Münchner Volkshochschule. Themen

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1 Theme Logik ud Megelehre Zhlesysteme ud Arithmetik Gleichuge ud Ugleichuge Li. Gleichugssysteme ud spez. Aweduge Geometrie ud Trigoometrie Vektore i der Ebee ud Puktemege Fuktioe eier Veräderliche Zhlefolge ud Kovergez Differezilrechug Itegrlrechug Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 29

2 Zhlefolge Wie viele Digole k m i ei Polygo mit Ecke eizeiche? Strecke [P 0 P ], [P P 2 ],, [P P ] heiße ei Streckezug, we der Reihe ch der Edpukt eier Strecke gleich dem Afgspukt der druf folgede Strecke ist. Ei wie obe bezeicheter Streckezug heißt geschlosse, flls P 0 = P, sost offe. Ei Streckezug heißt überschlge, flls zwei icht ufeider folgede Strecke des Streckezuges eie gemeisme Pukt hbe. Def.: Polygo: Ei Polygo ist ei icht überschlgeder geschlosseer Streckezug. Die Azhl der Seite eies Polygos sei Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 22

3 Zhlefolge Def.: (reelle) Zhlefolge Eie Folge reeller Zhle ist eie Fuktio : D N R Bem.: Vritioe vo D. D = N k}, mit k N fest gewählt. 2. D = N 0 Drstellugsforme vo Zhlefolge. explizit: Die Zhlefolge ist durch eie Fuktiosvorschrift D gegebe. 2. rekursiv: Die Zhlefolge ist durch die Agbe eies Strtwerts 0 R ud eier Rekursiosvorschrift gegebe, bei der us Vorgägerwerte berechet werde k. Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 222

4 Zhlefolge Grfische Drstellugsforme vo Zhlefolge. Zhlestrhl Grfische Drstellugsforme vo Zhlefolge. Koorditesystem ; Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 22

5 Zhlefolge Beispiele: Hrmoische Folge ( ) ; 2 ; ; ; Explizite Drstellug: Jedes Folgeglied lässt sich direkt us der Ketis vo bereche. ( ) \{} 0 : 0; 2 : ; ; Fibocci Folge 2; ; Rekursive Drstellug: Jedes Folgeglied lässt sich us der Ketis seier Vorgäger bereche. 2 4 Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 224

6 Kovergez vo Zhlefolge Def.: Kovergez Eie reelle Zhlefolge N heißt koverget gege R, flls Bemerkuge: ε > 0 N ε R, s.d. < ε N(ε). Aus < ε folgt ε < < + ε 2. Kovergiert N gege, so schreibt m: lim =. N heißt Nullfolge lim = 0 4. N heißt diverget, flls N icht koverget ist.. N heißt bestimmt diverget gege c R + 0 N, s.d. < c 0 6. N heißt bestimmt diverget gege (log zu.) Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 22

7 Kovergez vo Zhlefolge Elemetre Grezwertsätze Seie N ud b N, so wie, b R gegebe, mit ud sei c R. D gilt:. lim ( + b ) = + b 2. lim (c ) = c. lim ( b ) = b lim =, lim b = b 4. Flls 0 N, s.d. b 0 0 ud b 0, folgt lim. lim c = c (Defiitiosbereiche bechte!) b = b Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 226

8 Kovergez vo Zhlefolge Bemerkuge:. Seie N ud R gegebe lim = lim = 2. Sei lim = 0 lim = 0. Sei lim = R S R + S N Zu. Jede kovergete reelle Zhlefolge ist beschräkt 4. Sei lim = 0 ud b N beschräkt lim ( b ) = 0 Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 227

9 Kovergez vo Zhlefolge. Seie N ud b N, so wie, b R gegebe, mit lim =, lim b = b ud b N. D folgt b. 6. Sei zu. c N eie dritte Folge mit c b N ud sei des Weitere lim = lim b =. D folgt lim c =. Def.: Mootoie vo Zhlefolge Eie Folge N heißt s.m.w. (m.w., m.f., s.m.f.) flls N gilt < + +, +, > + Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 228

10 Historische Zhlefolge Hero-Verfhre zur Bestimmug vo Qudrtwurzel. ) Vom Rechteck zum Qudrt. 2 2) 2 7 Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 229

11 Reelle Zhlefolge IV Hero-Verfhre zur Bestimmug vo Qudrtwurzel: ) Die llgemeie Formel für ds Hero-Verfhre ist rekursiv. Die eue Seiteläge ergibt sich us der vorhergehede: x 2 x x Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 20

12 Hero-Verfhre zur Bestimmug vo Qudrtwurzel ( llgemei) Mit x 2 = folgt die llgemeie rekursive Folge für ds Hero-Verfhre. Der Grezwert bildet für rekursive Folge, wie beim Hero-Verfhre, eie Fixpukt der Folge: Reelle Zhlefolge IV Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 2 2 x x x L L L L 2

13 Übug : Ds Hero-Verfhre Bereche Sie, soweit möglich, mittels des Hero-Verfhres die Qudrtwurzel der folgede Zhle bis uf füf Dezimlstelle geu: ) c) 4 b) 4 d) 24 Wähle Sie ls Strtwert x 0 i jedem Fll de Wert ud otiere Sie lle Zwischeergebisse. Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 22

14 Übug 6: Rekursive Zhlefolge Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 2 Gegebe seie die folgede zwei rekursive Folge: Bereche Sie jeweils de Grezwert der Folge. ) ) 0 0 b b b b

15 Übug 7: Kovergez vo Zhlefolge Weise Sie die Richtigkeit der folgede Aussge ch: c lim c 2 Prof.Dr. Nils Mhke Mthemtischer Vorkurs Folie: 24