1.1. Aussagen, Beweise, vollständige Induktion 15

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1 Aussage, Beweise, vollstädige Iduktio 5 Ei kovexes Polyeder, bei dem sämtliche Seitefläche regelmässige -Ecke sid ud i jedem Eckpukt geau m Seitefläche zusammetreffe (für feste atürliche Zahle, m 3), wird als platoischer Körper bezeichet Mit der Eulerformel köe wir folgedes zeige: 7 Folgerug Es gibt ur 5 platoische Körper, ämlich Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder ud Ikosaeder Beweis Nehme wir a, P sei ei kovexes Polyeder mit e Eckpukte, k Kate ud f Seitefläche, ud sämtliche Seitefläche seie regelmässige -Ecke Ausserdem sollte i jedem Eckpukt geau m Seitefläche zusammetreffe Es gibt isgesamt e Eckpukte ud durch jede gehe ach Voraussetzug m Seitefläche Umgekehrt habe wir f Seitefläche mit je Eckpukte Also ist em = f Etspreched liefert doppeltes Abzähle der Paare vo Kate ud aliegede Seitefläche: 2k = f Setze wir u e = f m Daraus folgt: ud k = f 2 i die Eulerformel ei, erhalte wir: f m f 2 +f = 2 4m = (2 ( 2)m)f Das heisst isbesodere, weil m positiv ist, dass 2 > ( 2)m sei muss, ud daher Nu folgt: 3 m < 2 2 < 6 Es komme also für die Seitefläche ur Dreiecke, Quadrate oder Füfecke i Frage Nu ka ma die jeweilige Möglichkeite für m och durchprobiere ud stellt fest, dass ur die geate 5 Körper möglich sid (siehe Übugsaufgabe) qed

2 6 Kapitel Mathematisches Hadwerkszeug 2 Eigeschafte der reelle Zahle Alle Recheregel der Grudrechearte der reelle Zahle lasse sich auf eiige weige Rechegesetze zurückführe, die i der folgede Liste zusammegefasst sid Geauer gilt folgedes: 2 Satz Die Mege R der reelle Zahle zusamme mit Additio + ud Multiplikatio bildet eie Körper, das heisst es gelte jeweils für alle a,b,c R die folgede Rechegesetze: (A) (a+b)+c = a+(b+c) (Assoziativgesetz der Additio) (A2) a+b = b+a (Kommutativgesetz der Additio) (A3) a+0 = a (0 ist das eutrale Elemet der Additio) (A4) Zu a existiert geau ei x R mit a+x = 0 Für dies Elemet schreibt ma a Es ist das zu a iverse Elemet bezüglich der Additio (M) (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetz der Multiplikatio) (M2) a b = b a (Kommutativgesetz der Multiplikatio) (M3) a = a ( ist das eutrale Elemet der Multiplikatio) (M4) Zu a 0 existiert geau ei x R mit a x = Für dies iverse Elemet schreibt ma a oder (iverses Elemet der Multiplikatio) a (D) a (b+c) = a b+a c (Distributivgesetz) Die Axiome (A)-(A4) werde zu der Aussage zusammegefasst, dass R mit der Additio eie kommutative Gruppe bildet Ud die Axiome (M)-(M4) besage, dass R \ {0} mit der Multiplikatio ebefalls eie Gruppe ist Das Distributivgesetz schliesslich koppelt Additio ud Multiplikatio miteiader Die Operatioe Subtraktio ud Divisio sid über die Aussage (A4) ud (M4) miterfasst Das Subtrahiere vo a besteht dari, das additive Iverse vo a zu addiere, ud die Divisio durch a lässt sich auch als Multiplikatio mit dem multiplikative Iverse a vo a auffasse Die Körperaxiome gelte auch für die Mege der ratioale Zahle Die Mege Q bildet also ebefalls eie Körper Die Mege der gaze Zahle dagege ist kei Körper Für Z gelte zwar die Regel(A)-(A4),(M)-(M3) ud (D), aber die Regel (M4) ist icht erfüllt Nur die Zahle ± besitze multiplikative Iverse i Z, die übrige Iverse der Multiplikatio fehle Um sie zu erhalte, muss ma ma de Zahlebereich vo Z auf Q erweiter Zusätzlich zu de Grudrechearte verfügt R auch über die Relatioe < ud > Die bekate Prizipie, die für das Reche mit Ugleichuge gelte, lasse sich auf das folgede Axiom zurückführe:

3 2 Eigeschafte der reelle Zahle 7 Aordugsaxiom: Für jedes a R gilt geau eie der drei Möglichkeite a > 0, a = 0 oder a < 0, ud für alle a,b R gilt: a > 0 ud b > 0 a+b > 0 ud a b > 0 Sowohl die Körperaxiome als auch das Aordugsaxiom gelte auch für die Mege Q der ratioale Zahle Im folgede Axiom ist eie Eigeschaft der Mege der reelle Zahle festgehalte, die sie vo der Mege der ratioale Zahle uterscheidet Supremumsaxiom: Jede ichtleere, ach obe beschräkte Teilmege M R besitzt i R eie kleiste obere Schrake, das sogeate Supremum, otiert als supm Hierzu eiige Erläuteruge: Uter eier obere Schrake eier Mege M R versteht ma eie Zahl S R mit x S für alle x M Es ist also ei Wert, der vo keiem der Elemete aus M überschritte wird We es eie solche obere Schrake gibt, et ma M ach obe beschräkt Eie obere Schrake S ist die Kleistmögliche für M, we S S für alle obere Schrake vo M gilt Etspreched zu obere werde utere Schrake defiiert, ud eie grösste utere Schrake eier Mege M bezeichet ma als Ifimum ud schreibt dafür ifm Ist M ach ute beschräkt, so gilt offebar: ifm = sup( M) (Hier steht M für die Mege M = { x x M}) Daher folgt aus der Existez vo Suprema auch die Existez vo Ifima für ach ute beschräkte Mege 22 Beispiele () Ist A R eie edliche Teilmege, so ist das Supremum vo A gerade das grösste Elemet ud das Ifimum vo A das kleiste Elemet vo A (2) Sei M = [a,b] = {x R a x b} ei abgeschlossees Itervall (a b R festgewählt) Da ist ifm = a ud supm = b (3) Sei M =]a,b[= {x R a < x < b} ei offees Itervall (a < b R festgewählt) Wir verwede auch die Notatio ]a, b[= (a, b) Da gilt wie im vorige Beispiel ifm = a ud supm = b Weder das Ifimum och das Supremum gehöre i diesem Fall also zu der Mege M selbst dazu Zur Begrüdug: Nach Defiitio ist a eie utere Schrake vo M Nehme wir jetzt a, es gäbe eie och grössere utere Schrake, etwa S Da a+b M, 2 gilt a < S a+b < b Der Mittelwert c = a+s zwische a ud S liegt ebefalls 2 2 i M, aber c < S Also ka S doch keie utere Schrake für M sei Damit ist gezeigt a = if M Etsprechedes gilt für das Supremum qed Aus dem Supremumsaxiom ergebe sich auch wichtige Folgeruge für die atürliche Zahle Archimedische Eigeschaft: Zu jeder reelle Zahl R existiert eie atürliche Zahl, die och grösser ist als R

4 8 Kapitel Mathematisches Hadwerkszeug Beweis Wäre R eie obere Schrake für alle atürliche Zahle, da wäre N beschräkt ud hätte ei Supremum S i R Weil mit auch + eie atürliche Zahl ist, köte wir schliesse: + S für alle N Daraus würde folge S für alle N Die Zahl S wäre also ebefalls eie obere Schrake für N, im Widerspruch dazu, dass S bereits die kleiste obere Schrake sei sollte qed Für de Körper Q gibt es keie Etsprechug des Supremumsaxioms De zum Beispiel die Teilmege M = {q Q q 2 < 2} Q hat i Q keie kleiste obere Schrake Sie hat zwar i R ei Supremum, ämlich 2, aber diese Zahl ist, wie wir wisse, irratioal Die Körperaxiome, das Aordugsaxiom ud das Supremumsaxiom zusamme lege de Körper R eideutig fest Der Übergag vo Q zu R ist ei Prozess der Vervollstädigug des Zahlevorrats, ud zwar werde soviele Zahle hizugefügt, dass es damit möglich wird, alle Abstäde auf eier Gerade zu vermesse Allerdigs ist die Vorstellug irreführed, ma brauche ur eiige weige Lücke im Zahlestrahl zwische de ratioale Zahle zu fülle Tatsächlich gibt es ämlich wesetlich mehr irratioale Zahle als ratioale Zahle Diese Aussage soll u präzisiert werde Dazu brauche wir zuächst eie Begriff dafür, die Grösseordug uedlicher Mege miteiader vergleiche zu köe 23 Defiitio Zwei Mege A, B et ma gleichmächtig, we es eie Zuordug f:a B gibt, die jedem Elemet a A geau ei Elemet f(a) aus B zuordet, ud zwar so, dass es zu jedem Elemet b B geau ei Elemet a A gibt mit b = f(a) Die Zuordug f wird da als bijektive Abbildug oder als : -Zuordug vo A ach B bezeichet A a b B 24 Beispiele Eie Mege M ist geau da edlich, we es eie Zahl N ud eie bijektive Abbildug f:{,2,,} M gibt Da hat M atürlich offebar Elemete, ud die Abbildug besteht eigetlich dari, die Elemete vo M durchzuzähle 2 Zwei edliche Mege sid geau da gleichmächtig, we sie gleichviele Elemete ethalte 3 Z ud N sid gleichmächtig, de wir köe die gaze Zahle folgedermasse aorde: Z = {0,,,2, 2,3, 3,} Diese Liste etspricht der Abbildug f(2k) = k, f(2k +) = k für alle k N

5 2 Eigeschafte der reelle Zahle 9 4 Es gibt auch echte Teilmege vo N, die deoch gleichmächtig sid wie N, ei Beispiel ist die Mege der gerade Zahle De die Abbildug f:n 2N = {2,4,6,}, f(k) = 2k ist bijektiv 25 Defiitio Eie uedliche Mege M heisst abzählbar, we sie gleichmächtig ist wie die Mege der atürliche Zahle Ist dies icht der Fall, so heisst M überabzählbar Die Mege der gaze Zahle ist, wie wir ebe gesehe habe, abzählbar Die Mege der positive ratioale Zahle Q >0 ist ebefalls abzählbar Um dies eizusehe, schreibe wir die Brüche i de positive Quadrate eies zweidimesioale Koordiatesystems, ud zwar de Bruch p/q a die Stelle mit x = p ud y = q Nu otiere wir die Brüche i der Reihefolge, die sich ergibt, we wir folgede Weg verfolge: /5 2/5 3/5 4/5 5/5 /4 2/4 3/4 4/4 5/4 /3 2/3 3/3 4/3 5/3 /2 2/2 3/2 4/2 5/2 / 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Wir erhalte eie Liste vo Brüche mit viele Wiederholuge Streiche wir dari och sämtliche Wiederholuge, so bleibt eie Liste aller positive ratioale Zahle übrig Diese Liste ka maauch als bijektive Zuordug vo N ach Q >0 auffasse Ma ka u - ählich wie im Beispiel Z - schliesse, dass auch die Mege aller ratioale Zahle abzählbar ist Im Gegesatz dazu ist die Mege der reelle Zahle icht abzählbar ud es gibt viel mehr irratioale als ratioale Zahle 26 Beispiele Alle ratioale Vielfache vo 2 sid irratioal Allgemeier sid alle Zahle der Form ± m p (,m N, p Primzahl) irratioal Gehe wir eimal davo aus, wir kee die Beschreibug der reelle Zahle durch Dezimaletwickluge Ist eie Zahl ratioal, so ist ihre Dezimaletwicklug etweder edlich oder periodisch Etwa ist = 0,42857 Die Etwicklug muss 7 icht ubedigt eideutig sei, zum Beispiel hat die Zahl die beide Darstelluge 0, oder 0,09 ud 0,2 = 0,9 Aber Mehrdeutigkeite trete ur im Zusam- 0 mehag mit eier periodische 9 auf Ud bei zwei verschiedee Schreibweise für dieselbe Zahl uterscheide sich Ziffer a etsprechede Stelle etweder um oder um 9 oder sie stimme überei Ist eie Zahl irratioal, so ist ihre Dezimaletwicklug eideutig festgelegt ud zwar ist sie i diesem Fall uedlich ud icht

6 20 Kapitel Mathematisches Hadwerkszeug periodisch Wir köe also sage, dass ratioale Zahle i gewissem Sie edliche Liste vo Ziffer etspreche, währed irratioale Zahle durch uedliche Liste vo Ziffer festgelegt werde Es ist also plausibel, dass es wesetlich mehr irratioale als ratioale Zahle gibt Dies wolle wir u auch beweise 27 Satz Die Mege R ist überabzählbar Beweis Wir zeige die Behauptug durch Widerspruch Ageomme, die Mege der reelle Zahle wäre abzählbar Da gäbe es eie Möglichkeit, die reelle Zahle durchzuumeriere ud zu eier Liste azuorde Gehe wir u vo eier solche fiktive Liste aus Dari streiche wir zuächst alle Zahle r 0 ud r Übrig bleibt eie Liste r,r 2,r 3, aller Zahle aus dem offee Itervall zwische 0 ud Wir schreibe u die Dezimaletwickluge dieser Zahle utereiader Die Liste köte so aussehe: r = 0, r 2 = 0, 2 2 r 3 = 0, r j = 0,r j r j2 r j3 r j4 Dabei bezeichet jeweils r jk die k-te Ziffer hiter dem Komma i der Dezimaletwicklug vo r j Jetzt kostruiere wir eie eue Zahl a = 0,a a 2 a 3 a 4 ]0,[ aus der Liste der gewählte Dezimaletwickluge, idem wir setze: a k := { rkk +2 falls r kk < 8 0 falls r kk = 8 falls r kk = 9 Das bedeutet, we die Liste mit de agegebee Zahle begit: a = 0,335 Vergleiche wir a u mit de Zahle aus der Liste Die Zahl a stimmt icht mit r überei, de bereits a der erste Stelle hiter dem Komma stehe verschiedee Ziffer, die sich auch iemals um geau oder 9 uterscheide Es ka sich also icht um zwei Schreibweise derselbe Zahl hadel Weiter ist a r 2 wie der Vergleich der Ziffer a der zweite Stelle hiter dem Komma zeigt Allgemei gilt a r j für alle j, dazu reicht es, jeweils die Ziffer a der j-te Stelle hiter dem Komma miteiader zu vergleiche Also kommt a icht i der Liste der Zahle r,r 2,r 3, vor Diese Liste sollte aber alle Zahle zwische 0 ud ethalte Also habe wir eie Widerspruch qed

7 Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2 Folge ud Grezwerte 2 Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,) oder i der Form (a ) N Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8, a = 2,4,9,6, a = 2,,2,3,5,8,3, a +2 = a + +a,,,, a =, 2 4,, = ( ) =! 22 Defiitio Ma sagt, dass eie Folge (a ) N gege 0 kovergiert, we zu jedem ǫ > 0 ei 0 N existiert mit a < ǫ für alle 0 Aders gesagt: Trage wir sämtliche Pukte (,a ) (für N) i ei kartesisches Koordiatesystem ei, so gilt: I jedem och so düe Streife um die x-achse liege alle markierte Pukte bis auf edlich viele Ausahme a 23 Beispiele Die Folge der Stammbrüche ( ) N kovergiert gege 0 De aus der archimedische Eigeschaft der reelle Zahle folgt, dass zu jedem ǫ > 0 ei Idex 0 N existiert mit 0 < ǫ Daraus folgt 0 < ǫ für alle 0 2 Auch a = ( ) 2 kovergiert gege 0, allerdigs werde die Werte icht immer kleier, soder sie oszilliere immer eger um de Wert 0 3 Die Folge ( )! N kovergiert ebefalls gege 0, da < für alle Diese! Folge geht also och scheller gege Null, als die Folge der Stammbrüche

8 22 Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 4 Die Folge a = kovergiert ebefalls gege Null, allerdigs lagsamer als die Folge De zu vorgegebeem ǫ > 0 fidet ma sicher eie atürliche Zahl 0 > Da gilt für alle ǫ 2 0 die Ugleichug 0 < ǫ Für ǫ = 0 2 zum Beispiel ist 0 = 0 00 gross geug Schaue wir us geauer a, was die Defiitio für das folgede Beispiel bedeutet 24 Beispiel Auch die Folge der Zahle a = 2! ist eie Nullfolge Das heisst also, dass Fakultäte im Vergleich zu Quadratzahle viel scheller wachse Beweis Für alle 2 gilt offebar die folgede Abschätzug: 2! = ( )! = 2 2 < 2 ( ) 3 = Wählt ma jetzt zu eier vorgegebee positive Zahl ǫ eie atürliche Zahl 0, so dass 2 0 > 6, da folgt ǫ 2! < 6 2 < ǫ für alle 0 Kokret ist für ǫ = 0 9 die verlagte Abschätzug erfüllt ab 0 = 34, de 2 34 = > qed 25 Defiitio Ma sagt, eie Folge (a ) N kovergiere gege eie Grezwert a R, we die Folge der Differeze a a gege 0 kovergiert Ist dies der Fall, schreibt ma lim a = a 26 Beispiele Die Folge a = + kovergiert gege, de a = + = Die Folge a = 22 kovergiert gege 2 De: = < ǫ 2 > 3 ǫ Zu vorgegebeem ǫ > 0 fidet ma sicher eie Quadratzahl 2 0, die dies erfüllt, ud die gewüschte Ugleichug gilt da erst recht für alle 0 Kokret ist zum Beispiel für ǫ = 0 6 die Zahl 0 = gross geug

9 2 Folge ud Grezwerte Bemerkug Der Grezwert der Summe der Poteze eier feste Zahl wird auch als geometrische Reihe bezeichet Für q R, q < gilt: +q +q 2 + = lim k=0 q k = q ud lim k= q k = q q Beweis Wir habe bereits durch Iduktio folgede Formel für die geometrische Summe bewiese: k=0 q k = q+ q ud k= q k = q+ q = q+ q q Ausserdem ist lim q + = 0 (Begrüdug folgt später) Daraus folgt sofort die Behauptug qed Hier eiige kokrete Beispiele: Für q = erhalte wir = Für q = 2 ergibt sich = ( 2 ) = 2 3 Für q = 3 ergibt sich = 3 = 3 2 Ist q, so kovergiert die zugehörige geometrische Reihe icht De ist q >, so wachse die Teilsumme über jede Schrake hiaus Fürq = lautedieteilsumme s = { falls gerade k=0 ( )k = 0 falls ugerade Sie kovergiere also ebefalls icht Ist schliesslich q <, so wachse jedefalls die Beträge der Teilsumme über alle Schrake hiaus Jede periodische Dezimaletwicklug ist eigetlich ichts aderes als eie geometrische Reihe Kokret zum Beispiel: 0, = lim 0 = k k= 0 0 = 9 ud 0,2 = lim 2 00 = 2 00 k k= 00 = 2 99 Jede Dezimaletwicklug eier positive reelle Zahl a liefert eie mooto awachsede Folge mit Grezwert a, we wir jeweils die Agabe der Zahl bis auf Kommastelle als Folgeglied a auffasse Hier wiederum ei Beispiel: 0, = lim 0 k2 k= Bei eier mooto wachsede Folge stimmt der Grezwert mit dem Supremum der Mege der Folgeglieder überei Oszilliert dagege die Folge um de Grezwert, ist dies icht der Fall