27 13:49:37 hk Exp $ 3 Endliche Körper Wir waren gerade mit dem Beweis von Satz 1 beschäftigt, und hatten die Existenzteile des Satzes bereits eingesehen. Satz 3.1 (Klassifikation
1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen
1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen 23 1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen Im folgenden sei (G, +) stets eine endlich erzeugte kommutative Gruppe. G ist direkte Summe der Untergruppen H 1,...,H
Beweis des Satzes von Euler
(Z/nZ) hat '(n) Elemente g 1, g 2,...,g '(n). Nach Teil c) des Satzes aus Einheit 26 definiert x 7! ax eine Bijektion auf Z/nZ und daher auch auf (Z/nZ). Also gilt: Beweis des Satzes von Euler (Z/nZ) =
9. Polynom- und Potenzreihenringe
64 Andreas Gathmann 9. Polynom- und Potenzreihenringe Bevor wir mit der allgemeinen Untersuchung von Ringen fortfahren, wollen wir in diesem Kapitel kurz zwei sehr wichtige weitere Beispiele von Ringen
: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
Kanonische Primfaktorzerlegung
Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl Form kann auf eindeutige Weise in der geschrieben werden, wobei, für und Primzahlen sind. Dies ist die kanonische Primfaktorzerlegung von. Mathematik
Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n
Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Fachbereich Mathematik WS 2010/2011 Prof. Dr. Kollross 19. November 2010 Dr. Le Roux Dipl.-Math. Susanne Kürsten Aufgaben In diesem Tutrorium soll
Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2009 ***
Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2009 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen
Übungen zu Zahlentheorie, SS 2017
Übungen zu Zahlentheorie, SS 017 Christoph Baxa 1) Finde alle positiven Teiler von a) 1799 b) 997. ) Zeige (a b) (a n b n ) für alle a, b Z und alle n N. 3) Zeige: Wenn m n dann (a m b m ) (a n b n ) (mit
Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe
2. Kongruenzen und Restklassenringe Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität:
In diesem Kapitel bestimmen wir die multiplikative Struktur der Einheitengruppe (Z/Z) von Z/Z für eine beliebige positive Zahl Z >0.
Kapitel 5: Die Einheitengruppe von Z/Z und Primitivwurzeln modulo In diesem Kapitel bestimmen wir die multiplikative Struktur der Einheitengruppe (Z/Z) von Z/Z für eine beliebige positive Zahl Z >0. 16
1 Der Ring der ganzen Zahlen
1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich
für alle a, b, x, y R.
Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes
Vorlesung 7. Tilman Bauer. 25. September 2007
Vorlesung 7 Universität Münster 25. September 2007 El. In Vorlesung 4 haben wir Modulo-Arithmetik behandelt. Definition Sei n N 1. Auf Z ist eine Äquivalenzrelation Kongruenz modulo n definiert durch x
El. Zahlentheorie I: Der kleine Satz von Fermat
Vorlesung 7 Universität Münster 25. September 2007 El. In Vorlesung 4 haben wir Modulo-Arithmetik behandelt. Definition Sei n N 1. Auf Z ist eine Äquivalenzrelation Kongruenz modulo n definiert durch x
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen
Algebraische Zahlentheorie. Teil II. Die Diskriminante.
II-1 Algebraische Zahlentheorie Teil II Die Diskriminante Sei K ein Zahlkörper vom Grad n (also [K : Q] = n) Es gibt genau n Körper- Homomorphismen σ i : K C (siehe Merkzettel Separabilität) Stellen wir
Der kleine Satz von Fermat
Der kleine Satz von Fermat Luisa-Marie Hartmann 5. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Hauptteil 4 2.1 Prime Restklassengruppen............................ 4 2.2 Ordnung von Gruppenelementen........................
Algebraische Strukturen
Algebraische Strukturen Eine kommutative Gruppe (G, ) ist eine Menge G, auf der eine Verknüpfung (ein zweistelliger Operator) deniert ist (d. h. zu a, b G ist a b G deniert), welche bestimmten Regeln genügt
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 4. Die Restklassenringe Z/(n)
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2008 Zahlentheorie Vorlesung 4 Die Restklassenringe Z/(n) Satz 4.1. (Einheiten modulo n) Genau dann ist a Z eine Einheit modulo n (d.h. a repräsentiert eine Einheit in
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analsis I HS 016 Prof Manfred Einsiedler Philipp Wirth Lösung 3 Diese Woche werden nur Lösungen zu den Aufgaben 4, 5 und 6 zur Verfügung gestellt 4 a Nach Folgerung (i aus den Axiomen
Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge
3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einführung und Definitionen Der Begriff der Restklasse stammt ursprünglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z = Z, +, ist ein kommutativer Ring). Definition 153 Sei
1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel
13. Der diskrete Logarithmus
13. Der diskrete Logarithmus 13.1. Definition. Sei p eine Primzahl. Wie wir in 9 bewiesen haben, ist die multiplikative Gruppe F p des Körpers F p = Z/p zyklisch. Sei g ein erzeugendes Element von F p
r(s + t) = rs + rt, (r + s)t = rt + st. (f + g)(m) := f(m) + g(m), (f g)(m) := f(m) g(m)
290 7.1 Ringe und Ideale Erinnern wir uns zunächst an die Definition von Ringen, es sind Mengen R mit zwei Verknüpfungen + und, so daß (R, +) eine abelsche Gruppe, (R, ) eine Halbgruppe ist, und die beiden
Zahlentheorie. Lisa Sauermann. März 2013
Zahlentheorie Lisa Sauermann März 2013 Hier sollen einige grundlegende Lösungsmethoden für Zahlentheorieaufgaben bei Olympiaden und anderen Wettbewerben vermittelt werden. Der Chinesische Restsatz Satz
ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe.
ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe. Das heißt, um den ggt von zwei 1000-Bit-Zahlen zu ermitteln,
n (als K 0 -Vektorraum) und insbesondere
Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 209 4.3 Endliche Körper. Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit endlichen Körpern. Zum einen kann hier die allgemeine Theorie (auch die der folgenden Abschnitte
5 Algebraische Strukturen
Wir möchten nun untersuchen, wie Elemente einer Menge untereinander interagieren können. Eine grundlegende Struktur der Interaktion spiegelt sich in einer sogenannten Gruppe wider. Gruppe := G, op, e,
Tutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Abschlussklausur am 16.02.2017 (Teil 2, Lösungen 15. Februar 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 15. Februar
Gruppen. Kapitel Operationen Definiton Gruppe, symmetrische Gruppen. Gruppen und Untergruppen, Lernziele 1. Erzeugendensysteme,
Kapitel 1 Gruppen 1.1 Operationen Lernziele 1. Gruppen und Untergruppen, Erzeugendensysteme, Operationen und Bahnen 1.1.1 Definiton Gruppe, symmetrische Gruppen Definition 1.1. Sei G eine nicht leere Menge
Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***
Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2010 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen
Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS Grundlegende Definitionen (Wiederholung)
Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS2017 Kapitel I. Gruppen 1 Grundlegende Definitionen (Wiederholung) 1.1 Definition. Eine Gruppe ist ein Paar
Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen
Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter WS 2009/10 Alles ist Zahl? Wenn in der modernen Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist, woher kommen dann die Zahlen? Sind Zahlen
Ganzzahlige Division mit Rest
Modulare Arithmetik Slide 1 Ganzzahlige Division mit Rest Für a,b Æ mit a b gibt es stets eine Zerlegung von a der Form a = q b+r mit 0 r b 1. Hierbei gilt q = a b (salopp formuliert: b passt q-mal in
Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie
FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie 09.04.2015 Name: Vorname:
2 Algebraische Grundstrukturen
30 2 Algebraische Grundstrukturen Definition. Eine Verknüpfung auf einer Menge G ist eine Abbildung : G G G (a, b) a b. Schreibweise. a b, a b, ab, a + b. Beispiele. (i) G = N : N N N (a, b) a + b. G =
Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen
Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung
C: Algebraische Strukturen
C: Algebraische Strukturen Algebra: Rechnen. Menge mit Verknüpfungen: (N 0, +), (R, +, ), (P(X),, ), (R n n, +, ) Informatik: Boolsche Algebren Relationenalgebra (Datenbanken) Computeralgebra 29 Gruppen
14 Kreisteilungskörper
14 Kreisteilungskörper Wir wenden unsere Ergebnisse auf einen Fall an, mit dem die Algebraische Zahlentheorie begann und der bis heute im Zentrum der Forschung steht. 14.1 Erweiterungen mit Einheitswurzeln
Lehrbuch der Algebra, Vieweg 2007
Lehrbuch der Algebra, Vieweg 2007 Korrekturen und Ergänzungen V 16 statt 1931 lies 1930 VI 25 statt vorenthalten lies vorbehalten 1 8 statt [We] lies [We 1 ] 2 3 statt nicht leere Menge lies Menge 9 9
Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie LÖSUNGSHINWEISE
FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. P. Ullrich/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie 06.04.2016 Name: Vorname:
Aufgaben zur Verbandstheorie
TU Bergakademie Freiberg WS 2005/06 Institut für Diskrete Mathematik & Algebra Prof. Dr. Udo Hebisch Aufgaben zur Verbandstheorie 1. Für ein beliebiges n IN sei X n die Menge aller Teiler von n. Definiert
Bemerkungen. Gilt m [l] n, so schreibt man auch m l mod n oder m = l mod n und spricht. m kongruent l modulo n.
![Bemerkungen. Gilt m [l] n, so schreibt man auch m l mod n oder m = l mod n und spricht. m kongruent l modulo n.](/thumbs/69/61067953.jpg "Bemerkungen. Gilt m [l] n, so schreibt man auch m l mod n oder m = l mod n und spricht. m kongruent l modulo n.")
3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einführung und Definitionen Der Begriff der Restklasse stammt ursprünglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z = Z, +, ist ein kommutativer Ring). Definition 153 Sei
Mathematisches Institut II Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg
1 Mathematisches Institut II 06.07.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 5: Elementare Zahlentheorie: Teilbarkeit Primfaktorzerlegung
Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014
Diskrete Strukturen WS 2013/2014 Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Thomas Vetterlein Institut für Wissensbasierte Mathematische Systeme Johannes-Kepler-Universität Linz 10.1 Die Modulo-n-Relation Definition
2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen
2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen Wie wir in Satz 2.6 gesehen haben, kann man die Gleichung a + x = b in Z jetzt immer lösen, allerdings die Gleichung a x = b im allgemeinen immer noch nicht. Wir
4. Übung zur Linearen Algebra I -
4. Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. WS 2009-10. Aufgabe 13 Auf dem Cartesischen Produkt Z Z werden 2 Verknüpfungen, definiert durch: Man zeige: (a
Kapitel III Ringe und Körper
Kapitel III Ringe und Körper 1. Definitionen und Beispiele Definition 117 Eine Algebra A = S,,, 0, 1 mit zwei zweistelligen Operatoren und heißt ein Ring, falls R1. S,, 0 eine abelsche Gruppe mit neutralem
Körper- und Galoistheorie
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 10 Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers Wir wollen zeigen, dass die Einheitengruppe Z/(p), p Primzahl, zyklisch
Wir betrachten jetzt algebraische Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen Definition (Ring) Ist R eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen
70 2.5 Ringe und Körper Wir betrachten jetzt algebraische Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen. 2.5.1 Definition (Ring) Ist R eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen +: R R R und : R R R, dann heißt
Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie
FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie 11.04.2013 LÖSUNG Name:
Polynome und endliche Körper
Universität Koblenz-Landau Polynome und endliche Körper Ausarbeitung zum Proseminar Modul 4c Kryptographie im Fachbereich 3 Regula Krapf Arbeitsgruppe: Prof. Dr. Peter Ullrich Universität Koblenz-Landau
1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2018
1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2018 1. Sei n IN eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) 1+2+3+...+(n 1)+n = n(n+1), 2 (b) 1+4+9+...+(n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1), 6
Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie
FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie 11.02.2015 Name: Vorname:
Einleitung. Wir schauen uns einige Probleme an, die wir im Laufe der Vorlesung genauer untersuchen werden.
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2018) 1 Einleitung Wir schauen uns einige Probleme an, die wir im Laufe der Vorlesung genauer untersuchen werden. (1) Zahlbereiche Unsere Zahlentheorie spielt sich im Bereich
KAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER
RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG MATHEMATISCHES INSTITUT SEMINAR: QUADRATISCHE FORMEN ÜBER DEN RATIONALEN ZAHLEN SOMMERSEMESTER 2007 DOZENT: PROF. DR. KAY WINGBERG ASSISTENT: JOHANNES BARTELS KAPITEL
Übungen zu Zahlentheorie, SS 2008
Übungen zu Zahlentheorie, SS 2008 Christoph Baxa 1) Finde alle positiven Teiler von a) 1799 b) 997. 2) Zeige (a b) (a n b n )für alle a, b Z und alle n N. 3) Zeige: Wenn m n dann (a m b m ) (a n b n )
Diskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Gruppen)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Gruppen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
Wir lernen nun einen ganz wichtigen Ring kennen, den Polynomring: γ i = α j β k.
2.4 Polynomringe Wir lernen nun einen ganz wichtigen Ring kennen, den Polynomring: Definition 2.56. Sei R ein kommutativer Ring mit 1 (in den meisten Fällen wird R ein Körper sein). Wir betrachten die
3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen
Inhaltsverzeichnis Teil II: Gruppen 2 3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen.................. 2 3.1.1 Gruppen.......................................... 2 3.1.2 Untergruppen.......................................
2-1 Elementare Zahlentheorie
-1 Elementare Zahlentheorie. Die Restklassenringe Z/n. Wir beschäftigen uns hier mit den Ringen Z/n = Z/nZ mit n N, und zwar einerseits mit der additiven Grue (Z/n, +), andererseits mit der multilikativen