3-1 Elementare Zahlentheorie

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1 3-1 Elemetare Zahletheorie 3 Zahletheoretische Fuktioe Sei Φ die Mege der Abbilduge N C, derartige Abbilduge et ma zahletheoretische Fuktioe Zahletheoretische Fuktioe, a dee wir iteressiert sid: I() = 0 für > 1 ud I(1) = 1 U() = 1 für 1 E() = für 1 τ() = (Azahl der Teiler vo ) σ() = (Summe der Teiler vo ) Gaz wichtig ist die Eulersche φ-fuktio, die i 23 eigeführt wurde, aber auch die Möbius-Fuktio µ, siehe Die Faltug Wir defiiere auf Φ ei Produkt (Dirichlet-Produkt, Faltug) auf folgede Weise: Seie f, g Φ Setze (f g)() = d f(d)g( d ) = d 1 d 2 = f(d 1 )g(d 2 ) (dabei bedeutet die letzte Summebildug, dass über alle Paare (d 1, d 2 ) N 2 summiert werde soll, für die d 1 d 2 = gilt) Beispielsweise gilt: τ = U U, σ = E U 311 Die Mege Φ ist bezüglich eie kommutative Halbgruppe mit eutralem Elemet I Beweis: Übugsaufgabe! Zum Assoziativgesetz sollte ma amerke: Seie f, g, h zahletheoretische Fuktioe Da ist (f g h)() = d 1,d 2,d 3 f(d 1 )g(d 2 )h(d 3 ), wobei ma über alle Tripel (d 1, d 2, d 3 ) mit d 1 d 2 d 3 = summiert Zusatz (Übugsaufgabe): Nehme wir zusätzlich och auf Φ die puktweise Additio als Additio, so erhalte wir eie kommutative Rig gilt 312 Eie Fuktio f Φ ist geau da bezüglich ivertierbar, we f(1) 0 Beweis: Sei f g = I Da ist 1 = I(1) = f(1)g(1), da = 1 ur de eizige Teiler d = 1 hat Aus f(1)g(1) = 1 folgt, dass f(1) icht Null sei ka Umgekehrt

2 Leitfade Bielefeld WS 2009/ sei u f eie zahletheoretische Fuktio mit f(1) 0 Wir defiiere eie zahletheoretische Fuktio g iduktiv wie folgt: sei g(1) = f(1) 1 Sei u 2 ud seie scho die Werte g(1),, g( 1) defiiert Wir setze g() = f(1) 1 d,d< g(d)f( d ) (die Summierug erfolgt also über alle Teiler d vo mit d < ; für derartige Zahle d ist ja g(d) scho defiiert) Auf diese Weise erhalte wir eie Fuktio g mit g(1)f(1) = 1 = I(1) ud für 2 Es ist also g = f 1 I() = 0 = g()f(1) + d,d< g(d)f( d ) = (g f)() Folgerug Die zahletheoretische Fuktioe f mit f(1) 0 bilde bezüglich der Faltug eie abelsche Gruppe 32 Multiplikative Fuktioe Wir iteressiere us vor allem für multiplikative Fuktioe: Wie scho im Abschitt 29 otiert, heißt eie Fuktio f Φ multiplikativ, falls f icht die Nullfuktio ist ud falls gilt: Sid, teilerfremd, so ist f( ) = f()f( ) Gilt f( ) = f()f( ) für alle Paare, atürlicher Zahle, so heißt f stark multiplikativ (oder auch vollstädig multiplikativ ) Noch eimal die Warug: I der Algebra würde ma eie Fuktio ur da multiplikativ ee, we die Regel f( ) = f()f( ) für alle, gilt, icht ur für teilerfremde Paare, we sie also stark multiplikativ ist Offesichtlich gilt für f multiplikativ: Ket ma die Werte f(p e ), für alle Primzahle p ud alle atürliche Zahle e, so ket ma f, de für = p e 1 1 pe t t mit paarweise verschiedee Primzahle p 1,, p t gilt f(p e 1 1 pe t t ) = f(pe 1 1 ) f(pe t t ) Umgekehrt ka ma eie multiplikative Fuktio g dadurch defiiere, dass ma beliebige Werte g(p e ) (für p Primzahl, e N) wählt, ud diese Abbildug multiplikativ fortsetzt: g(p e 1 1 pe t t ) = g(p e 1 1 ) g(pe t t ) (für paarweise verschiedee Primzahle p 1,, p t ud alle e i N) Ist f multiplikativ, so ist f(1) = 1 Beweis: Wäre f(1) = 0, so wäre f wege f(1 ) = f(1)f() die Nullfuktio, dies ist ausgeschlosse; aus f(1) = f(1 1) = f(1)f(1) ud f(1) 0 folgt aber f(1) = 1

3 3-3 Elemetare Zahletheorie Ist f multiplikativ, so gilt f(m)f() = f((m, ))f(m/(m, )), dabei bezeichet (m, ) wieder de größte gemeisame Teiler vo m ud, ud m/(m, ) ist das kleiste gemeisame Vielfache vo m ud Beweis: Sid e, e reelle Zahle, so gilt {e, e } = {mi(e, e ), max(e, e )} Schreibe wir m, i der Form m = p e 1 1 pe t t, = p e 1 1 pe t t mit paarweise verschiedee Primzahle p 1,, p t ud icht-egative gaze Zahle e i, e i, so ist (m, ) = p mi(e 1,e 1 ) 1 p mi(e t,e t ) t ud m/(m, ) = p max(e 1,e 1 ) 1 p max(e t,e t ) t Es ist also f(m)f() = i p e i+e i i = i p mi{e i,e i }+max{e i,e i } i = f((m, ))f((m/(m, )) 321 Satz Sid f, g muliplikativ, ist ist auch f g multiplikativ Beweis: Seie 1, 2 teilerfremde atürliche Zahle Ist d ei Teiler vo 1 2, so lässt sich d eideutig i der Form d = d 1 d 2 mit d 1 1 ud d 2 2 schreibe (es ist d 1 = (d, 1 ) ud d 2 = (d, 2 )) Da 1, 2 teilerfremde Zahle sid, sid auch die Zahle d 1, d 2 teilerfremd Etspreched sid auch die Zahle 1 /d 1 ud 2 /d 2 teilerfremd (f g)( 1 2 ) = d 1 2 f(d)g ( 1 2 ) d = d 1,d 2 f(d 1 d 2 )g ( 1 d 1 2 d 2 ) = ( ) f(d 1 )f(d 2 )g d 1,d 2 ( = f(d 1 )g d 1 ( 1 d 1 ) g ( 2 d 2 ) ( 1 d 1 ) )( = (f g)( 1 ) (f g)( 2 ), ( 2 f(d 2 )g d 2 d 2 ) ) dabei gilt das Gleichheitszeiche mit ( ), weil f ud g multiplikativ sid Beachte: Sid die Fuktioe f, g vollstädig multiplikativ, so ist f g multiplikativ, meist aber icht vollstädig multiplikativ Beispiel: die Fuktio U ist vollstädig multiplikativ Aber τ := U U ist icht vollstädig multiplikativ (τ() ist die Azahl der Teiler vo, ud es ist τ(2) = 2, ud τ(4) = = τ(2) 2 ) 322 Satz Ist f multiplikativ, so ist auch f 1 multiplikativ

4 Leitfade Bielefeld WS 2009/ Beweis Defiiere g wie folgt: Es sei g(p j ) = f 1 (p j ) für jede Primzahl p ud j N (ach Voraussetzug ist f ivertierbar), ud wir setze diese Abbildug multiplikativ fort Auf diese Weise erhalte wir eie multiplikative Fuktio g Da f, g multiplikativ sid, ist ach 321 auch f g multiplikativ Wir zeige: f g = I Da die beide Fuktioe f g ud I multiplikativ sid, brauche wir ur (f g)(p e ) = I(p e ) für Primzahlpoteze p e zu zeige Es ist (f g)(p e ) = )g(p 0 e e f(pe e e ) )f 1 (p 0 e e f(pe e e ) = ( ) = (f f 1 )(p e ) = I(p e ), dabei gilt ( ), da p e e eie p-potez ist, ud die Abbilduge g ud f 1 ach der Defiitio vo g auf p-poteze übereistimme Folgerug Die multiplikative zahletheoretische Fuktioe bilde bezüglich der Faltug eie Gruppe Die Fuktioe I, U, E sid offesichtlich multiplikativ, also sid auch τ ud σ multiplikativ 323 Stark multiplikative Fuktioe Es sei dara eriert, dass ma eie zahletheoretische Fuktio f stark multiplikativ et, we f icht die Nullfuktio ist ud f( 1 2 ) = f( 1 )f( 2 ) für alle atürliche Zahle 1, 2 gilt Natürlich gilt: Stark multiplikative Fuktioe sid eideutig bestimmt durch die Werte f(p) mit p Primzahl Warug: Sid f, g stark multiplikativ, so braucht weder f g och f 1 stark multiplikativ zu sei Beispiele: U ist stark multiplikativ, aber τ = U U ist icht stark multiplikativ (de τ(2) = 2, τ(4) = 3) I 35 bereche wir µ = U 1 ud werde sehe, dass auch µ icht multiplikativ ist (µ(2) = 1, µ(4) = 0) 33 Die Fuktio τ Es ist τ(p e ) = e + 1, also gilt t τ(p e 1 1 pe t t ) = (e i + 1) i=1 (falls p 1,, p t paarweise verschiedee Primzahle sid)

5 3-5 Elemetare Zahletheorie Beispiel 1 τ(200) = τ( ) = 4 3 = 12 Zugehöriges Schokolade-Bild: Die Teiler bilde ei Rechtecksraster, beschriftet wurde ur die beide utere Kate (hier fidet ma alle Primpotezteiler) die weitere Beschriftug erhält ma durch die jeweilige Produkt-Bilduge Gaz allgemei gilt: Ist = p e 1 1 pe 2 2 mit Primzahle p 1 p 2, so bilde die Teiler ei derartiges Rechteck Beispiel 2 τ(2 3 5) = = 8 Zugehöriges Würfelbild: Die Fuktio σ Es ist 1 σ(p e ) = pe+1 1 p 1, Beweis: Die Zahl p e hat die Teiler p e mit 0 e e ud dere Summe ist 0 e e pe = 1 + p + + p e = pe+1 1 p 1 Isbesodere ist σ(2 e ) = 2 e+1 1, ud atürlich ist σ(p) = p + 1 Also gilt: σ() = p e+1 1 p e p 1, dabei schreibt ma pe falls p e aber icht p e+1 ei Teiler vo ist, falls also p e die höchste p-potez ist, die teilt 35 Die Möbius-Trasformierte f U vo f Ist f eie beliebige zahletheoretische Fuktio, so betrachtet ma oft f U ud et dies die Möbius-Trasformierte zu f (oder auch die summatorische Fuktio zu f); es ist

6 Leitfade Bielefeld WS 2009/ (f U)() = d f(d), es wird hier also die Summe der Werte f(d) für alle Teiler d vo gebildet Beispiele: (1) U U = τ, (2) E U = σ, (3) φ U = E (siehe 232) Ist f multiplikativ, ud sid p 1 < p 2 < < p t Primzahle ud e 1,, e t atürliche Zahle, so gilt (f U)(p e 1 1 pe 1 1 ) = t i=1 ( f(1) + f(pi ) + f(p 2 i ) + + f(pe i i )) Die Fuktio U ist ach 312 ivertierbar Setze µ = U 1, ma et dies die Möbius sche Umkehrfuktio Die Fuktio µ wird vor allem wege der trivialerweise geltede Formel f = (f U) µ gebraucht diese Formel besagt: Ket ma die Möbius-Trasformierte f U vo f, so ka ma durch Faltug mit µ die Fuktio f zurück gewie Adere Formulierug: Ist F() = d f(d), so ist f() = d F(d)µ( d ) 351 Die Fuktio µ = U 1 ist multiplikativ (wege 322) 352 Wir bereche die Werte µ(p e ) Es ist µ(p) = 1 ud µ(p e ) = 0 für e > 1 Beweis: Es ist µ(1) = 1 Für e 1 gilt 0 = I(p e ) = (U µ)(p e ) = 0 i e µ(pi )

7 3-7 Elemetare Zahletheorie Für e = 1 liefert dies 0 = µ(1) + µ(p) = 1 + µ(p), also µ(p) = 1 Für e 2 sehe wir: 0 = 0 i e µ(pi ) ud auch 0 = 0 i<e µ(pi ), also ist µ(p e ) = 0 Also erhalte wir die Formel: µ() = { 0 falls icht quadratfrei, ( 1) t falls = p 1 p t mit paarweise verschiedee Primzahle p i dabei schließt die zweite Zeile auch de Fall = 1, also t = 0 ei: Es ist µ(1) = 1 36 Die Eulersche φ-fuktio Erierug: Die Eulersche φ-fuktio ist folgedermaße defiiert: φ() = (Azahl der Zahle 1 m mit (m, ) = 1) 361 Es ist φ U = E Dies habe wir i 232 gezeigt! 362 Folgerug: φ ist multiplikativ Beweis: Es gilt φ = E µ, ud E ud µ sid multiplikativ Wir habe die Multiplikativität der φ-fuktio scho im Teil 2 gezeigt Hier habe wir eie eue Beweis 37 Restklasse-Charaktere 371 Charaktere eier edliche abelsche Gruppe G Defiitio: Sei G eie (multiplikativ geschriebee) abelsche Gruppe der Ordug h Ei Charakter vo G ist ei Gruppe-Homomorphismus G C De Charakter χ 0 mit χ 0 (g) = 1 für alle g G et ma de triviale Charakter Ist χ ei Charakter mit χ(g) R, für alle g G, so et ma χ eie reelle Charakter Beachte: Für jede Charakter χ ud g G gilt: χ(g) ist eie h-te Eiheitswurzel Isbesodere gilt: Geau da ist χ reell, we χ ur die Werte 1 ud 1 aimmt

8 Leitfade Bielefeld WS 2009/ Satz (Orthogoalitätsrelatio I) Sei G eie Gruppe der Ordug h Da gilt für jede Charakter χ { h falls χ = χ0 χ(g) = 0 χ χ 0 g G Beweis: Es ist χ 0 (g) = 1 für alle g G, ud demach χ χ 0(g) = h Sei u χ χ 0 Da gibt es g G mit χ(g) 1 Es ist (χ(g ) 1) g χ(g) = g χ(g )χ(g) g χ(g) = 0 Eierseits ist ämlich χ(g )χ(g) = χ(g g), adererseits gilt: Durchläuft g alle Elemete der Gruppe G, so auch g g, also ist die Summe g χ(g )χ(g) = g χ(g g) ur eie Umordug der Summe g χ(g) 372 Die Charaktergruppe Ĝ eier edliche abelsche Gruppe G Satz Sei G eie abelsche Gruppe der Ordug h Die Mege der Charaktere vo G bildet bezüglich puktweiser Multiplikatio eie abelsche Gruppe Ĝ der Ordug h Zu jedem 1 x G gibt es eie Charakter χ mit χ(x) 1 Beweis: Dass Ĝ bezüglich der puktweise Multiplikatio eie abelsche Gruppe ist, ist leicht zu sehe Für die weitere Behauptuge brauche wir folgedes Lemma: Fortsetzugslemma Sei G edliche abelsche Gruppe, sei U eie Utergruppe ud g G sodass sich jedes Elemet aus G i der Form ug t mit t N schreibe lässt Sei r miimal mit g r U Da ist G = U r Ist χ: U C ei Charakter vo U, ud z eie r-te Wurzel vo χ(g r ), so erhalte wir durch χ (ug s ) = χ(u)z s eie Fortsetzug vo χ auf G, ud jede Fortsetzug erhält ma auf diese Weise Beachte: (a) Da g edliche Ordug hat, gibt es t N mit g t = 1, also gibt es r (b) Da χ(g r ) eie vo Null verschiedee komplexe Zahl ist, ud jede vo Null verschiedee komplexe Zahl geau r r-te Wurzel besitzt, sieht ma, dass χ geau r Fortsetzuge besitzt Beweis des Lemmas Wir zeige als erstes: Jedes Elemet h G lässt sich eideutig i der Form ug s mit u U ud 0 s < r schreibe Nach Voraussetzug sid die Elemete vo G vo der Form ug t mit u U ud t N Schreibe t = ar + s mit a N 0 ud 0 s < r Da ist ug t = ug ar+s = u(g r ) a g s = u g s mit u = u(g r ) a U Eideutigkeit: Sei h G auf zwei Weise geschriebe: h = u 1 g s 1 = u 2 g s 2 mit u 1, u 2 U ud 0 s 1 < r, 0 s 2 < r Wir köe aehme s 1 s 2 Aus u 1 g s 1 = u 2 g s 2 folgt (u 2 ) 1 u 1 = g s 2 s 1 ud es ist 0 s 2 s 1 < r Wir sehe also, dass g s 2 s 1 zu U gehört Die Miimalität vo r liefert s 2 s 1 = 0, also s 2 = s 1 ud demach auch u 1 = u 2

9 3-9 Elemetare Zahletheorie Wir sehe isbesodere, dass G die disjukte Vereiigug r 1 s=0 Ugs ist, ud atürlich habe die Teilmege Ug s vo G alle die Kardialität U, daher folgt G = U r (wir erhalte hier also eie Partitio vo G wie im Beweis des Satzes vo Lagrage) Sei u χ Ĝ eie Fortsetzug vo χ (also χ U = χ) Es ist (χ (g)) r = χ (g r ) = χ(g r ), also ist z = χ (g) eie r-te Wurzel vo χ(g r ) Für ei Elemet ug t mit u U ud g N gilt χ (ug t ) = χ (u)(χ (g)) t = χ(u)z t, also hat χ die geate Form Umgekehrt gilt aber auch: Ist z eie r-te Wurzel vo χ(g r ), so defiiere χ durch χ (ug s ) = χ(u)z s für u U ud 0 s < r Da alle Elemete vo G eideutig i der Form ug s mit u U ud 0 s < r geschriebe werde köe, ist χ wohldefiiert Behauptug: dies ist ei Gruppe-Homomorphismus Zu zeige ist also χ (u 1 u 2 g s 1+s 2 ) = χ (u 1 g s 1 )χ (u 2 g s 2 ) Dies ist klar, we s 1 + s 2 < r gilt Ist s 1 + s 2 = r + s mit 0 s, so ist s < r, also gilt χ (u 1 u 2 g s 1+s 2 ) = χ (u 1 u 2 g r+s ) = χ (u 1 u 2 g r g s ) = χ(u 1 )χ(u 2 )χ(g r )z s = χ(u 1 )χ(u 2 )z r z s = χ(u 1 )χ(u 2 )z s 1+s 2 = χ (u 1 g s 1 )χ (u 2 g s 2 ) Nu der Beweis des Satzes, mit Iduktio: Ist G = 1 ist ichts zu zeige Ist G 1, so gibt es eie echte Utergruppe U ud g G, sodass sich jedes Elemet aus G i der Form ug t mit t N schreibe lässt Sei r miimal mit g r U Nach Iduktiosvoraussetzug besitzt U geau U Charaktere Jeder dieser Charaktere besitzt geau r Fortsetzuge Also hat G geau U r = G Charaktere Sei x 1 i G Ist x U, so gibt es eie Charakter χ vo U mit χ(x) 1 Ist χ eie beliebige Fortsetzug auf G, so ist χ (x) = χ(x) 0 Ist x / U, etwa x = ug s mit 1 s < r, so betrachte de triviale Charakter χ 0 vo U Es ist χ(g r ) = 1; die Fortsetzuge vo χ 0 auf G werde durch r-te Eiheitswurzel gegebe Sei z eie primitive r-te Eiheitswurzel ud χ die zugehörige Fortsetzug Da ist χ (ug s ) = χ(u)z s = 1 z s = z s 1 Zusatz: Ist χ ei Charakter, so ist χ 1 (g) = χ(g) 1 = χ(g), de χ(g) = 1 ud für komplexe Zahle c mit c = 1 gilt c 1 = c Zusatz: Ist G zyklisch, so ist auch Ĝ zyklisch Sei ämlich G = ud g G ei Elemet der Ordug Wir kostruiere eie Charakter der Ordug wie folgt: Sei z eie primitive -te Eiheitswurzel Da gibt es, wie wir gesehe habe eie Charakter χ mit χ(g) = z Dieser Charakter hat aber offesichtlich die Ordug Da Ĝ =, folgt Ĝ = G Beachte: Ist G zyklisch mit gerader Ordug, so gibt es geau eie Charakter der Ordug 2, de eie zyklische Gruppe gerader Ordug hat geau ei Elemet der Ordug 2

10 Leitfade Bielefeld WS 2009/ Die Gruppe Ĝ Sei G eie abelsche Gruppe Da ist auch G = Ĝ eie abelsche Gruppe ud wir köe Ĝ bilde, statt Ĝ schreibt ma Ĝ Offesichtlich gibt es eie kaoische Abbildug G Ĝ, ämlich die Auswertugsabbildug g (χ χ(g)) für g G ud χ Ĝ, ud diese kaoische Abbildug G Ĝ ist ei Gruppe-Homomorphismus All dies ist gaz aalog zur Bildug des Dualraums V eies Vektorraums V, dabei ist die Auswertugsabbildug V V ei ijektiver Vektorraum-Homomorphismus Etspreched ist auch die Auswertugsabbildug G Ĝ ijektiv Korollar Ist G eie edliche abelsche Gruppe, so ist die kaoische Abbildug G Ĝ ei Gruppe-Isomorphismus Wir habe scho otiert, dass die Auswertugsabbildug G Ĝ ei ijektiver Gruppe-Homomorphismus ist Da G ud Ĝ die gleiche Ordug habe, ist die Auswertugsabbildug auch surjektiv Zusatz Struktursatz für edliche abelsche Gruppe: Jede edliche abelsche Gruppe ist ei Produkt zyklischer Gruppe Beweis: Sei G edliche abelsche Gruppe, sei g G ei Elemet mit maximaler Ordug, etwa mit Ordug r Zur zyklische Utergruppe G = g gibt es eie Charakter χ, der Ĝ erzeugt Setze wir χ auf G fort, so erhalte wir eie Charakter χ vo G, desse Ordug größer oder gleich r ist Wäre die Ordug vo χ echt größer als r, so erhielte wir mit dem gleiche Argumet ei Elemet i Ĝ mit Ordug echt größer als r, aber Ĝ ist isomorph zu G Wir sehe also: Die Ordug vo χ ist gleich r Das Bild vo G uter χ ist eie Utergruppe vo C, also zyklisch, ud demach die zyklische Utergruppe vo C der Ordug r Der Ker H vo χ hat die Ordug 1 G ud atürlich ist r g H = {1} Es folgt: G ist isomorph zu g H (Die Abbildug η: g H G, mit η(g t, h) = g t h ist ei Gruppe-Homomorphismus, der wege g H = {1} ijektiv ist Da die Gruppe g H ud G die gleiche Ordug habe, ist η auch surjektiv, also ei Isomorphismus) Ket ma diese Struktursatz, so ka ma sich sehr viel besser die Struktur vo Ĝ vorstelle: Wir schreibe G = G 1 G s als Produkt zyklischer Gruppe G i ud sehe Ĝ = Ĝ1 Ĝs Für jede dieser zyklische Gruppe G i wisse wir, dass Ĝi wieder zyklisch, also zu G i isomorph ist Es folgt: Ĝ ist zu G isomorph Aber es muss betot werde, dass es keie kaoische Isomorphismus zwische G ud Ĝ gibt, de scho für eie zyklische Gruppe G der Ordug r hägt die Agabe eies Isomorphismus G Ĝ vo der Auswahl eies erzeugede Elemets vo g ud der Auswahl eier primitive r-te Eiheitswurzel i C ab

11 3-11 Elemetare Zahletheorie 374 Orthogoalitätsrelatio II Es gilt für jedes g G χ(g) = χ Ĝ { h falls g = 1 0 g 1 Beweis: Ist g = 1, so ist χ(g) = 1 für alle χ, ud demach χ χ(1) = h Sei u g 1 Zu g gibt es eie Charakter ψ mit ψ(g) 1 Es ist (ψ(g) 1) χ χ(g) = χ ψ(g)χ(g) χ χ(g) = 0 Eierseits ist ämlich ψ(g)χ(g) = (ψχ)(g), adererseits gilt: Durchläuft χ alle Elemete der Gruppe Ĝ, so auch ψχ, also ist die Summe χ ψ(g)χ(g) ur eie Umordug der Summe χ χ(g) Folgerug Es gilt für g, g G χ Ĝ χ(g { ) h falls g = g χ(g) = 0 g g Beweis: χ(g ) χ(g) = χ(g g 1 ) 375 Restklasse-Charaktere Sei u G = U(Z/k, ) Ist χ ei Charakter vo G, so erhalte wir eie zahletheoretische Fuktio, die ebefalls mit χ bezeichet wird, auf folgede Weise: { χ() falls (, k) = 1 χ() = 0 sost Ma et diese Abbildug χ: N C eie Restklasse-Charakter modulo k Lemma Alle Restklasse-Charaktere sid stark multiplikativ Beweis: Sei χ ei Restklasse-Charakter modulo k ud 1, 2 N Ist (k, 1 2 ) > 1, so gilt auch (k, i ) > 1 für midestes ei i, also gilt χ( 1 2 ) = 0 ud auch χ( 1 )χ( 2 ) = 0 Ist dagege (k, 1 ) = 1 ud (k, 2 ) = 1, so verwedet ma, dass χ: U(Z/k, ) C ei Gruppe-Homomorphismus ist: χ( 1 2 ) = χ( 1 2 ) = χ( 1 2 ) = χ( 1 )χ( 2 ) = χ( 1 )χ( 2 )

12 Leitfade Bielefeld WS 2009/ Sei k N Eie zahletheoretische Fuktio f : N C ist geau da eie Restklasse-Charakter modulo k we die folgede drei Eigeschafte gelte: (i) Geau da ist f() = 0, we (, k) = 1 gilt (ii) Ist mod k, so ist f() = f( ) (iii) Die Fuktio f ist stark multiplikativ Beweis: Übugsaufgabe Es gibt geau φ(k) Restklasse-Charaktere modulo k Beweis: Sei G = U(Z/k, ) Wir wisse G = φ(k), also ist auch Ĝ = φ(k) Ist χ ei Restklasse-Charakter modulo k, so ist jeder vo Null verschiedee Wert χ() eie φ(k)-te Eiheitswurzel Beweis: Ist N mit (, k) = 1, so ist die Ordug vo U(Z/k, ) ei Teiler vo φ(k), also φ(k) = 1 Es folgt χ() φ(k) = χ( φ (k)) = χ(1) = 1 Für jedes k gibt es de Restklasse-Charakter χ (k) 0 mit χ (k) 0 () = { 1 falls (, k) = 1 0 sost ma et ih de Hauptcharakter, die übrige Restklasse-Charaktere ehme auch Werte ugleich Null ud Eis a Ei Restklasse-Charakter, der ur reelle Werte (also 0, 1, 1) aimmt, heißt reeller Charakter ( ) Ist p ugerade Primzahl, so liefert das Legedre-Symbol de eizige vom Hauptcharakter verschiedee ( ) reelle Restklasse-Charakter modulo p Beachte: I 2115 habe wir gesehe, dass eie Gruppe-Homomorphismus U(Z/p, ) ({1, 1}, ) C, also eie Charakter, liefert p Beispiele k = 1 Es ist φ(1) = 1, also gibt es geau eie Restklasse-Charakter χ modulo 1, ämlich die Fuktio χ (1) 0 mit χ (1) 0 () = 1 für alle, also χ(1) 0 = U χ χ (1) k = 2 Es ist φ(2) = 1, also gibt es geau eie Restklasse-Charakter χ modulo 2, de Hauptcharakter χ (2) 0 (mit χ (2) 0 (2 + 1) = 1 ud χ(2) 0 (2) = 0) χ χ (2) , p

13 3-13 Elemetare Zahletheorie k = 3 Nebe dem Hauptcharakter χ (3) 0 gibt es eie weitere Charakter χ (3) 1 mit Isgesamt hat ma: χ (3) 1 () = { 1 1 mod 3, 0 0 mod 3 χ χ (3) χ (3) k = 4 Es ist φ(4) = 2, also gibt es geau eie vom Hauptcharakter verschiedee Restklasse-Charakter χ (4) 1 modulo 4, ämlich χ (4) 1 () = 1 1 mod 4, 1 für 3 mod 4, 0 0 mod 2 χ χ (4) χ (4) Natürlich gilt χ (4) 0 = χ (2) 0 (die Hauptcharaktere für alle echte Zweierpoteze k stimme überei) k = 5 Es ist φ(5) = 4, also gibt es ebe dem Hauptcharakter geau drei weitere Restklasse-Charaktere χ (5) 1, χ(5) 2, χ(5) 3 modulo 5 Hier tauche zum erste Mal icht-reelle Zahle als Fuktioswerte auf, ämlich i ud i Beachte, dass 2 eie Primitivwurzel modulo 5 ist, daher köe wir Restklasse-Charaktere χ (5) t durch (2) = i t defiiere χ (5) t χ χ (5) χ (5) 1 1 i i i i 1 0 i χ (5) χ (5) 3 1 i i i i 1 0 i k = 6 Es ist φ(6) = 2, also gibt es ebe dem Hauptcharakter wieder ur eie weitere Restklasse-Charakter modulo 6

14 Leitfade Bielefeld WS 2009/ χ χ (6) χ (6) k = 7 Es ist φ(7) = 6 Sei ζ eie primitive 6-te Eiheitswurzel Beachte, dass 3 eie Primitivwurzel modulo 7 ist Es gibt die folgede sechs Restklasse-Charaktere χ (7) t modulo 7 (mit 0 t 5), die durch χ (7) t (3) = ζ t defiiert sid: χ χ (7) χ (7) 1 1 ζ 2 ζ ζ 4 ζ 5 ζ ζ 2 ζ ζ 4 χ (7) 2 1 ζ 4 ζ 2 ζ 2 ζ ζ 4 ζ 2 ζ 2 χ (7) ζ 3 1 ζ 3 ζ ζ 3 1 χ (7) 4 1 ζ 2 ζ 4 ζ 4 ζ ζ 2 ζ 4 ζ 4 χ (7) 5 1 ζ 4 ζ 5 ζ 2 ζ ζ ζ 4 ζ 5 ζ 2 Wege ζ 3 = 1 ist χ (7) 3 ei reeller Charakter k = 8 Es ist φ(8) = 4, also gibt es geau 4 Restklasse-Charaktere Dies ist der erste Fall, i dem G = U(Z/, ) icht zyklisch ist Alle icht-triviale Elemete i G habe Ordug 2, also habe auch die icht-triviale Elemete i Ĝ die Ordug 2 Es folgt, dass alle Restklasse-Charaktere reell sid Die Gruppe G wird vo de Restklasse 3 ud 5 erzeugt wird Wir erhalte alle Restklasse- Charaktere χ, idem wir χ(3) = ±1 ud χ(5) = ±1 setze χ χ (8) χ (8) χ (8) χ (8) k = 9 Es ist φ(9) = 6 Die Gruppe G = U(Z/9, ) ist wieder zyklisch, sie wird vo 2 erzeugt Sei ζ eie primitive 6-te Eiheitswurzel, so köe wir die 6 Restklasse- Charaktere durch χ (9) i (2) = ζ t defiiere Wir otiere hier ur die Werte vo χ (9) 1 χ χ (9) 1 1 ζ 0 ζ 2 ζ 5 0 ζ 4 ζ ζ

15 3-15 Elemetare Zahletheorie Orthogoalitätsrelatio I (Umformulierug für Restklasse-Charaktere modulo k) Sei χ ei Restklasse-Charakter modulo k Da gilt: k 1 χ(l) = l=1 { φ(k) falls χ = χ0 0 χ χ 0 Orthogoalitätsrelatio II (Umformulierug für Restklasse-Charaktere modulo k) Seie l, l N mit (k, l) = 1 Da gilt: χ(l) = χ { φ(k) falls l 1 mod k, 0 l 1 mod k, dabei wird über alle Restklasse-Charaktere modulo k summiert Natürlich gibt es auch die Versio, die statt eies Werts χ(l) de Quotiete χ(l ) χ(l) betrachtet: Seie l, l N mit (k, l) = 1 Da gilt: χ χ(l { ) φ(k) falls l χ(l) = l mod k, 0 l l mod k, dabei wird über alle Restklasse-Charaktere modulo k summiert Beweis: Ist auch (l, k) = 1, so sid die Restklasse vo l ud l beide i G = U(Z/k, ), ud wir wede die Orthogoalitätsrelatio a, aderfalls ist χ(l ) = 0 ach Defiitio Ausblick Warum sid wir a Restklasse-Charaktere iteressiert? Wie wir wisse, divergiert die Reihe 1 die wir us gere als (uedliches) Produkt der geometrische Reihe t 1 = 1 vorstelle würde Statt der Reihe p t 1 p 1 1 betrachtet ma für s > 1 die kovergete Reihe 1 ud erhält auf diese Weise die Fuktio s ζ(s) = 1 s Ist u k > 1 ud χ ei Restklasse-Charakter modulo k, der icht der Hauptcharakter ist, so werde wir sehe, dass die Reihe χ() immer kovergiert, auch hier köe wir de Expoete s eibaue ud die Fuktio L(s, χ) = χ() betrachte, ma et dies eie Dirichlet-Reihe Hervorzuhebe ist, dass die Dirichlet-Reihe s scho 1837 eigeführt wurde (ebe vo Dirichlet), die Arbeit vo Riema, ach der die Riema sche ζ-fuktio beat ist, wurde erst 1859 publiziert