Gleichungen und Ungleichungen. Mathematische Grundlagen. Beispiel. Beispiel. Lösung einer quadratischen Gleichung:

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1 Gleichuge ud Ugleichuge Mathematische Grudlage Das Hadout ist Bestadteil der Vortragsfolie zur Höhere Mathemati; siehe die Hiweise auf der Iteretseite wwwimgui-stuttgartde/lstnumgeomod/vhm/ für Erläuteruge zur Nutzug ud zum Copyright Grudlage 1-1 Lösug eier quadratische Gleichug: ax 2 + bx + c 0 x b ±, b 2 4ac 2a x 2 + px + q 0 x p 2 ±, p2 4 q > 0 zwei reelle Lösuge 0 eie reelle Lösug < 0 eie reelle Lösug Recheregel für Ugleichuge (auch gültig mit bzw : x < y cx < cy, falls c > 0 x < y cx > cy, falls c < 0 x a < r a r < x < a + r Grudlage Gleichuge ud Ugleichuge 1-1 Die Gleichug x 4 8x a mit der Substitutio z x 2 als quadratische Gleichug z 2 8z 9 0 geschriebe werde Diese hat die Lösuge z 1 ud z 9 Rücsubstitutio führt auf x 2 1 bzw x 2 9 Die Gleichug x 2 1 hat eie reelle Lösug Die Gleichug x 2 9 liefert x ±3 als die eizige reelle Lösuge der ursprügliche Gleichug Bestimmug der Lösugsmege L der Ugleichug Äquivalete Umformuge 1 Fall: x 1 L 1 : 1 x 5 2 Fall: x < (3x + 1 2x + 1 x 1 2 9x + 3 8x + 2 x 1 x x 1 x + 3 2(x 1 x 5 x + 3 2(x 1 x 1 3 L 2 : 1 3 x < 1 Lösugsmege: L L 1 L 2 [ 1 3, 5] Grudlage Gleichuge ud Ugleichuge 2-1 Grudlage Gleichuge ud Ugleichuge 3-1

2 Faultät Biomialoeffiziet Das Produt der erste atürliche Zahle wird mit! 1 2 bezeichet (lies: Faultät Kosistet mit der Defiitio des leere Produtes setzt ma 0! 1 Die Zahl! etspricht der Azahl der verschiedee Möglicheite uterschiedliche Objete azuorde Für, N 0 mit defiiert ma de Biomialoeffiziete! ( 1( 2 ( + 1 (!! 1 ( 2( 1 Er gibt die Azahl der -elemetige Teilmege eier Mege mit Elemete a Wege 0! 1 gilt isbesodere ( 0 0 1, ( ( 0 1 ud aus der Defiitio folgt: Grudlage Biomischer Lehrsatz Faultät 1-1 Grudlage Biomischer Lehrsatz Biomialoeffiziet 1-1 Pascalsches Dreiec ( 5 5! 2 3!2! Auswahl vo 2-elemetige Teilmege aus der Mege {a, b, c, d, e}: Die Biomialoeffiziete! (!! 5 4 Teilmege Reihefolge irrelevat Divisio durch 2 {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e} {b, a}, {b, c}, {b, d}, {b, e} {a, b} {b, a}, lasse sich mit Hilfe der Reursio i eiem Dreiecsschema, dem sogeate Pascalsche Dreiec, bereche Grudlage Biomischer Lehrsatz Biomialoeffiziet 2-1 Grudlage Biomischer Lehrsatz Biomialoeffiziet 3-1

3 ( 0 ( 1 ( 2 ( 3 ( Biomischer Satz Mit der biomische Formel lasse sich Poteze eier Summe vo zwei Variable bereche Für alle N 0 gilt ( ( (a + b a + a 1 b + + ab 1 + b 1 1 a b 0 Isbesodere ist für 2, 3 (a + b 2 a 2 + 2ab + b 2, (a + b 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Grudlage Biomischer Lehrsatz Biomialoeffiziet 3-2 Grudlage Biomischer Lehrsatz Biomischer Lehrsatz 1-1 Abbildug Eie Abbildug a ma folgedermaße illustriere Uter eier Abbildug f vo eier Mege A i eie Mege B versteht ma eie Vorschrift, die jedem a A eideutig ei bestimmtes b f(a B zuordet: f : A B A a a b f(a B Für die Elemetzuordug verwedet ma die Schreibweise a b f(a ud bezeichet b als das Bild vo a, bzw a als ei Urbild vo b Ist M A, so heißt f(m {f(m m M} B das Bild vo M ud für N B heißt f 1 (N {a f(a N} A das Urbild vo N uter der Abbildug f Die Mege f(a heißt Wertebereich ud A Defiitiosbereich der Abbildug f Wie aus dem Bild ersichtlich ist, müsse icht alle Elemete aus B als Bild eies Elemetes aus A auftrete ud ei Elemet aus B darf auch Bild mehrerer Elemete aus A sei Es muss allerdigs für jedes Elemet aus A ei eideutiges Bild gebe, das heißt vo jedem a muss geau ei Pfeil ausgehe Ma eret auch, dass ei Bild b mehrere Urbilder habe a, hier beispielsweise a ud a Grudlage Abbilduge Abbildug 1-1 Grudlage Abbilduge Abbildug 1-2

4 Statt Abbildug verwedet ma auch de Begriff Futio, isbesodere i der reelle ud omplexe Aalysis Eigeschafte vo Abbilduge Eie Abbildug f : A B zwische zwei Mege A ud B heißt ijetiv, falls f(a f(a für alle a, a A mit a a surjetiv, falls es für jedes b B ei a A gibt mit f(a b bijetiv, falls f sowohl ijetiv als auch surjetiv ist Diese Begriffe lasse sich ahad vo Megediagramme illustriere: ijetiv surjetiv bijetiv Grudlage Abbilduge Abbildug 1-3 Grudlage Abbilduge Abbildug 2-1 (i Die Futio f : R R, x x 2 ist icht surjetiv, da zb 1 ei Urbild hat f ist icht ijetiv, da zb f( 1 f(1 (ii Die Futio ist bijetiv f : R R, x x 3 - Surjetivität: Sei y R beliebig Für x : 3 y gilt Verüpfug vo Abbilduge Die Verüpfug oder Kompositio zweier Abbilduge f : A B ud g : B C ist durch a (g f(a g(f(a, a A, defiiert ud i dem folgedem Diagramm veraschaulicht f g A B C f(x f( 3 y y - Ijetivität: f(x f(x x 3 x 3 x x g f Grudlage Abbilduge Abbildug 3-1 Grudlage Abbilduge Verüpfug vo Abbilduge 1-1

5 Die Verüpfug ist assoziativ, dh (h g f h (g f aber icht ommutativ, also ist im Allgemeie f g g f Iverse Abbildug Für eie bijetive Abbildug f : A B ist durch b f(a a f 1 (b die iverse Abbildug f 1 : B A defiiert A f B f 1 Isbesodere ist a f 1 (f(a, dh f 1 f ist die idetische Abbildug Grudlage Abbilduge Verüpfug vo Abbilduge 1-2 Grudlage Abbilduge Iverse Abbildug 1-1