13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

Transkript

1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe) Überprüfe Sie ahad geeigeter Kriterie, ob die folgede Reihe kovergiere bzw. absolut kovergiere. Bestimme Sie für (a) ud (d) de Grezwert der Reihe. (a) +( 3) k, (b) = ( ) +, (c) = ( + (d) 8+( 3) k k= (e) =. +, (a) Es gilt + ), ( ) +( 3)k +3 k 3k = 3 k. k Die Reihe ( 3 k k= ) ist eie geometrische Reihe ud kovergiert demzufolge. Nach dem Majoratekriterium kovergiert die Reihe +( 3) k k= absolut. Der Gezwert der Reihe lautet + ( 3) k = = + = 68. ( ( 3) k ) k + ( 3) k = (b) Diese Reihe ist icht koverget, de für a = ( ) + gilt lim a = 0, die Folge (a ) N kovergiert icht. (c) Sei a = + +, da gilt (durch Erweiter mit bzw. + ): a = = >.

2 3. Übug Mathematik I für Iformatik Die Reihe = ist jedoch diverget (harmoische Reihe) ud mit dem Mioratekriterium (Kotrapositio des Majoratekriteriums) folgt auch die Divergez der Reihe = ( + (d) Es gilt + ). 8 + ( 3)k k 8 3k = 7 ( 3 ) k. Die Reihe 7 ( 3 k k= ) kovergiert (geometrische Reihe) ud ach dem Majoratekriterium kovergiert auch die Reihe 8+( 3) k k=. + Der Grezwert der Reihe berechet sich gemäß 8 + ( 3) k k= + = 3 = 6 = 6 = ( 3) k k= 8 + ( 3) k ( 8 + ( 3 ) k ) = 7 +. (e) Da = 3/ folgt die absolute Kovergez aus dem Beispiel ach Satz V..5 im Skript. Alterativ beutzt ma direkt das Itegralkriterium mit f(x) = x. Die Fuktio f ist auf x [, ] stetig, positiv, mooto falled ud es gilt f(x)dx = x x dx = Da das Itegral existiert, kovergiert auch die Reihe. Aufgabe G (Fuktioefolge) Betrachte Sie die Fuktioefolge (f ) mit f : [0,] R, f (x) := x 3 = x =. x, falls 0 x, 0, sost. (a) Skizziere Sie eiige der Fuktioe f für verschiedee Werte vo. (b) Zeige Sie, dass die Folge puktweise, aber icht gleichmäßig kovergiert. (a) Siehe Abbildug. (b) Für jedes x (0,] gilt f (x) = 0 für alle > x ud somit lim f (x) = 0. Für x = 0 gilt allerdigs f (x) = für alle N. Somit kovergiert die Fuktioefolge (f ) puktweise gege die Fuktio, falls x = 0, f : [0,] R, f(x) = 0, sost. Ma sieht sofort, dass jede der Fuktioe f stetig ist, allerdigs die Grezfuktio f icht. Somit ka (f ) icht gleichmäßig gege f kovergiere.

3 3. Übug Mathematik I für Iformatik 0.5 f f 3 f Abbildug : Alterativ gilt für alle N sup f (x) f(x) = sup f (x) =, x [0,] x (0,] so dass icht lim sup x f (x) f(x) = 0 gilt, das heißt, die Folge (f ) kovergiert icht gleichmäßig gege f. Aufgabe G3 (Wurzelkriterium) Gegebe sei die Reihe = (3 + ( ) ). Zeige Sie, dass die Reihe für x < kovergiert ud für x > divergiert. Hiweis: Beutze Sie das Wurzelkriterium für eie Majorate ud eie Miorate der Reihe. Sei a = (3+( ) ). Offesichtlich gilt a (3 ) = ( x ) =: b ud a ( x ) (3 + ) = =: c. Wir bereche u (x b = ) = x. Aus dem Wurzelkriterium folgt u die Kovergez vo b ud somit (Majoratekriterium) vo a für x <. Aalog ergibt sich die Divergez vo c ud somit (Mioratekriterium) vo a für x >. Aufgabe G (Fuktioefolge ud -reihe) Utersuche Sie die folgede Fuktioefolge bzw. -reihe auf puktweise ud gleichmäßige Kovergez: (a) f : [0,] R, f (x) := x 3, (b) = h mit h : R R, h (x) := e (+cos x). Hiweis: I (a) köe Sie lim = verwede. (a) Für jedes x (0, ] gilt lim x 3 = ( lim ) ( lim x) 3 = 3 =. Für x = 0 gilt x 3 = 0 für alle N ud somit lim x 3 = 0. Die Folge (f ) kovergiert somit puktweise gege die Grezfuktio 0, falls x = 0, f : [0,] R, f(x) =, sost. 3

4 3. Übug Mathematik I für Iformatik Für jedes N ist die Fuktio f stetig, die Grezfuktio f higege icht. Somit ka die Folge (f ) icht gleichmäßig gege f kovergiere. (b) Für jedes x R gilt cos x. Daraus folgt e 3 e (+cos x) e ud somit e (+cos x) = = e (+cos x) = e. Die Reihe = e ist wege 0 e eie kovergete geometrische Reihe. Die Fuktioereihe = e (+cos x) kovergiert folglich gleichmäßig (ud damit auch puktweise) auf R (vergl. Satz VI..). Hausübug (I der ächste Übug abzugebe.) Aufgabe H (Majorate ud Miorate) (++ Pukte) Fide Sie für die folgede Reihe eie Majorate bzw. eie Miorate, vo der bekat ist, dass sie kovergiert bzw. divergiert. (a) k= (b) k= (c) = k+ k k 3 +k +5k, k + k k 3 +k +5k, +. (a) Es gilt = k + k k 3 + k + 5k }} 0 Somit ist die Reihe k= k eie Majorate. (b) Es gilt k + k k 3 = k. Somit ist die Reihe k= 8 k (c) Da + k + k k 3 + k + 5k eie Miorate. ud die Reihe = dem Majoratekriterium auch = k k 3 + k 3 + 5k 3 = 8k. + divergiere. divergiert (harmoische Reihe), muss ach Aufgabe H (Kovergez) Für welche α R kovergiert die Reihe (3 Pukte) (α + k )k k=

5 3. Übug Mathematik I für Iformatik Um das Wurzelkriterium azuwede bereche wir lim k k α + k k = lim k α + k = α Die Reihe ist also ach dem Wurzelkriterium koverget falls α < ud diverget falls α > ist. Gilt α =, da ist die Folge (α + k )k keie Nullfolge, ud die Reihe divergiert. Gilt α =, da ist lim ( + ( k k )k = lim + ) k+ = lim k k + k ( +. k )k+( )k+ Auch i diesem Fall ist (α + k )k keie Nullfolge, de lim k ( + k ) k = e. Aufgabe H3 (Fuktioefolge) (+ Pukte) Utersuche Sie die folgede Fuktioefolge bzw. -reihe auf puktweise ud gleichmäßige Kovergez: (a) x =, 3 +x 3 x [0,], (b) g = si( ), x R. (a) Für alle x [0, ] gilt: Da = x 3 + x 3 = = = x 3 + x 3 = 3 = kovergiert, kovergiert ach Satz VI.. die Fuktioereihe gleichmäßig auf [0,]. = 0 h h h Abbildug : (b) Siehe Abbildug. Aufgrud der Stetigkeit der Siusfuktio gilt für jedes x R lim si(x x ) = si( lim ) = si 0 = 0. Die Folge (h ) kovergiert somit puktweise gege die kostate Nullfuktio h 0. Setze wir jedoch := π, so gilt für jedes N h ( ) h( ) = si( π ) =. Die Fuktioefolge (h ) ka somit icht gleichmäßig gege h kovergiere. 5