Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!

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1 Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud A gehöre zur Potezmege. 2) Das Komplemet eier beliebige Mege B A bezüglich A ist wieder eie Teilmege vo A. Da die Potezmege sämtliche Teilmege vo A ethält, ist das Komplemet eier Mege B i der Potezmege ethalte. 3) Die Vereiigug eier beliebige Azahl vo Teilmege aus A ist wieder eie Teilmege vo A. Da die Potezmege sämtliche Teilmege vo A ethält, ist die Vereiigug eier beliebige Azahl vo Teilmege aus A i der Potezmege ethalte. 4) Da A edlich ist, ist auch die Potezmege vo A edlich. Damit ist das Axiom 4 für eie sigma-algebra trivialerweise erfüllt. Zu Aufgabe 2) Zeige Sie, dass alle offee, geschlossee ud halboffee reelle Itervalle der Form: (a,b), [a,b), (a,, [a,, (-,b), (-,, (a, ), [a, ), (-, ) mit a b Elemete der σ-algebra der Borelmege sid! (Hiweis: Zeige Sie, dass sich die betreffede Itervalle mit de Regel, die für die σ-algebra der Borelmege gelte (Satz i der Vorlesug), erzeuge lasse!) ) (-, ud (-, ) = R sid trivialerweise Borelmege (für alle b R). 2) Da mit A auch das Komplemet vo A eie Borelmege ist, ist auch (a, ) als Komplemet vo (-,a] eie Borelmege. 3) Beh: (a, ist Borelmege (für a < b). Bew: Sei A=(-,a] ud B=(-,. Beides sid Borelmege. (siehe.). Ebefalls ist B = ( b, ) eie Borelmege (wege 2.). Da die Vereiigug edlich vieler Borelmege wieder eie Borelmege ist, ist auch folglich auch ihr Komplemet: A B = ( a,. Qed. 4) Beh.: {a}=[a,a] ist Borlemege. Bew.: Zuächst zeigt ma leicht (z.b. idirekt) dass gilt: { a } = ( a, a] := [a,a]. (Itervallschachtelug). I = A B eie Borelmege ud Weiterhi ist (a-/,a] wege 3) eie Borelmege, folglich ist auch Ihr Komplemet eie Borelmege. Die Vereiigug abzählbar vieler Borelmege U = ( a, a] ist wieder eie Borelmege ud folglich auch ihr Komplemet:

2 Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: U = ( a, a] = I demorga = ( a, a] = { a} 5. [a, = ( a, [ a, a] ist als Vereiigug zweier Borelmege wieder eie Borelmege 6. [a, ) = (a, ) [a,a] ist als Vereiigug zweier Borelmege wieder eie Borelmege 7. (-,b) ist als Komplemet der Borelmege [b, ) (siehe 6.) wieder eie Borelmege. 8. Da [a,a] bzw. [b, eie Borelmege ist, ist auch Ihr Komplemet eie Borelmege. (a,b) = ( a, [ b, = ( a, { b} ist als Komplemet der Vereiigug zweier Borelmege wieder eie Borelmege. 9. [a,b)= (a,b) [a,a] ud (a, = (a,b) [b, ud [a, =(a,b) [a,a] [b, sid als Vereiigug edlich vieler Borelmege wieder Borlemege. Aufgabe3 Behauptug: Für jede σ-algebra I gilt: A I ud B I A B I. Beweis: A,B σ A lg ebra A, B σ A lg ebra A B σ A lgebra A B = A B σ A lgebra. q.e.d 2 Aufgabe 4 Zeige Sie, dass die Mege A B, A B, B\A, A\B, mit A M ud B M ei vollstädiges System vo Mege bzgl. der Obermege M bilde! Lösug: Es ist ( A B) (B\A) = B (ma zeigt leicht: x LS x RS) ud B (A\B) = (A B) ( ) ud B) ( A B) = (A (de Morga) Daraus folgt: ) ) ( A B) (B\A) (A\B) ( A B ) = (A B) ( A B = M Weiterhi zeigt ma leicht 2) Alle 4 Mege sid paarweise disjukt. (das ka ma idirekt beweise). Beispiel: Zu zeige: ( A B) (B\A) = Φ Ageomme x ( A B) (B\A) x ( A B) ud x (B\A). (x A x B) ud (x B x A). Das ist ei Wiederspruch. Demzufolge ist die Aahme: x ( A B) (B\A) falsch! ( A B) (B\A) = Φ.

3 Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: Bemerkug: Mit Hilfe der Ve-Diagramme ka ma sich leicht ) ud 2) veraschauliche! Aufgabe 5 Zwei Mege heiße gleichmächtig, we es eie bijektive Abbildug zwische ihe gibt. Zege Sie, dass die folgede Mege gleichmächtig sid Zu a ) die Mege N der atürliche Zahle ud die Mege der gerade gaze Zahle. Lösug: Eie mögliche bijektive Abbildug f: N gerade gaze Zahle (ohe 0) lautet: f() = + für für gerade ugerade (Bemerkug: Aalog ka ma eie bijektive Abbildug zwische N ud de gerade gaze Zahle iclusive 0 defiiere). Zu b) Beh.: Die Mege der reelle Zahle ud (0,) sid gleichmächtig. Lösug:. Die Abbildug y = ta(x), y R, x (-π/2, π/2) ist bijektiv, siehe Skizze. 2. x wird u durch x = πz-π/2, z (0,), bijektiv auf (0,) abgebildet. 3

4 Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: Wir erhalte durch die Verkettug vo bijektive Abbilduge mit y = ta(x(z)) wieder eie bijektive Abbildug y: z (0,) y = ta(x(z)) = ta(πz-π/2), die jeder Zahl z aus (0,) geau eie Zahl y aus R ud umgekehrt, jedem y aus R geau ei z aus (0,) zuordet. Damit ethält R geauso viele Elemete wie (0,). Aufgabe 6 Zeige Sie uter Verwedug eies geeigete Satzes der Vorlesug, dass für die Mege Q der ratioale Zahle gilt: Q = N Beweis: Es ist: m = U Q = m Z N A wobei = m A = m Z ist. Alle A ethalte geauso viele Zahle wie Z ud sid somit (wege Z = N (siehe Vorlesug)) abzählbar uedlich. Da die Vereiigug abzählbar uedlich vieler abzählbar uedlicher Mege wieder abzählbar uedlich ist (siehe Satz der Vorlesug), ist Q abzählbar uedlich. Qed. Zu Aufgabe 7 Zeige Sie : Für jede edliche Mege A gilt für die Azahl der Elemete der Potezmege P(A) vo A: P(A) =2 A (Hiweis: Vollstädige Iduktio über A ) Beweis:. Variate (Vollstädige Iduktio über A ) IA: A={a}, d.h., A =. Da ist (A)={{a},Φ} ud folglich ist P(A) =2 = 2 A IS: Vor.: Für A={a,...,a } ist P(A) =2 Beh.: Für A={a,...,a, a + } ist P(A) =2 + Bew.: (A) ethält zuächst eimal alle Teilmege vo {a,...,a }. 4

5 Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: Nach Voraussetzug sid das gerade 2 Stück. Sei B die Mege aller dieser Teilmege vo {a,...,a }. Nu erweiter wir jede der Mege aus B durch das Elemet a +. D.h., wir vereiige alle 2 Teilmege vo {a,...,a } mit {a + }. Diese Mege fasse wir zu eier Mege C zusamme. Offesichtlich gilt: (A) = B C mit B = C =2. Wege B C = Φ ist folglich: (A) = 2 2 =2 (+) Qed. Beweis: 2. Variate Zum Beweis verwede wir die folgede Aussage (siehe Blatt 5, Aufgabe b): Es gibt geau über k k-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege. Die Potezmege vo A ethält alle Teilmege vo A. Ageomme A =. Da ethält die Potezmege vo A : alle 0-elemetige Teilmege Azahl = = ud 0 alle -elemetige Teilmege Azahl = ud... alle k-elemetige Teilmege Azahl = ud k... alle -elemetige Teilmege Azahl =. D.h., es ist : (A) = k= 0 k Das ist aber ach Biomischem Lehrsatz : ud folglich erhalte wir die Behauptug: k k a b = (a + b) mit a=b= k= 0 k 5

6 Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: (A) = k= 0 k =(+) = 2. q.e.d Zu Aufgabe 8 Für die Mege B={a,b,...,z} vo Buchstabe bezeichet W= { bb2... b N, bi B} die Mege der (edliche) Wörter. a) Zeige Sie: W ist abzählbar uedlich. Beweis: Es ist: =U W = W wobei W = { b b b b B} 2... i ist. Da B eie edliche Mege ist, ist auch die Mege W aller Worte der Läge aus Buchstabe vo B edlich. Da die Vereiigug abzählbar uedlich vieler edlicher Mege wieder abzählbar uedlich ist (siehe Satz der Vorlesug), ist W abzählbar uedlich. Qed. b) Ist die Mege der mögliche Sätze (edliche ud abzählbar uedliche Folge vo Wörter aus W), die aus diese Wörter gebildet werde, edlich, abzählbar uedlich oder überabzählbar uedlich? (Begrüdug!) Lösug: Die Mege der mögliche Sätze lässt sich als Vereiigug abzählbar uedlich vieler abzählbar uedlicher Mege darstelle ud ist folglich (ach Satz i der Vorlesug) wieder abzählbar uedlich. 6

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