Fachbereich Mathematik

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1 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Oberstufezetrum Krftfhrzeugtechik Berufsschule, Berufsfchschule, Fchoberschule ud Berufsoberschule Berli, Bezirk Chrlotteburg-Wilmersdorf Fchbereich Mthemtik Arbeits- ud Iformtiosblätter zum Fch Mthemtik i der Berufsoberschule 1. Klsse (Teil 1) Lehe Std Lehe

2 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Schuldresse: OSZ Kfz-Techik Gierkepltz Berli Tel.: Fx: Iteret: EMil: Lehrer im Fch Mthemtik: Jörg Lehe EMil: Literturempfehluge (Std 6.010) Mthemtik zur Fchhochschulreife Techische Richtug Corelse Verlg Preis: c. Kusch Mthemtik Arithmetik ud Algebr Corelse Verlg Preis: c. 0 Kusch Mthemtik Differetilrechug Corelse Verlg Preis: c. 5 Kusch Mthemtik Itegrlrechug Corelse Verlg Preis: c. 5 Softwreempfehluge: WiFuktio Mthemtik bhv Verlg Preis c. 5 Hiweis: Gibt es b ud zu bei Aldi, Lidl, Plus etc. (Lerpket Mthemtik) Preis c. 10 Mthehilfe im Iteret: Olie Nchhilfelehrer, Abi-Vorbereitug ud Lösugswege für Mtheprobleme uterschiedlichster Art. Alle Arbeits- ud Ifoblätter köe im Iteret uter per Dowlod uf die Festpltte gelde werde. Lehe

3 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Mthemtik Die Lehre vo de Rum- ud Zhlegröße Begriff bgeleitet us dem griechische máthem: die Ketis, ds Gelerte Lehe

4 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Möbius sches Bd Bezeichug für eie Fläche, die etsteht, we m ei lges, rechtwikliges Ppierbd immt, desse Ede um 180 Grd gegeeider verdreht ud schließed die Bdede zu eier Schlige zusmmeklebt. Ds Möbius sche Bd stellt eie zweidimesiole Fläche dr, die ur eie Seite ht. M k sich dies so verdeutliche, idem m eie Liie etlg des Bdes zieht. Die Liie kommt zweiml zum Ausggspukt zurück eiml uf der dere Seite des Ppiers ud ei weiteres Ml zu ihrem Ausggspukt. We m ds Möbius sche Bd etlg eier Liie i der Mitte zerscheidet, so etstehe icht zwei eizele Schlige, soder ur eie eizige Schlige, dere Seite verdreht ist. Ds Möbius sche Bd wurde ch dem deutsche Mthemtiker August Ferdid Möbius bet, der um 1800 ls Pioier der Topologie glt. I der Biochemie ket m u.. bestimmte DNA-Sträge (siehe Nucleisäure), die prktisch ählich ufgebut sid wie Möbius sche Bäder. 1 1 "Möbius sches Bd", Microsoft Ecrt 99 Ezyklopädie Microsoft Corportio. Alle Rechte vorbehlte. Lehe

5 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Eiführug: Themeübersicht im Fch Mthemtik Berufsoberschule BOS Zhlemege 4 Grudopertioe mit Terme i IR. Summe ud Differeze ei- ud usklmmer Liere Gleichuge Bruchgleichuge Liere Gleichugssysteme Poteze, Wurzel, (Logrithme) Proportioe Fuktioe: Liere Fuktioe Qudrtische ud kubische Fuktioe (Trigoometrie) Gzrtiole Fuktioe (Gebroche-rtiole Fuktioe) Differezil- ud Itegrlrechug: Folge ud Grezwerte Differetilrechug Ableitugsfuktio, Ableitugsregel Kurvediskussio, Extremwertufgbe Itegrlrechug Huptstz der Itegrl- ud Differetzlrechug Ds bestimmte Itegrl (Bogeläge, Rottiosvolumi) Vektorrechug: Vektor, Vektordditio, Kollierität, Komplrität, Bsis, Additio, S-Multipliktio, Sklrprodukt, Orthogolität, (Kreuzprodukt) Sodergebiete: (Komplexe Zhle) (Chostheorie, Frktle) Lehe

6 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Grudlge Lehe

7 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Mthemtische Begriffe ud Bezeichuge Lehe

8 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Iformtiosbltt Them: Zhlebereiche- ud rte Symbol Nme Beispiele lösbre Gleichug icht lösbre Gleichug IN Ntürliche 1,, 3, 4,... x+=3 x+3= Zhle Gze..., -, -1, 0, 1,,... 3x=6 6x=3 Zhle Rtiole 1/, /3, 1/6 6x=3 x = Zhle IR Reelle Zhle, π, e x = x = 1 Komplexe Zhle +3i x = 1 Mthemtische Symbole: IR: IR * : IR + : IR * : + Mege der reelle Zhle Mege der vo Null verschiedee reelle Zhle Mege der ichtegtive reelle Zhle Mege der positive reelle Zhle i wird ls imgiäre Zhl bezeichet, es gilt: i = 1 Lehe

9 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Gleichuge-Bruchgleichuge 1. Löse Sie die chfolgede Gleichuge ch x uf x [ 3x + ( 4 x)] = 4x , + 1, x = 1, + 09, x 1.3 ( 7x 3) = [( x 19) ( 11x )] 1.4 ( x + 14)( 4) = ( x + 18)( 3 4). Löse Sie die chfolgede Bruchgleichuge ch x uf = 5x x..3.4 x x x = x x x + 1 x 1 x + = 18 x 4 x + bc dx e + = c b f 3. Spezilfll: x = Lehe

10 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Them: Liere Gleichuge 1. Löse Sie die chfolgede Gleichuge ch x uf x + x x = x + = 1 1 x + = 3 x , x = 08, x Löse Sie die chfolgede Gleichuge ch u uf u= 5 1 u. 11= 1 u 3. Löse Sie die chfolgede Gleichuge ch x uf x b = 5x b 3. 3x + 30 ( x + 8) = 3x ( x + 4) x ( 10 6x) = ,3x - 5,4 -[15,6 - (5,x + 0,1)] = 7,3x - (17x + 1,6) x [ 5 ( 1x + 6) + 13x] = 7x + 15 Lehe

11 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Multipliktio vo Summe ud Differeze Erierug: Bei der Multipliktio vo Summe ud Differeze wird ds Distributivgesetz gewdt. Die umgekehrte Awedug des Distributivgesetzes heißt Ausklmmer. Multipliziere us Lösug 6( x + y ) 1/ ( 4-8b) 7/8 ( 64x + 16x ) ( 1-1/4 b ) 8 ( 0,5-1x ) 16 4/9 ( 3/5 y + 9/11 z ) ( - /7 ) ( 14/15 g - 1/4 h ) ( x - ) ( y + 4 ) ( 6 + 3d ) ( 7 + 4d ) Multipliziere us ud vereifche Lösug 7( + b ) ( 0,5b - ) b 3z + ( x + z) - 4x 1/3 ( 6 + 9b ) - ( + 4 b ) ( - /7 ) ( 14x - 1y ) + 3/5 (15x - 11y ) 3/8 ( b + 16 ) - b( - 1 ) 3z + ( x + z ) - 4x 7( x - y ) - 3( x + y ) + 4( y - x ) 4( + b ) - 3( + 7b ) + ( - b ) 4[ 3( x - y ) + y ] - x 5[ 3 + 6( + d ) - 4d ] + 11d + [ + ( e - f ) ] Lehe

12 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Gleichugssysteme 1. Löse Sie ds folgede Gleichugssystem mit dem Eisetzugsverfhre. 3x + y = 5 x+ y = 8. Löse Sie ds folgede Gleichugssystem mit dem Gleichsetzugsverfhre. y = 7x 5 y = x Löse Sie die folgede Gleichugssysteme mit eiem geeigete Verfhre. 3.1 x + 3y = 1 5x y = x 1y = 5 3x+ 4y = y 5x = 3 10x y = 7 Lehe

13 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Ausklmmer ud Ausmultipliziere Ausggsterm ergibt usmultipliziert Ausggsterm ergibt usgeklmmert (4b - z) x - 3x 18(/3-1/1 ) 5x - 10y 34 (x - y/17) (x - 16z) x/ 1(x - ) + 9b(x - ) (4u - 7v) v/6 x x ( + b)(6-3b) x 4-5x 3 - x ( + b + c)( + b - c) (x + 3)(3x + 1) - (x + 3) 3 16x (0,5x y - xy ) 4 7 b 5-8 b 8 (x + x ) (x - x 3 ) 8x + 16x (x - 7)(x - 4) 4x - 4x + 1 Lehe

14 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Biomische Formel Aufgbe 1: Multipliziere mittels eier biomische Formel us! ) ( - 3) b) (8 - d)(8 + d) c) ( + y)( - y) d) (3-7b)(3 + 7b) e) (3 + 7b) f) ( + 6b)( - 6b) g) (1,6 + 9c) h) (8 + 0,5b) i) (1,4 + 4y) j) ( - 0,1c) k) (b + d)(b - d) l) (11c + 8d)(11c - 8d) m) (1, + 0,6d) ) (1,1d - 0,7e) Aufgbe : Fktorisiere mittels eier biomische Formel! ) d - d + 11 b) c) 36d - 49 d) - 8y + 16y e) 16d - 8de + e f) 49-5b g) 49d - 1,44g h) 0,09d - 36g i) 0,5-4b j),56 + 6,4d + 4d k) 0,49d + 0,4dg + 0,09g l) 4,84d - 0,04 m) d + 1def + 36e f ) 0,36-0,64c Lehe

15 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Lösug zu Aufgbe 1 ) b) 64 - d c) - 4y d) 9-49b e) 9 + 4b + 49b f) 4-36b g),56 + 8,8c + 81c h) b + 0,5b i) 1, ,y + 16y j) 4-0,4c + 0,01c k) 4 b - d l) 11 c - 64d m) 1,44 + 1,44d + 0,36d ) 1,1d - 1,54de + 0,49e Lösug zu Aufgbe (1,6 + d) (0,7d + 0,3g) ) (d - 11) b) (5 - ) c) (6d - 7)(6d + 7) d) ( - 4y) e) (4d - e) f) (7 + 5b)(7-5b) g) (7d + 1,g)(7d - 1,g) h) (0,3d + 6g)(0,3d - 6g) i) (0,5 - b)(0,5 + b) j) k) l) (,d - 0,)(,d + 0,) m) (d + 6ef) ) (0,6-0,8c)(0,6 + 0,8c) Lehe

16 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Poteze/Wurzel Lehe

17 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Them: Poteze Für ds Reche mit Poteze gelte folgede Regel für beliebige m, IR (flls die etsprechede Ausdrücke defiiert sid). x x = x m + m (1) x x m = x m () ( x ) = x m m (3) x = 1 (4) x Übugsufgbe; c x c x x 4. ( 3 ) 5. ( 33 ) 6. [( x ) ] x 5 x 8. ( 3b ) Lehe

18 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Regel für ds Reche mit Poteze Für ds Reche mit Poteze gelte folgede Regel für beliebige etsprechede Ausdrücke defiiert sid)., m IR (flls die 1. Defiitio: m = b m = Potez; = Bsis; m = Potezexpoet; b = Potezwert m = K m-ml ls Fktor gesetzt. Uterscheide: K + = m m-ml ls Summd gesetzt.. Potezexpoet m = 0 : = 1 = = = 1 für 0 3. Potezexpoet egtiv: 1 1 m 1 = = m für 0 4. egtive Potezbsis, positiver Potezexpoet: 4.1. gerder Potezexpoet: m ( ) m = + m = = m± 1 ± m 1 4. ugerder Potezexpoet: ( ) 5. Potezregel: Additio Subtrktio Multipliktio Divisio gleichbsige Poteze m + = K icht zu ddiere m = K icht zu subtrhiere m m+ = m : = m gleichmige Poteze m + b m = K icht zu ddiere m b m = K icht zu subtrhiere m m m b = ( b) m : b m = Potezierug m m ( ) b = m gleiche Poteze m m + = m m m m m = 0 = m m m m m : = = 0 6. Awedug der Potezformel: ( ± b) = ± b + b ( + b)( b) = b ( ± b) = ± 3 b + 3b ± b ( x + )( x + b) = x + ( + b) x + b Lehe

19 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Regel für ds Reche mit Wurzel Für ds Reche mit Wurzel gelte folgede Regel: 1. Defiitio: = x = Rdikt, Bsis; = Wurzelexpoet; x = Wurzelwert. ist die ichtegtive Lösug der Gleichug x =. 3. Recheregel: llgemei Beispiel x Poteziere x 3 3 = ( ), x IN 4 = ( 4) = 8 Rdiziere Multipliziere Dividiere x x = 16 = 16 = b = b 4 16 = 4 16 = 4 = 8 = = = = b b isbesodere gilt: x x = ; > 0 Lehe

20 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Zusmmefssug I: Gleichuge ud Poteze 1. Bestimme Sie die Lösugsmege der chfolgede Gleichuge. 4 x. ( x + ) + 3 = 0 x b. 13 4x + x =. Vereifche Sie die chstehede Potezusdrucke so weit wie möglich.. b. c. d. u uv + 3 p 4k v ( p) 3 ( uv) ( u) k ( u v) uv k k v 3. Bestimme Sie die Lösuge der chfolgede Gleichuge.. 3 (x+3) 4 (3-x) + 5 (x-1)+3 (4-x) = 16 b. 5 (3x-6)+(8-5x) 3 = 4 (6x+1) -14-(5-3x)4 c. 6x+35 = 5 [3x-4 (7x-5)+(8x-6) 3] 4. Löse Sie die Klmmer uf ud fsse Sie zusmme.. b. 3 1 = 4x 5x 3 5 = x + 1 x x 3 c. = ( x + )( x 5) Lehe

21 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik 5. Multipliziere Sie folgede Potezterme ( 3 4 b c 3 4 y 3 b 5 c 6 x+ 3 4x y b. + ) ( + ) 6. Poteziere Sie folgede Terme:. b. 4 3 ( b ) 3 3 b x 0 b c. 0 c 7. Vereifche Sie die chfolgede Terme.. 3x 03, x b. 35, b ( 17, b 19, 3 b 5 + 1, b 5 ) c x 1x 4x Lehe

22 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Zusmmefssug II: Gleichuge ud Poteze 1. Multipliziere ud fsse zusmme ( b) + (5b ) 1.. u( 3u v) v(1,5 u 5,5v) + uv 1.3. x 4x( x + y) + 3y + y(x y) + 3xy. Löse die Klmmer mit Hilfe der biomische Formel uf ud bestimme x..1. ( x + 1) + x = ( x + ) 6.. (8 3x ) (3x + ) + 6(x + 5) + 5x = (5x + 3) + ( x + 3) 15x 3. Multipliziere Sie folgede Potezterme b 3 b 7m + 6m 4m 3( x) ( x) m+ 4. Poteziere Sie folgede Terme: u v ( m 3 4 x + y x y ) v u Löse Sie die chfolgede Gleichuge ch x uf ( x) = 5 ( x 9) ( x 3) + 37 ( 8x) = x = x + x x + = ( x ) x + 6 ; x IR Lehe

23 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Liere Fuktioe Lehe

24 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Hiweise zur exkte mthemtische Begriffsbildug: Fuktioe/Fuktioswert/Fuktiosterm Hiermit möchte ich merke, dss sich i de Nturwisseschfte ud der Techik gewisse Sprechweise eigebürgert hbe, die vo de exkte mthemtische Begriffsbilduge bweiche. Schreibt m beispielsweise st ( 0) so ist i der Mthemtik der Fuktioswert der Fuktio s oder der Fuktioswert der Fuktio s der Stelle t 0 gemeit, ws jeweils us dem Zusmmehg deutlich wird. I de Nturwisseschfte ud der Techik bezeichet m häufig die Fuktio bzw. ds etsprechede Weg-Zeit-Gesetz mit dem Symbol s (t). Isbesodere de Hochschule (Fchhochschule, Uiversität) wird diese Uterscheidug kum och vorgeomme. Hier wird durchus die Siusfuktio (oder kurz der Sius) gezeichet ud icht der Grph der Siusfuktio (wie es exkt heiße müsste). Zur Erierug: Nme der Fuktio: f, g, h,, l, si Die Fuktio f k somit beschriebe werde durch: Fuktioswert: f ( x0), g( x 0) Fuktiosterm: 3x, 1x + x + 3 f : x 3 x; x IR oder durch f ( x) = 3x ; x IR Fuktiosgleichug: f ( x) = x, g( x) = x + 1 Fuktiosgrph: Drstellug der Mege geordeter Pre ( x; y ) ls Pukte Px ( / y ) i eiem Koorditesystem. Pukte: z.b. Hoch- ud Tiefpukte, Wedepukte etc. beziehe sich somit immer uf de Fuktiosgrphe. Stelle, Werte: beziehe sich uf die Fuktio Isbesodere bei schriftliche Ausrbeituge (Klusure, Prüfugsrbeite, Uterlge für die Referedrsusbildug) ist uf die Klärug des Fuktiosbegriff uter Nutzug der exkte Termiologie eizugehe. Lehe

25 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Liere Fuktioe 1. Zeiche Sie die Grphe folgeder Fuktioe, die durch ihre Fuktiosgleichuge gegebe sid. 1.1 f ( x) = x g( x) = x hx ( ) = x+. Utersuche Sie, ob der Pukt P( 1 3) uf eiem der Grphe us Aufgbe 1 liegt. 3. Aufgbe: 3.1 Zeiche Sie de Grphe der Fuktio f mit f ( x) = x + 15, ; x IR. 3. Prüfe Sie durch Rechug, ob der Pukt P(,5 3,5) uf dem Grphe vo f liegt. 3.3 Bestimme Sie die Gleichug für eie Gerde, die zur Gerde i Aufgbe 3.1 prllel verläuft ud durch de Pukt Q (1 3, 5) geht. Hiweis: Diese (ud dere) Aufgbe solle Sie lgsm de Aufgbestil der Oberstufe herführe. Die Aufgbe sid läger ud setze sich us Teile mit uterschiedliche Schwierigkeite zusmme. I der Regel werde Sie für eie Aufgbe etw eie hlbe Stude beötige. Lehe

26 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Liere Fuktioe Liere Fuktioe hbe die Fuktiosgleichug: f ( x) = mx+ b; x IR Der Grph ist eie Gerde mit der Gerdegleichug y=mx + b m: Steigug der Gerde = Δ y y y Δx = 1 x x1 b: Achsebschitt der. Koordite (im llgemeie y-achsebschitt) Bestimmug der Gerdegleichuge: I: Es sid zwei Pukte P 1 (x 1 y 1 ) ud P (x y ) bekt. Lösugsschritte: 1. Bestimmug der Gerdesteigug m y = y 1 x x. 1. D u m bekt ist, k durch Eisetze der Pukte (P 1 ) oder (P ) i die Gerdegleichug ds och fehlede b bestimmt werde. II: Es sid ei Pukt P(x y) ud die Steigug m bekt. Lösugsschritte: 1. D die Steigug bekt ist, müsse ur och die x- ud y-werte des Puktes P i die Gerdegleichug eigesetzt werde ud ch b ufgelöst werde. Bestimmug der Schittpukte vo Gerde: Liege zwei Gerde f ud g icht prllel zueider, so scheide sie sich i dem Pukt S mit de Koordite x S ud y S. Lösugsschritte: 1. Um de gemeisme Pukt zu fide, werde die beide Fuktiosterme gleichgesetzt: f(x S ) = g(x S ) ud ch x S ufgelöst.. Ds Eisetze vo x S i die Gerdegleichug vo f oder g liefert de zugehörige y- Wert (y S ). Lehe

27 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Merke: Die Stelle, der die Fuktio de Wert 0 ht, et m Nullstelle der Fuktio. Die Nullstelle fidet m, idem der y-wert zu Null gesetzt wird ud die Gerdegleichug ch x ufgelöst wird. Liere Fuktioe hbe im llgemeie eie Nullstelle. Gerde, die prllel zur x- Achse verlufe (z.b. y = 3) hbe keie Nullstelle oder bestehe ur us Nullstelle. Zwei Gerde mit de Steiguge m 1 ud m sid geu d prllel zueider, we m 1 = m ist. Zwei Gerde mit de Steiguge m 1 ud m sid geu d orthogol (sekrecht) zueider, we m m = ist. 1 1 Grphe lierer Fuktioe: y-achse - Steigug ist egtiv y-achse -Steigug ist Null x-achse x-achse y-achse - Steigug ist positiv y-achse icht ls Fuktio defiiert x-achse x-achse Lehe

28 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Grphe lierer Fuktioe I de Abbilduge sid jeweils die Grphe lierer Fuktioe drgestellt. Bestimme Sie die zugehörige Fuktiosgleichuge. 1. f (x) =. f (x) = 3. f (x) = 4. f (x) = Lehe

29 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Steigug vo Tgete 1 1. Gegebe ist die Fuktio f mit f ( x) = x + ; x IR. 1.1 Skizziere Sie de Fuktiosgrphe i ds Koorditesystem (1. Qudrt). 1. Zeiche Sie die Tgete der Fuktio f der Stelle x 0 = 1 ud x 0 = 3 ud bestimme Sie dere Steigug. Lehe

30 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Liere Fuktioe 1. Gegebe ist die Fuktio f durch die Gleichug f ( x) = x+ 3; x IR Bestimme Sie die Steigug des Grphe. 1. Zeiche Sie de Grphe ud ih ei Steigugsdreieck. 1.3 Ws bedeutet der Summd 3 geometrisch.. Bestimme Sie die Schittpukte der durch y = 3x 4 festgelegte Gerde mit der x- ud y-achse. Lehe

31 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Qudrtische Fuktioe Lehe

32 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Qudrtische Fuktioe Iformtiosbltt im Fch Mthemtik Qudrtische Fuktioe hbe die Zuordugsvorschrift der Form: f ( x) = x + bx + c; (, b, c IR, 0) Der Grph eier solche qudrtische Fuktio heißt Prbel. Der Grph der Fuktio f mit f ( x) = x ; x IR heißt Normlprbel. Die folgede Abbildug zeigt die Normlprbel ud Prbel, die durch Veräder vo etstde sid. y-achse 1 x-achse 1 Scheitelpukt: Der Scheitelpukt ist der tiefste (bei ch obe offee Prbel) bzw. der höchste (bei ch ute offee Prbel) Pukt des Grphe. Extremstelle: x-koordite des Scheitelpuktes. Extremwert: y-koordite des Scheitelpuktes. Hochpukt: Ist der Scheitelpukt die höchste Stelle des Grphe, so wird dieser Pukt ls Hochpukt bezeichet. Tiefpukt: Ist der Scheitelpukt die tiefste Stelle des Grphe, so wird dieser Pukt ls Tiefpukt bezeichet. Merke: Der Grph eier beliebige qudrtische Fuktio k durch Verschiebe ud Strecke der Normlprbel erzeugt werde. Lehe

33 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Scheitelpuktsform der Gleichug eier qudrtische Fuktio Um die Verschiebuge ud Streckuge zu bestimme, die erforderlich sid, um de Grph des Fuktio f mit f ( x) = x + bx + c us der Normlprbel zu erzeuge, muss die Gleichug der qudrtische Fuktio i die Scheitelpuktsform überführt werde. Beispiel: f ( x) = x 4x 1. Schritt: Der Streckfktor vor dem x wird usgeklmmert. f ( x) = ( x x 1).Schritt: Qudrtische Ergäzug. Der Fktor vor dem x () wird hlbiert ( ), qudriert (1 ) ud zu dem Term i der Klmmer ddiert ud subtrhiert. f ( x) = ( x x ) = ( x x+ 1 ) 3.Schritt: Awedug der Biomische Formel uf de uterstrichee Term. llgemei: f ( x) = ( x 1) 4 f ( x) = ( x xs) + y : Streckug um (im Beispiel =) x S : x-verschiebug (im Beispiel x S =1) y S : y-verschiebug (im Beispiel y S =-4) Bestimmug der Nullstelle qudrtischer Fuktioe Qudrtische Fuktioe hbe höchstes Nullstelle Steht die Fuktiosgleichug i Form eies Produktes vo liere Fktore d (z.b. f ( x) = ( x + )( x 3 )), so ist ds Produkt ur d Null, we midestes ei Fktor Null ist (x 1 = - ud x = 3). Steht die Fuktiosgleichug i der Normlform f ( x) = x + px+ q d, so köe die Nullstelle mit der sogete p-q-formel bestimmt werde. p-q-formel x + px+ q = 0 x 1, p p = ± q 4 S Ausdruck uter der Wurzel ist größer ls Null: Ausdruck uter der Wurzel ist gleich Null: Ausdruck uter der Wurzel ist kleier ls Null: zwei Nullstelle eie Nullstelle keie Nullstelle Lehe

34 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Qudrtische Fuktioe 1. Bestimme Sie die jeweilige Fuktiosgleichug der Fuktioe f, g ud h, dere Grphe (Prbel) durch Verschiebuge ud Streckug us der Normlprbel hervorgegge sid. Scheitelpuktsform der Gleichug eier qudrtische Fuktio: f ( x) = ( x x ) + y S S : Streckfktor x S : x-koordite des Scheitelpuktes y S : y-koordite des Scheitelpuktes Lehe

35 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Them: Nullstelle vo qudrtische Fuktioe 1. Bestimme Sie die Nullstelle der Fuktio f, die gegebe ist mit: 1.1 f ( x) = ( x 4) 1. f ( x)= x 5x f ( x)= x 3x f ( x)= x + bx + c 1.5 f ( x) = x + 05, x+ 05,. Wie wirkt sich eie doppelte Nullstelle uf de Grphe eier Fuktio us? 3. Wieviele Nullstelle k eie qudrtische Fuktio hbe? Begrüde Sie Ihre Aussge. Lehe

36 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Rückblick: Nullstelle vo Fuktioe We f ()= x 0 ist, et m die Stelle x Nullstelle. Für liere ud qudrtische Fuktioe köe Sie die Nullstelle leicht bereche. Für Fuktioe 3. ud 4. Grdes gibt es zwr Verfhre zur formelmäßige Berechug vo Nullstelle, für die Prxis sid sie ber zu kompliziert, ud für die gzrtiole Fuktioe höhere ls 4. Grdes gibt es ohehi keie solche Verfhre. D ei Produkt geu d de Wert 0 ht, we ei Fktor diese Wert ht, köe wir bei Ketis eier Nullstelle eie Fuktio gerigere Grdes uf weitere Nullstelle utersuche. Wir sehe drus, dß eie gzrtiole Fuktio vom Grde höchste Nullstelle hbe k. Übriges ht eie gzrtiole Fuktio ugerde Grdes midestes eie Nullstelle. Nebe der Polyomdivisio zeige die folgede Beispiele, dß oft durch Ausklmmer oder Awede der biomische Formel die Nullstelle bestimmt werde köe. 3 f () x = 7x 63x = 7 x ( x 9) = 7 ( x 0) ( x 3) ( x+ 3) f ht lso 3, 0ud 3 ls Nullstelle. 4 gx () = x 16 = ( x 4) ( x + 4) = ( x+ ) ( x ) ( x + 4) g ht lso ud ls Nullstelle; de der letzte Fktor ist immer größer oder gleich 4. Er wird uch ls irreduzibler Fktor bezeichet. 3 hx () = x x = x ( x 1) = ( x 0) ( x 1) = ( x 0) ( x 0) ( x 1) h ht lso 0 ud 1 ls Nullstelle; 0 heißt hier doppelte Nullstelle. Steht die Fuktiosgleichug i der Normlform f ( x) = x + px+ q der sogete p-q-formel bestimmt werde. d, so köe die Nullstelle mit p-q-formel x + px+ q = 0 p p x1, = ± q 4 Ausdruck uter der Wurzel ist größer ls Null: Die Fuktio ht zwei Nullstelle. Ausdruck uter der Wurzel ist gleich Null: Die Fuktio ht eie Nullstelle. Ausdruck uter der Wurzel ist kleier ls Null: Die Fuktio ht keie Nullstelle. Lehe

37 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Qudrtische Fuktioe / Prbel Scheitelpuktsform der Gleichug eier qudrtische Fuktio: 1. Erkläre Sie die folgede Begriffe: 1.1. Scheitelpukt: 1.. Hochpukt: 1.3. Tiefpukt: 1.4. Extremstelle: 1.5. Extremwert: 1.6. Mximum: 1.7. Miimum: f ( x) = ( x x ) + y. Gegebe ist die qudrtische Fuktio f mit f () x = x 4x 6; x IR..1. Überführe Sie die Gleichug der qudrtische Fuktio i die Scheitelpuktsform... Bestimme Sie de Scheitelpukt des Grphe vo f..3. Bestimme Sie die Extremstelle ud de Extremwert vo f ud etscheide Sie ob ei Mximum oder ei Miimum vorliegt..4. Zeiche Sie de Grphe der Fuktio f. 3. I der Abbildug ist der Grph eier qudrtische Fuktio drgestellt. Bestimme Sie die zugehörige Fuktiosgleichug. S S Lehe

38 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Folge ud Grezwerte Lehe

39 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Them: Folge Ist durch irgedeie Vorschrift (Bildugsgesetz) jeder türliche Zhl (Idexzhl) eie rtiole Zhl (Folgeglied) zugeordet, so bezeichet m die Aeiderreihug dieser rtiole Zhle 1; ; 3; K ; ;K ls uedliche Zhlefolge (geuer: uedliche Folge rtioler Zhle). Beispiele: ; ; ; ;K 3 4 = 1. 1;;3;4;... = ;; 11 ;;K = ( 1 ) 4. 7;7;7;7;... = 7 Begriffe: Eie uedliche Zhlefolge ( ) heißt mooto wchsed oder mooto steiged, we für lle IN stets gilt: +1 streg mooto wchsed oder streg mooto zuehmed, we für lle IN stets gilt: < +1 mooto flled oder mooto behmed, we für lle IN stets gilt: +1 streg mooto flled oder streg mooto behmed, we für lle IN gilt: > +1 rithmetische Folge, we die Differez zweier ufeiderfolgeder Glieder stets dieselbe reelle Zhl d ergibt, d.h.: = + 1 d geometrische Folge, we der Quotiet ufeiderfolgeder Glieder stets dieselbe reelle Zhl q 0 ergibt, d.h.: + 1 q = ; 0 Häufugspukt: Eie Zhl H heißt Häufugspukt der Folge ( ), we es uedlich viele Folgeglieder gibt, die beliebig he der Zhl H liege. Grezwert: Eie Zhl G heißt Grezwert der Zhlefolge ( ), we G der eizige Häufugspukt vo ( ) ist. Eie Folge mit geu eiem Häufugspukt besitzt eie Grezwert. Eie Folge mit mehr ls eiem Häufugspukt besitzt keie Grezwert. Eie Folge heißt koverget, we sie eie Grezwert besitzt, derflls heißt sie diverget. Lehe

40 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Eie Folge, dere Grezwert Null ist heißt Nullfolge. Grezwertsätze: Sid die Zhlefolge ( ) ud (b ) koverget, lim = A ud limb = B, so kovergiere uch die Folge ( + b ),( b ),( b ). Ist ferer b 0 für lle ud B 0, so kovergiert uch die Folge ( b ) ud ht de Grezwert A B. Uter diese Vorussetzuge gelte die folgede Beziehuge: Summefolge Differezfolge Produktfolge Quotietefolge lim( + b ) = lim + limb = A+ B lim( b ) = lim limb = A B lim( b ) = lim limb = A B lim b lim = = limb A B Die Grezwertreltioe köe i ihrer Gültigkeit türlich uf de Fll beliebig, ber edlich vieler Summde bzw. Fktore usgedeht werde. = ( ) P Ist, wobei P ud Q Polyome sid, so ersieht m ds Kovergezverhlte Q( ) ch dem Kürze durch die höchste Potez vo, die im Neer steht. Mit Hilfe dieses Stzes ud der Grezwertsätze fidet m z.b. i folgede Fälle leicht die Grezwerte: 1. lim = = = = 1 ; lim lim 1 1+ lim1 lim lim lim = 1 Lehe

41 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik. lim 4+ 5 =, = lim = lim = lim1 lim + lim lim 3 + lim lim = 1 3 Litertur: SCHULZE: Höhere Mthemtik, Vorlesug TU Berli, FELDMANN, D., KRUSE, A.: Repetitorium der Igeieur-Mthemtik, Fchhochschule Hover. ATHEN, H.,GRIESEL, H., POSTEL, H.: Mthemtik heute 11, Schroedel, Schöigh Lehe

42 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Them: Folge Eie Schecke will eie 50 cm hohe Zu überwide. Am erste Tg kriecht sie 0 cm m Zu empor, m zweite Tg schfft sie ur och 10 cm, m dritte ur och 5 cm usw.. Nch wieviel Tge erreicht die Schecke de oberste Pukt des Zues? : fortlufede Nummerierug der Tge : zurückgelegte Tgesstrecke m Tg 1. Vervollstädige Sie die Wertetbelle: Tgesstrecke 1 0 cm 10 cm Stelle Sie ei Bildugsgesetz für die Folge ( ) uf. = 3. Addiere Sie die Tgesstrecke für die erste 5 ud die erste 10 Tge. Ws fällt Ihe hierbei uf? Lehe

43 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Them: Folge Eie fürchterliche Sciece-fictio-story: I eiem biologische Lbor der Freie Uiversität Berli wird durch de Fehler eier uufmerksme Biologie-Studeti ei 1 mm lger, ormlerweise hrmloser Wurm so umprogrmmiert, dss er seie Läge lle 0 Miute verdoppelt. 1. Erstelle Sie eie Wertetbelle für ds Wurmwchstum.. Wie lg ist der Wurm ch 1,, 3 Stude? 3. Durch welche Folge ( ) wird dieses Wchstum beschriebe? 4. Der ggressive Wurm wächst geu i Richtug OSZ Kfz-Techik. W ht er die Schule mit seiem Vorderteil erreicht? (Luftliie 8 km) Viel Spß! Lehe

44 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Them: Folge 1. Utersuche Sie jeweils die Folge ( ) uf Mootoieeigeschft.. = b. = ( 1) c. = Stelle Sie ds Bildugsgesetz für die jeweils chstehede Folge uf.. 4;5;6;7;... b. 1;1/;1/3;1/4;... c. 1;-;4;-8;16;... d. 1; ; 3; 4; Gibt es eie kostte Folge, die eie Nullfolge ist? 4. Weise Sie ch, dß die chstehede Folge ( ) koverget ist.. = 1 b. = + 1 c. = Bitte umblätter! Lehe

45 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik 5. Bestimme Sie uter Verwedug der Grezwertsätze de Grezwert der Folge ( ) mit:. = b. = c. d. = 1 3 = e. = Für die, die bis jetzt och icht geug hbe. Bereche Sie de Grezwert der Folge ( ) mit. = Lehe

46 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Arbeitsbltt Them: Grezwerte 1. Bereche Sie de Grezwert der Folge f mit: f ( ) = f ( ) = f ( ) = + 4. Gegebe sid die Folge ( ), ( b ) ud ( c ) mit de Bildugsgesetze: = b = c = 10 Überprüfe Sie die Folge uf Divergez bzw. Kovergez ud bestimme Sie gegebeeflls de Grezwert. 3. Bestimme Sie ds Bildugsgesetz der chstehede Zhlefolge { 0 ; ;0; ;0 ;...} 3.. { ; 3 ; ; 3 ;...} { 1 ; 4 ; 8 ; 16 ;...} Lehe

47 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Grezwertbestimmuge (Regel vo l Hospitl) Die Recheregel für ds Reche mit Grezwerte erfsse folgede Fälle icht, die m symbolisch wie folgt schreibt: Beispiele für solche Grezwerte sid: si x lim x 0 x, x lim x x e usw. Regel vo l Hospitl f ( x) Sid f ud g i eiem Itervll um differezierbr, g ( x) 0 ud ist lim x g ( x ) 0 f ( x) f ( x) bzw., d ist lim = lim, flls der letzte Grezwert existiert. 0 x g( x) x g ( x) Bemerkug: vo der Form Die dere Fälle lsse sich durch geeigete Umformuge uf diese zurückführe (siehe folgede beispiele). Ds Verfhre k für höhere Ableituge wiederholt werde, we die Vorussetzuge für de vorhergehede Ausdruck zutreffe. Ds Verfhre fuktioiert uch für de Fll lim x si x cos x Bsp.: lim = lim = 1 x 0 x x 0 1 Lehe

48 OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Übuge zur Alysis 1. Bereche Sie de Grezwert der Folge f mit: f ( ) = f ( ) = f ( ) = +. Gegebe sid die folgede Fuktioe f. Bestimme Sie jeweils die erste Ableitug..1 f ( x) = x 3 x 4. f ( x) = 3 x f ( x) = x 3. Nee Sie 3 Aweduge der Differetilrechug i der Techik ud oder dere Wisseschftszweige. Lehe